1、 1 南充市二二年初中学业水平考试南充市二二年初中学业水平考试 数学试卷数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1.若 1 -? 4 x ，则 x值是 （ ） A. 4 B. 1 4 C. 1 4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据解分式方程即可求得 x 的值 【详解】解： 1 4 x ，去分母得14x， 1 4 x ， 经检验， 1 4 x 是原方程的解 故选：C 【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式
2、方程的解法是解题的关键 2.2020 年南充市各级各类学校学生人数约为 1 150 000 人，将 1 150 000 用科学计数法表示为（ ） A. 1.15 106 B. 1.15 107 C. 11.5 105 D. 0.115 107 【答案】A 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝 对值1 时，n 是负数 【详解】解：1150000 用科学计数法表示为：1.15 106， 故选：A 【点睛
3、】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值，注意保留的数位 3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB=2，当风车转动 90 时，点 B 运动路径的长度为（ ） 2 A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 B 点的运动路径是以 A 点为圆心，AB 长为半径的圆的 1 4 的周长，然后根据圆的周长公式即可得到 B 点的 运动路径长度为 【详解】解：B 点的运动路径是以 A 点为圆心，AB 长为半径的圆的 1 4 的周长， 9022 360 p p
4、 创 = o o ， 故选：A 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键 4.下列运算正确的是（ ） A. 3a+2b=5ab B. 3a 2a=6a2 C. a3+a4=a7 D. (a-b)2=a2-b2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可 【详解】A不是同类项，不能合并，此选项错误； B3a 2a=6a2，此选项正确； C不是同类项，不能合并，此选项错误； D(a-b)2=a2-2ab+b2，此选项错误； 故选：B 【点睛】本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题 的关键 5.八
5、年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛， 七次射击成绩依次为 （单位： 环） ： 4， 5， 6， 6， 6， 7， 8 则 下列说法错误的是（ ） A. 该组成绩的众数是 6 环 B. 该组成绩的中位数数是 6 环 C. 该组成绩的平均数是 6 环 D. 该组成绩数据的方差是 10 【答案】D 3 【解析】 分析】 根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案 【详解】解：A、6 出现了 3 次，出现的次数最多，该组成绩的众数是 6 环，故本选项正确； B、该组成绩的中位数是 6 环，故本选项正确； C、该组成绩的平均数是： 1 7 （4+5+6+6+6+7+8）=
6、6（环） ，故本选项正确； D、该组成绩数据的方差是： 22222 (46)(56)3(66)(76)(86)10 77 ，故本选项错误； 故选：D 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义 6.如图，在等腰三角形 ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A=36 ，AB=AC=a，BC=b，则 CD=（ ） A. 2 ab B. 2 ab C. a-b D. b-a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD，进而解答即可 【详解】解：在等腰 ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A=36 ， ABC=C=2AB
7、D=72 ， ABD=36 =A， BD=AD， BDC=A+ABD=72 =C， BD=BC， AB=AC=a，BC=b， CD=AC-AD=a-b， 故选：C 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD 解答 7.如图，面积为 S 的菱形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，点 E 是线段 BC 单位中点，过点 E 作 EFBD 于 F，EGAC 与 G，则四边形 EFOG 的面积为（ ） 4 A. 1 4 S B. 1 8 S C. 1 12 S D. 1 16 S 【答案】B 【解析】 【分析】 由菱形的性质得出 OAOC，OBOD，AC
