1、 2020 年高中阶段教育学校招生统一考试年高中阶段教育学校招生统一考试 数学数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.3 的相反数是（ ） A. 3 B. 3 C. 1 3 D. 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得 【详解】3 的相反数是-3 故选：A 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键 2.下列事件中，为必然事件的是（ ） A.
2、明天要下雨 B. | 0a C. 21 D. 打开电视机，它正在播广告 【答案】B 【解析】 【分析】 必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【详解】解：根据题意，结合必然事件的定义可得： A、明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项错误； B、一个数的绝对值为非负数，故| 0a 是必然事件，故选项正确； C、21 ，故2 1 不必然事件，故选项错误； D、打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项错误； 故选 B. 【点睛】本题考查了必然事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件解决此类问题，要学会关注身 边的事物，并用数学的思想和方法去分析
3、、看待、解决问题，提高自身的数学素养 3.如图， 平行线AB、CD被直线EF所截， 过点B作BGEF 于点G， 已知150 ， 则B（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】 延长 BG，交 CD 于 H，根据对顶角相等得到1=2，再依据平行线的性质得到B=BHD，最后结合垂 线的定义和三角形内角和得到结果. 【详解】解：延长 BG，交 CD 于 H， 1=50 ， 2=50 ， ABCD， B=BHD， BGEF， FGH=90 ， B=BHD=180 -2-FGH=180 -50 -90 =40 . 故选 C. 【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线
4、的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长 BG 构造 内错角. 4.下列式子中正确的是（ ） A. 235 aaa B. 1 ()aa C. 22 ( 3 )3aa D. 333 23aaa 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项，负整数指数幂，积的乘方逐项判断即可. 【详解】解：A、 2 a和 3 a不是同类项，不能合并，故选项错误； B、 1 1 ()a a ，故选项错误； C、 22 ( 3 )9aa，故选项错误； D、 333 23aaa，故选项正确； 故选 D. 【点睛】本题考查了合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，解题时需要掌握运算法则. 5.若关于x的方程
5、 2 0 xxm没有实数根，则m的值可以为（ ） A. 1 B. 1 4 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据关于 x 的方程 2 0 xxm没有实数根，判断出 0，求出 m 的取值范围，再找出符合条件的 m 的 值 【详解】解：关于x的方程 2 0 xxm没有实数根， = 2 14 114mm 0， 解得： 1 4 m ， 故选项中只有 A 选项满足， 故选 A. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 6.下列说法中正确的是（ ） A. 0.09 的平方根是 0.3 B. 164 C. 0 的立方根是 0 D. 1
6、的立方根是 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可. 【详解】解：A、0.09 的平方根是 0.3，故选项错误； B、164，故选项错误； C、0 的立方根是 0，故选项正确； D、1 的立方根是 1，故选项错误； 故选 C. 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题 的关键 7.中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自 豪2020 年 1 月 12 日，世界卫生组织正式将 2019 新型冠状病毒名为2019nCoV该病毒的直径在 0.00000008
7、 米-0.000000012 米，将 0.000000012 用科学计数法表示为10na的形式，则n为（ ） A. 8 B. 7 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示， 一般形式为 a 10-n， 与较大数的科学记数法不同的是其所 使用的是负指数幂，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【详解】解：0.000000012 用科学计数法表示为 1.2 10-8， n=-8， 故选 A. 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的
8、数字前面的 0 的个数所决定 8.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 222 (1)(1)()abab的结果是（ ） A 2 B. 0 C. 2a D. 2b 【答案】A 【解析】 【分析】 根据实数 a 和 b 在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案 【详解】解：由数轴可知-2a-1，1b2， a+10，b-10，a-b0， 222 (1)(1)()abab =11abab = 11abab =-2 故选 A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴 上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运