8、BD，S 1 2 AC BD，证出四边形 EFOG 是矩形，EFOC， EGOB，得出 EF、EG 都是 OBC 的中位线，则 EF 1 2 OC 1 4 AC，EG 1 2 OB 1 4 BD，由矩形面积 即可得出答案 【详解】解：四边形 ABCD 是菱形， OAOC，OBOD，ACBD，S 1 2 AC BD， EFBD 于 F，EGAC 于 G， 四边形 EFOG 是矩形，EFOC，EGOB， 点 E 是线段 BC 的中点， EF、EG 都是 OBC 的中位线， EF 1 2 OC 1 4 AC，EG 1 2 OB 1 4 BD， 矩形 EFOG 的面积EF EG 1 4 AC1 4 B
9、D 1 8 1 2 ACBD = 1 8 S； 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握 菱形的性质和矩形的性质是解题的关键 8.如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sinBAC=（ ） A. 2 6 B. 26 26 C. 26 13 D. 13 13 【答案】B 5 【解析】 【分析】 作 BDAC 于 D，根据勾股定理求出 AB、AC，利用三角形的面积求出 BD，最后在直角 ABD 中根据三 角函数的意义求解 【详解】解：如图，作 BDAC 于 D， 由勾股定理得， 2222 3213,333 2ABAC ， 11
10、1 3 21 3 222 ABC SAC BDBD ， 2 2 BD ， 2 26 2 sin 2613 BD BAC AB 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直 角三角形和利用三角形的面积求出 BD 是解决问题的关键 9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1） ， （3，1） ， （3，3） ， （1，3） ，若抛物线 y=ax2的图象与正方 形有公共顶点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 1 3 9 a B. 1 1 9 a C. 1 3 3 a D. 1 1 3 a 【答案】A 【解析】 【分析】 求出抛物线经过两
11、个特殊点时的 a 的值即可解决问题 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 6 当抛物线经过（3，1）时，a= 1 9 ， 观察图象可知 1 9 a3， 故选：A 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型 10.关于二次函数 2 45(0)yaxaxa的三个结论：对任意实数 m，都有 1 2xm与 2 2xm对 应的函数值相等；若 3x4，对应的 y 的整数值有 4 个，则 4 1 3 a 或 4 1 3 a；若抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，则 5 4 a 或1a 其中正确的结论是
12、（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可求次函数 y=ax2-4ax-5 的对称轴为直线 4 2 2 a x a ，由对称性可判断；分 a0 或 a0 两种 情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断；分 a0 或 a0 两种情况讨论，由题意列出不等式组， 可求解，可判断；即可求解 【详解】解：抛物线的对称轴为 4 2 2 a x a ， x1=2+m 与 x2=2-m 关于直线 x=2 对称， 对任意实数 m，都有 x1=2+m 与 x2=2-m 对应的函数值相等； 故正确； 当 x=3 时，y=-3a-5，当 x=4 时，y=-5， 若 a0 时，当 3x4
13、 时，-3a-5y-5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 4 1 3 a， 若 a0 时，当 3x4 时，-5y-3a-5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 4 1 3 a ， 故正确； 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 7 0，25a-20a-50， 2 16200 550 aa a ， 1a ； 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 0，25a-20a-50， 2 16200 550 aa a a 5 4 ， 综上所述：当 a 5 4 或 a1 时，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6 故正
14、确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与 x 轴的 交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11.计算： 0 122_ 【答案】 2 【解析】 【分析】 原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值 【详解】解： 0 122 = 2-1+1 = 2 故答案为： 2 【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12.如图，两直线交于点 O，若1+2=76 ，则1=_度 【答案】
15、38 【解析】 8 【分析】 直接利用对顶角的性质结合已知得出答案 【详解】解：两直线交于点 O， 1=2， 1+2=76 ， 1=38 故答案为：38 【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键 13.从长度分别为 1,2,3,4 的四条线段中任选 3 条，能构成三角形的概率为_ 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组 数，就可求出概率 【详解】解：这四条线段中任取三条，所有的结果有： （1，2，3） ， （1，2，4） ， （1，3，4） ， （2，3，4） 共 4 个结果， 根据三
16、角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 其中能构成三角形的只有（2，3，4）一种情况， 故能构成三角形的概率是 1 4 故答案为： 1 4 . 【点睛】注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率用到的知 识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14.笔记本 5 元/本， 钢笔 7 元/支， 某同学购买笔记本和钢笔恰好用去 100 元， 那么最多可以购买钢笔_ 支 【答案】10 【解析】 【分析】 首先设某同学买了 x 支钢笔，则买了 y 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100 元，可 得 7 20 5 x y =-
17、，根据 x 最大且又能被 5 整除，即可求解 【详解】设钢笔 x 支，笔记本 y 本，则有 7x+5y=100，则 10077 20 55 xx y - =-， 9 x 最大且又能被 5 整除，y 是正整数， x=10， 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系 15.若 2 31xx ，则 1 1 x x -= + _ 【答案】2 【解析】 【分析】 1 1 x x - + 中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据 2 31xx ，代入化简即可得到结果 【详解】解： 22 11321222(1) 2 11111 xxxxxxx
18、 x xxxxx +-+-+ -= - + 故答案为：-2 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16. ABC 内接于O， AB 为O直径， 将 ABC 绕点 C 旋转到 EDC， 点 E 在上， 已知 AE=2， tanD=3， 则 AB=_ 【答案】10 3 【解析】 【分析】 过 C 作 CHAE 于 H 点，由旋转性质可得DAEC，根据三角函数可求得 AC，BC 长度，进而通过 解直角三角形即可求得 AB 长度 【详解】解：过 C 作 CHAE 于 H 点， 10 AB 为O 的直径， 90AEBACB， 由旋转可得90ECDACB， 9090DCEDAE
19、CCED ， DAEC， tanD=tanAEC=CHEH=3，AE=2， HE=1，CH=3， AC=CE= 10， tanD=tanABC=ACBC=3， BC= 10 3 ， AB= 22 10 3 ACBC， 故答案为：10 3 【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 个小题，共个小题，共 86 分分 17.先化简，再求值： 2 1 (1) 11 xx xx ，其中 2 1x 【答案】 1 1x ， 2 2 【解析】 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计
20、算即可 【详解】解：原式 11(1) 111 xx x xxx 1 1(1) xx xx x 11 1 1x 当 2 1x 时，原式 2 2 【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 18.如图，点 C 在线段 BD 上，且 ABBD，DEBD，ACCE，BC=DE，求证：AB=CD 【答案】详见解析 【解析】 分析】 根据 ABBD， DEBD， ACCE， 可以得到 90ABCCDEACB ， 90ACBECD ， 90ECDCED ，从而有ACBCED，可以验证ABC和CDE全等，从而得到 AB=CD 【详解】证明： ABBD，DEBD，
21、ACCE 90ABCCDEACB 90ACBECD ，90ECDCED ACBCED 在ABC和CDE中 ACBCED BCDE ABCCDE ABCCDE 故ABCD 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角 之间的关系是解题的关键 19.今年， 全球疫情大爆发， 我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助， 某批次派出 20 人组成的专家组， 分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示： 12 （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家的人数，并将条形统计图补充完整; （2）根据需要，从赴 A 国的专