9、算法则进行判断 9.如图，直径6AB的半圆，绕B点顺时针旋转30，此时点A到了点 A ，则图中阴影部分的面积是（ ） A 2 B. 3 4 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由半圆 AB 面积+扇形 ABA的面积-空白处半圆 AB 的面积即可得出阴影部分的面积 【详解】解：半圆 AB，绕 B 点顺时针旋转 30 ， S阴影=S半圆AB+S扇形ABA-S半圆AB = S扇形ABA = 2 630 360 =3 故选 D 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关 键 10.甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地
10、往乙地，王浩月骑自行车从乙地往 甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离(km)s与运动时间(h)t的函数关系大致如图 所示，下列说法中错误的是（ ） A. 两人出发 1 小时后相遇 B. 赵明阳跑步的速度为8km/ h C. 王浩月到达目的地时两人相距10km D. 王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项. 【详解】解：由图可知：当时间为 0h 时，两人相距 24km， 即甲乙两地相距 24km， 当时间为 1h 时，甲乙两人之间距离为 0， 即此时两人相遇，故 A
11、 正确； 24 1=24，可得两人的速度和为 24km/h， 由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了 3h， 赵明阳的速度为 24 3=8km/h，故 B 正确； 可知王浩月的速度为 24-8=16km/h， 王浩月到达目的地时，用了 24 16= 3 2 h， 此时赵明阳行进的路程为： 3 2 8=12km， 即此时两人相距 12km，故 C 错误； 赵明阳到达目的地时，用了 3h， 则 3- 3 2 = 3 2 =1.5h， 王浩月比赵明阳提前 1.5h 到目的地，故 D 正确. 故选 C. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义. 二、填空题：本
12、大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11.sin60 _ 【答案】 3 2 【解析】 3 sin60 2 故答案为 3 2 . 12.因式分解：aab2_. 【答案】11abb 【解析】 【分析】 先提公因式 a，再用平方差分解 【详解】解：原式= 2 1ab=11abb 【点睛】因式分解牢记“一提二看三检查”口诀 13.如图是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图，已知参加STEAM课程兴趣小组的人数为 120 人，则该校参加各兴趣小组的学生共有_人 【答案】600 【解析】 【分析】 根据扇形统计图中相应的项目的百分比，结合参加 ST
13、EAM 课程兴趣小组的人数为 120 人，即可算出结果. 【详解】解：参加STEAM课程兴趣小组的人数为 120 人，百分比为 20%， 参加各兴趣小组的学生共有 120 20%=600 人， 故答案为：600. 【点睛】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键扇形统计 图直接反映部分占总体的百分比大小 14.世纪公园的门票是每人 5 元，一次购门票满 40 张，每张门票可少 1 元若少于 40 人时，一个团队至少 要有_人进公园，买 40 张门反而合算 【答案】33 【解析】 【分析】 先求出购买 40 张票，优惠后需要多少钱，然后再利用 5x160 时，求
14、出买到的张数的取值范围再加上 1 即 可 【详解】解：设 x 人进公园， 若购满 40 张票则需要：40 （5-1）=40 4=160（元） ， 故 5x160 时， 解得：x32， 当有 32 人时，购买 32 张票和 40 张票的价格相同， 则再多 1 人时买 40 张票较合算； 32+1=33（人） ； 则至少要有 33 人去世纪公园，买 40 张票反而合算 故答案为：33 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按 5 元的单价付款和 4 元单价付款的等量关系是解 决本题的关键 15.如图， 已知锐角三角形ABC内接于半径为 2 的O，OD BC于点D，60BAC， 则OD_
15、【答案】1 【解析】 【分析】 连接 OB 和 OC，根据圆周角定理得出BOC 的度数，再依据等腰三角形的性质得到BOD 的度数，结合 直角三角形的性质可得 OD. 【详解】解：连接 OB 和 OC， ABC 内接于半径为 2 的圆 O，BAC=60 ， BOC=120 ，OB=OC=2， ODBC，OB=OC， BOD=COD=60 ， OBD=30 ， OD= 1 2 OB=1， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一，30 的直角三角形的性质， 解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理. 16.如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，点E、F
16、分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF 的中点为H， 连接BG、DH 给出下列结论： AFDE； 8 5 DG ； HD/BG； ABGDHF 其 中正确的结论有_ （请填上所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】 证明 ADFDCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到DGF=90 ，可判断，再利用三角 形等积法 AD DF AF 可算出 DG，可判断；再证明HDF=HFD=BAG，求出 AG，DH，HF，可判 定ABGDHF，可判断；通过 ABAG，得到ABG 和AGB 不相等，则AGBDHF，可判断 . 【详解】解：四边形 ABCD 为正方形， ADC=BCD=9
17、0 ，AD=CD， E 和 F 分别为 BC 和 CD 中点， DF=EC=2， ADFDCE（SAS） ， AFD=DEC，FAD=EDC， EDC+DEC=90 ， EDC+AFD =90 ， DGF=90 ，即 DEAF，故正确； AD=4，DF= 1 2 CD=2， AF= 22 422 5 ， DG=AD DF AF= 4 5 5 ，故错误； H 为 AF 中点， HD=HF= 1 2 AF= 5， HDF=HFD， ABDC， HDF=HFD=BAG， AG= 22 ADDG 8 5 5 ，AB=4， 4 5 5 ABABAG DHHFDF ， ABGDHF，故正确； ABG=DH
18、F，而 ABAG， 则ABG 和AGB 不相等， 故AGBDHF， 故 HD 与 BG 不平行，故错误； 故答案为：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角 三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知3x ，将下面代数式先化简，再求值 2 (1)(2)(2)(3)(1)xxxxx 【答案】 2 36xx；9 【解析】 【分析】 先利用完
19、全平方公式和平方差公式以及多项式乘法法则展开，再合并同类项，最后将 x=3 代入即可. 【详解】解： 2 (1)(2)(2)(3)(1)xxxxx = 222 1 2433xxxxxx = 2 36xx 将 x=3 代入， 原式=9 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，解题时要掌握完全平方公式和平方差公式以及多项式乘 法法则. 18.课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组 6 人，后来重新编组，每组 8 人，这样就比原来减少 2 组， 问这些学生共有多少人？ 【答案】48 人 【解析】 【分析】 设这些学生共有 x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少 2 组，
20、根据此列方 程求解 【详解】解：设这些学生共有 x 人，根据题意，得 2 68 xx 解得 x=48 答：这些学生共有 48 人 【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组， 难度一般 19.三角形三条边上的中线交于一点， 这个点叫三角形的重心 如图G是ABC的重心 求证：3ADGD 【答案】见解析 【解析】 【分析】 过点 D 作 DHAB 交 CE 于 H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 BE=2DH， 从而得到 AE=2DH， 再根据 AEG 和 DHG 相似， 利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证 【详
21、解】解：过点 D 作 DHAB，交 CE 于点 H， AD 是 ABC 的中线， 点 D 是 BC 的中点， DH 是 BCE 的中位线， BE=2DH，DHAB， CE 是 BCE 的中线， AE=BE， AE=2DH， DHAB， AEGDHG， 2 AGAE DGDH ， AG=2GD， 即 AD=3GD. 【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关 键，也是本题的难点 20.如图，过直线 1 2 ykx上一点P作PDx轴于点D，线段PD交函数(0) m yx x 的图像于点C， 点C为线段PD的中点，点C关于直线y x 的对称点 C 的
22、坐标为(1,3) （1）求k、m的值； （2）求直线 1 2 ykx与函数(0) m yx x 图像的交点坐标； （3）直接写出不等式 1 (0) 2 m kxx x 的解集 【答案】 （1）3， 1 2 ； （2） （2， 3 2 ） ； （3）0 x 3 2 【解析】 【分析】 （1）根据点 C在反比例函数图像上求出 m 值，利用对称性求出点 C 的坐标，从而得出点 P 坐标，代入一 次函数表达式求出 k 值； （2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可； （3）根据（2）中交点坐标，结合图像得出结果. 【详解】解： （1）C的坐标为(1，3)， 代入(0) m yx x 中，
23、 得：m=1 3=3， C 和 C关于直线 y=x 对称， 点 C 的坐标为（3，1） ， 点 C 为 PD 中点， 点 P（3，2） ， 将点 P 代入 1 2 ykx， 解得：k= 1 2 ； k 和 m 的值分别为：3， 1 2 ； （2）联立： 11 22 3 yx y x ，得： 2 60 xx， 解得： 1 2x ， 2 3x （舍） ， 直线 1 2 ykx与函数(0) m yx x 图像的交点坐标为（2， 3 2 ） ； （3）两个函数的交点为： （2， 3 2 ） ， 由图像可知：当 0 x 3 2 时，反比例函数图像在一次函数图像上面， 不等式 1 (0) 2 m kxx
24、x 的解集为：0 x 3 2 . 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，图像法解不等式，解题的关键是利用数 形结合的思想，结合图像解决问题. 21.刘雨泽和黎昕两位同学玩抽数字游戏五张卡片上分别写有 2、4、6、8、x这五个数字，其中两张卡片 上的数字是相同的，从中随机抽出一张，已知P（抽到数字 4 的卡片） 2 5 （1）求这五张卡片上的数字的众数； （2）若刘雨泽已抽走一张数字 2 的卡片，黎昕准备从剩余 4 张卡片中抽出一张 所剩的 4 张卡片上数字的中位数与原来 5 张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由； 黎昕先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出一张，用