22、家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好 是一男一女的概率 【答案】 （1）1，3，图详见解析； （2） 3 5 P 【解析】 【分析】 （1）先求出 B 国专家总人数，然后减去男专家人数即可求出，先求 D 国专家的总人数，然后减去女专家人 数即可； （2）用列表法列出所有等可能的情况，然后找出两名专家恰好是一男一女的情况即可 【详解】解： （1）B国女专家：20 40% 53 （人） ， D国男专家：20 (1 25%40%20%)21（人） ， （注：补全条形图如图所示） ； （2）从 5 位专家中，随机抽取两名专家的所有可能结果是： 男 1 男 2 女 1 女
23、2 女 3 男 1 （男 1，男 2） （男 1，女 1） （男 1，女 2） （男 1，女 3） 男 2 （男 2，男 1） （男 2，女 1） （男 2，女 2） （男 2，女 3） 女 1 （女 1，男 1） （女 1，男 2） （女 1，女 2） （女 1，女 3） 女 2 （女 2，男 1） （女 2，男 2） （女 2，女 1） （女 2，女 3） 13 女 3 （女 3，男 1） （女 3，男 2） （女 3，女 1） （女 3，女 2） 由上表可知，随机抽取两名专家的所有可能有 20 种情况，并且出现的可能性相等， 其中恰好抽到一男一女的情况有 12 种， 则抽到一男一女专家的
24、概率为： 123 205 P 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用列表法和树状图法求概率，列出所有等可能情况是解题 关键 20.已知 1 x， 2 x是一元二次方程 2 220 xxk 的两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使得等式 12 11 2k xx 成立？如果存在，请求出 k 的值，如果不存在，请说明理 由 【答案】 （1）1k ； （2）6k 【解析】 【分析】 （1）根据方程的系数结合0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出 x1x22，x1x2k2，结合 12 11 2k xx ，即
25、可得出关于 k 的方程， 解之即可得出 k 值，再结合（1）即可得出结论 【详解】解： （1）一元二次方程有两个实数根， 2 ( 2)4(2) 0k 解得1k ； （2）由一元二次方程根与系数关系， 1212 2,2xxx xk 12 11 2k xx ， 12 12 2 2 2 xx k x xk 即(2)(2)2kk，解得6k 又由（1）知：1k ， 6k 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是： （1）牢记“当 0 时，方程有两个实 14 数根”； （2）根据根与系数的关系结合 12 11 2k xx ，找出关于 k 的方程 21.如图，反比例函数(k0,x0) k
26、 y x 的函数与 y=2x 的图象相交于点 C，过直线上一点 A（a，8）作 AABy 轴交于点 B，交反比函数图象于点 D，且 AB=4BD （1）求反比例函数的解析式； （2）求四边形 OCDB 的面积 【答案】 （1） 8 y x ； （2）10 【解析】 【分析】 （1）求出点 D 的坐标即可解决问题； （2）构建方程组求出点 C 的坐标，利用分割法求面积即可 【详解】解： （1）由点( ,8)A a在2yx上，则4a， (4,8)A， ABy轴，与反比例函数图象交于点D，且4ABBD 1BD ，即(1,8)D， 8k =，反比例函数解析式为 8 y x ； （2）C是直线2yx 与
27、反比例函数 8 y x 图象的交点 8 2x x ， 0 x 2x，则(2,4)C 1 4 816 2 ABO S ， 1 3 46 2 ADC S ， 10 ABOADCOCDB SSS 四边形 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型 15 22.如图，点 A，B，C 是半径为 2 的O 上三个点，AB 为直径，BAC 的平分线交圆于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 得延长线于点 E，延长线 ED 交 AB 得延长线于点 F （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并证明 （2）若 DF=4 2，求 tanEAD 的值 【答
28、案】 （1）直线EF与圆O相切，证明详见解析； （2） 2 tan 2 EAD 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，由 OAOD 知OADODA，由 AD 平分EAF 知DAEDAO，据此可得DAE ADO，继而知 ODAE，根据 AEEF 即可得证； （2）根据勾股定理得到 22 6OFODDF=+= ，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到 结论 【详解】解： （1）直线EF与圆O相切 理由如下：连接OD AD平分BAC EADOAD OAOD ODAOADEAD /ODAE 由AEEF，得ODEF 点D在圆O 上 EF是圆O的切线 （2）由（1）可得，在Rt ODF中，2O
29、D，4 2DF ， 由勾股定理得 22 6OFODDF=+= /ODAE ODOFDF AEAFEF 即 264 2 84 2AEED ，得 8 3 AE ， 4 2 3 ED 16 在Rt AED中， 2 tan 2 DE EAD AE 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图 形是解题的关键 23.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件（1）如图，设第 x （0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图中的函数图象表示，求 z 关于 x 的函数 解析式（写出 x 的范围
30、） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y=5x+40（0 x20） 在（1）的条件 下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本） 【答案】 （1） 16,(012) 1 19.(1220) 4 x z xx ； （2）工厂在第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元 【解析】 【分析】 （1）由图像可知，当012x ，函数为常数函数 z=16；当1220 x，函数为一次函数，设函数解析式 为(0)ykxb k，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到 z 关于 x 的函数解析式； （
31、2）根据 x 的不同取值范围，z 关于 x 的关系式不同，设 W 为利润，当012x ，30240Wx，可知 x=12 时有最大利润；当1220 x， 2 5 (14)605 4 Wx ，当14x 时有最大利润 【详解】解： （1）由图可知，当012x 时，16z 当1220 x时，z是关于x的一次函数，设zkx b 则 1216 2014 kb kb ，得 1 ,19 4 kb ，即 1 19 4 zx 17 z关于x的函数解析式为 16,(012) 1 19.(1220) 4 x z xx （2）设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元 012x 时，(16 10) (540)30240Wx
32、x 当12x 时， 30 12240600W 最大值 （万元） 1220 x时， 1 19 10(540) 4 Wxx 22 55 35360(14)605 44 xxx 当14x 时， 605W 最大值 （万元） 综上所述，工厂在第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元 【点睛】 （1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的 解析式，能根据图像找到函数所过点； （2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式 是解本题的关键 24.如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 K 在 A
33、D 上，连接 BK，过点 A，C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M，N，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM，ON （1）求证：AM=BN； （2）请判断 OMN 的形状，并说明理由； （3）若点 K 在线段 AD 上运动（不包括端点） ，设 AK=x， OMN 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式 （写出 x 的范围） ；若点 K 在射线 AD 上运动，且 OMN 的面积为 1 10 ，请直接写出 AK 长 【答案】 （1）详见解析； （2）OMN是等腰直角三角形，理由详见解析； （3） 2 2 21(0 1) 44 xx yx x ， AK长为 1 3 或 3 18 【解
34、析】 【分析】 （1）由“AAS”可证 ABMBCN，可得 AMBN； （2） 连接 OB， 由“SAS”可证 AOMBON， 可得 MONO， AOMBON， 由余角的性质可得MON 90 ，可得结论； （3）由勾股定理可求 BK 的值，由AMBM，四边形 ABCD 是正方形，可得：ABMKBAV: V， AKMBKAV: V，则可求得 2 1 1 x MN x - = + ，由三角形面积公式可求得 2 2 21 44 xx y x -+ = + ；点 K 在射线 AD 上运 动，分两种情况：当点 K 在线段 AD 上时和当点 K 在线段 AD 的延长线时分别求解即可得到结果 【详解】解：
35、（1）证明： ,AMBM CNBN 90AMBBNC 又 90ABC 90 ,90MABMBACBNMBA MABCBN 又ABBC AMBBNC（AAS） AMBN （2）OMN是等腰直角三角形 理由如下：连接OB， O为正方形的中心 OAOB，OBAOAB45 OBC，AOBO， MABCBM， MABOABNBCOBC，即MAOOBN ,OAOB AMBN AMOBNO（SAS） OMON，AOMBON 90AOBAONBON AON+BON90 ， 19 AON+AOM90 ， 90MON OMN等腰直角三角形 （3）在Rt ABK中， 222 1BKAKABx 由AMBM，四边形 A