25、列表法（或树状图）求黎昕两次都抽到数字 4 的概率 【答案】 （1）4； （2）不同，理由见解析； 1 4 【解析】 【分析】 （1）根据抽到数字 4 的卡片的概率为 2 5 可得 x 值，从而可得众数； （2）分别求出前后两次的中位数即可； 画出树状图，再根据概率公式求解即可. 【详解】解： （1）2、4、6、8、x这五个数字中， P（抽到数字 4 的卡片） 2 5 ， 则数字 4 的卡片有 2 张，即 x=4， 五个数字分别为 2、4、4、6、8， 则众数为：4； （2）不同，理由是： 原来五个数字的中位数为：4， 抽走数字 2 后，剩余数字为 4、4、6、8， 则中位数为： 46 5 2
26、 ， 前后两次的中位数不一样； 由题意可得： 可得共有 16 种等可能的结果，其中两次都抽到数字 4 的情况有 4 种， 黎昕两次都抽到数字 4 的概率为 41 164 . 【点睛】本题考查了中位数，众数的概念及求法，以及列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解题意， 分清放回与不放回的区别. 22.如图，开口向下的抛物线与x轴交于点1,0A 、 (2,0)B ，与y轴交于点(0,4)C，点P是第一象限内 抛物线上的一点 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值 【答案】 （1） 2 224yxx ； （2）8 【解析】 【分析】 （1）设二次函数表
27、达式为12ya xx，再将点 C 代入，求出 a 值即可； （2）连接 OP，设点 P 坐标为（m， 2 224mm） ，m0，利用 S四边形CABP=S OAC+S OCP+S OPB得出 S 关于 m 的表达式，再求最值即可. 详解】解： （1）A（-1，0） ，B（2，0） ，C（0，4） ， 设抛物线表达式为：12ya xx， 将 C 代入得： ， 解得：a=-2， 该抛物线的解析式为： 2 212224yxxxx； （2）连接 OP，设点 P 坐标为（m， 2 224mm） ，m0， A（-1，0） ，B（2，0） ，C（0，4） ， 可得：OA=1，OC=4，OB=2， S=S四边
28、形CABP=S OAC+S OCP+S OPB = 2 111 1 442224 222 mmm = 2 246mm 当 m=1 时，S 最大，且为 8. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形 CABP 的 面积表示出来. 23.实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后 面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落 在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示已知落在地面上的影子皆与坡脚水 平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，
29、测得斜坡坡度1:0.75i ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况 下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内请直接回答这 个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？ 【答案】 （1）120cm； （2）正确； （3）280cm 【解析】 【分析】 （1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题 （2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可
30、得； （3）过点 F 作 FGCE 于点 G，设 FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出 CG 和 FG，得到 BG，过点 F 作 FHAB 于点 H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出 AH 的长度，即可得到 AB. 【详解】解： （1）设王诗嬑的影长为 xcm， 由题意可得： 90150 72x ， 解得：x=120， 经检验：x=120 是分式方程的解， 王诗嬑的的影子长为 120cm； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与 MN 垂直，所以太阳光的光线与 MN 垂直， 则在斜坡上的影子也与 MN 垂直，则过斜坡上的影子的横截面与 MN 垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂
31、直， 高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB 为高圆柱，AF 为太阳光， CDE 为斜坡，CF 为圆柱在斜坡上的影子， 过点 F 作 FGCE 于点 G， 由题意可得：BC=100，CF=100， 斜坡坡度1:0.75i ， 14 0.753 DEFG CECG ， 设 FG=4m，CG=3m，在 CFG 中， 22 2 43100mm， 解得：m=20， CG=60，FG=80， BG=BC+CG=160， 过点 F 作 FHAB 于点 H， 同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 72cm， FGBE，ABBE，FHAB， 可知四边形 HBGF 为矩形， 90 72 AHAH HFBG ， AH= 9090 160 7272 BG=200， AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为 280cm. 【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理 解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型