36、BCD 是正方形， 可得：ABMKBAV: V，AKMBKAV: V ABMA KBAK =， AKMK BKAK = BK AMAB AK，得： 2 1 AB AKx BNAM BK x 2 AKKM BK ，得： 22 2 1 AKx KM BK x 2 2 222 1 1 111 xxx MNBKBNKMx xxx 2 2 2 1(1) 444 OMN x SMN x 即： 2 2 21(0 1) 44 xx yx x 当点 K 在线段 AD 上时，则 2 2 121 1044 xx x -+ = + ， 解得：x13（不合题意舍去） ， 2 1 3 x ， 当点 K 在线段 AD 的延
37、长线时，同理可求得 2 2 21( 1) 44 xx yx x -+ = + 2 2 121 1044 xx x -+ = + ， 解得：x13， 2 1 3 x （不合题意舍去） ， 综上所述：AK长为 1 3 或 3 时， OMN 的面积为 1 10 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，解分式方程等知识点，能熟练应用相关性质是本题的关键 25.已知二次函数图象过点 A（-2，0） ，B（4，0） ，C（0，4） （1）求二次函数的解析式； （2）如图，当点 P 为 AC 的中点时，在线段 PB 上是否存在点 M，使得BMC=90
38、 ？若存在，求出点 M 的 坐标，若不存在，请说明理由 20 （3）点 K 在抛物线上，点 D 为 AB 的中点，直线 KD 与直线 BC 的夹角为锐角，且 tan= 5 3 ，求点 K 的 坐标 【答案】 （1） 2 1 4 2 yxx ； （2）线段上存在 24 56 , 29 29 M 骣 - 桫 ，使得90BMC ，理由详见解析； （3） 抛物线上符合条件的点K坐标为： (2,4)或( 8, 36)或 31451145 , 416 骣+ -+ 桫 或 31451145 , 416 骣- - 桫 【解析】 【分析】 （1）设二次函数的解析式为(2)(4)ya xx，将点 C 坐标代入可求
39、解； （2）利用中点坐标公式可求 P（1，2） ，点 Q（2，2） ，由勾股定理可求 BC 的长，由待定系数法可求 PB 解析式，设点 M 28 , 55 aa 骣 -+ 桫 ，由两点距离公式可得 2 2 22 (2)8 55 aa 骣 +-= 桫 ，可求 24 29 a 或4a，即可 求解； （3）过点 D 作 DEBC 于点 E，设直线 DK 与 BC 交于点 N，先求出3DB ， 3 2 2 DE ，由锐角三角 函数可求 9 2 tan10 DE NE q =，分 DK 与射线 EC 交于点 ( ,4)N mm 和 DK 与射线 EB 交于( ,4)N mm两种 情况讨论，求出直线 DK
40、 解析式，联立方程组可求点 K 坐标 【详解】 解： （1）二次函数的图象过点( 2,0),(4,0)AB 21 设二次函数解析式为(2)(4)ya xx 又二次函数的图象过点(0,4)C， 84a，即 1 2 a 故二次函数解析式为 2 1 4 2 yxx （2）线段上存在 24 56 , 29 29 M 骣 - 桫 ，使得90BMC ，理由如下： 设BC中点为Q，由题意，易知Q的坐标为(2,2)， 4 2BC 若90BMC ，则 1 2 2 2 MQBC ( 2,0),(0,4)AC，AC的中点P为( 1,2) 设PB所在的直线为y kxb ，则 2 40 kb kb - += += ，得
41、 28 , 55 kb PB所在的直线为 28 55 yx M在线段PB上，设M的坐标为 28 , 55 aa 骣 -+ 桫 ，其中14a 剟 如图 1，分别过M，Q作y轴与x轴的垂线 1 l， 2 l，设 1 l， 2 l相交于点T， 2822 2 5555 QTaa= -+-=+ |2|MTa 222 MQQTMT 2 2 22 (2)8 55 aa 骣 +-= 桫 整理得 2 2992960aa，解得 24 29 a 或4a 当4a时，B，M重合，不合题意（舍去） 24 29 a ，则M的坐标为 24 56 (,) 29 29 故线段PB上存在 24 56 , 29 29 M 骣 - 桫
42、 ，使得90BMC 22 （3）如图 2，过点D作DEBC于点E，设直线DK与BC交于点N (1,0), (4,0),45DBEBD 3 25 3 3, 22 2 DBDEE骣 = 桫 (0,4)C 直线 :4BC yx 在Rt DNE中 3 2 9 2 2 5 tan10 3 DE NE 若DK与射线EC交于点 ( ,4)N mm 59 2 2 210 NEm 骣 =-= 桫 8 5 m 8 12 , 5 5 N 骣 桫 直线 :44DKyx 2 44 1 4 2 yx yxx =- = -+ 解得 2 4 x y 或 8 36 x y = - = - 若DK与射线EB交于点 ( ,4)N
43、mm 59 2 2 210 NEm 骣 =-= 桫 17 5 m 23 17 3 , 5 5 N 骣 桫 直线 11 : 44 DK yx 2 11 44 1 4 2 yx yxx =- = -+ ，解得 3145 4 1145 16 x y + = -+ = 或 3145 4 1145 16 x y - = - = 综上所述，抛物线上符合条件的点K坐标为： (2,4)或( 8, 36) 或 31451145 , 416 骣+ -+ 桫 或 31451145 , 416 骣- - 桫 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰 直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是 本题的关键
