1、 内蒙古通辽市内蒙古通辽市 2020 年中考数学试题年中考数学试题 注意事项：注意事项： 1本试卷共本试卷共 6 页，页，26 小题，满分为小题，满分为 120 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟分钟 2根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答 案无效案无效 3考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交 一、选择题一、选择题(本题包括本题包括 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，请在
2、答题分，每小题只有一个正确答案，请在答题 卡上将代表正确答案的字母用卡上将代表正确答案的字母用 2B 铅笔涂黑铅笔涂黑) 1.2020 年我市初三毕业生超过 30000 人，将 30000 用科学记数法表示正确的是( ) A. 5 0.3 10 B. 4 3 10 C. 3 30 10 D. 3 万 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝 对值1 时，n 是负数 【详解】解：将 30000
3、用科学记数法表示为 3 104 故选：B 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2.下列说法不正确 的是( ) A. 2a是 2 个数 a 的和 B. 2a是 2 和数 a 的积 C. 2a是单项式 D. 2a是偶数 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 2a 的意义，分别判断各项即可. 【详解】解：A、2a=a+a，是 2 个数 a 的和，故选项正确； B、2a=2 a，是 2 和数 a 的积，故选项正确； C、2a是单项式，故选项正确； D、当 a 为无理数时，2a
4、是无理数，不是偶数，故选项错误； 故选 D. 【点睛】本题考查了代数式的意义，注意 a 不一定为整数是解题的关键. 3.下列事件中是不可能事件 的是( ) A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨 【答案】C 【解析】 【分析】 不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断 【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合； B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合； C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合； D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合； 故选 C. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件
5、、随机事件的概念必然事 件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随 机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和 互余的摆放方式是( ) A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图形，结合互余的定义判断即可 【详解】解：A、 与 互余，故本选项正确； B、+90 ，即不互余，故本选项错误； C、+=270，即不互余，故本选项错误； D、+=180，即互补，故本选项错误； 故选 A. 【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力 5.若关于 x 的方程
6、 kx26x+9=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k1 B. k1 C. k1 且 k0 D. k1 且 k0 【答案】B 【解析】 【详解】解： （1）当 k=0 时，-6x+9=0，解得 x= 3 2 ； （2）当 k0 时，此方程是一元二次方程， 关于 x 的方程 kx2-6x+9=0 有实数根， =（-6）2-4k90，解得 k1， 由（1） 、 （2）得，k 的取值范围是 k1 故选 B 6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形内心的定义，三角形内心为三边的垂直平分线的交点，然后
7、利用基本作图和选项进行判断 【详解】解：三角形内心为三个角的角平分线的交点， 由基本作图得到 B 选项作了两个角的角平分线， 而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心 故选：B 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角； 作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了三角形的内心 7.如图，,PA PB分别与O相切于 ,A B两点， 72P ，则C( ) A. 108 B. 72 C. 54 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 连接 OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形 AO
8、BP 的内角和为 360 ，即可推出AOB 的度数，然后 根据圆周角定理，即可推出C 的度数 【详解】解：连接 OA、OB， 直线 PA、PB 分别与O 相切于点 A、B， OAPA，OBPB， P=72 ， AOB=108 ， C 是O 上一点， ACB=54 故选：C 【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过 作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果 8.如图，AD是ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是 ( ) A. 90BAC B. 90DAE C. ABAC D. ABAE 【答
9、案】A 【解析】 【分析】 根据菱形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：A、若90BAC，则 AD=BD=CD=AE，四边形 ADCE 是平行四边形，则此时四边形 ADCE 为菱形，故选项正确； B、若90DAE，则四边形 ADCE 是矩形，故选项错误； C、若ABAC，则ADC=90 ，则四边形 ADCE 是矩形，故选项错误； D、若ABAE，而 ABAD，则 AEAD，无法判断四边形 ADCE 为菱形，故选项错误. 故选 A. 【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的 关键是掌握判定定理. 9.如图，OC交双曲线 k y x 于点 A，
10、且:5:3OC OA，若矩形ABCD的面积是 8，且/AB x轴，则 k 的值是( ) A. 18 B. 50 C. 12 D. 200 9 【答案】A 【解析】 【分析】 过点 A 和点 C 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E 和 F，得到 OAEOCF，设点 A（m，n） ，求出 AB 和 BC， 利用矩形 ABCD 的面积为 8 求出 mn，即 k 值. 【详解】解：过点 A 和点 C 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E 和 F， AECF， OAEOCF， OC：OA=5：3， OF：OE=CF：AE=5：3， 设点 A（m，n） ，则 mn=k， OE=m，AE=n， OF= 5 3 m
11、 ，CF= 5 3 n ， AB=OF-OE= 2 3 m ，BC=CF-AE= 2 3 n ， 矩形 ABCD 的面积为 8， AB BC= 2 3 m 2 3 n =8， mn=18=k， 故选 A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似 三角形的性质表示出线段的长. 10.从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数； （2）因式分解 2 11axaa xx； （3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm； （4）弧长是20 cm，面积是 2 240 cm的扇形的圆心角是120 A. 1
12、4 B. 1 2 C. 3 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解. 【详解】解： （1）无理数都是无限小数，是真命题， （2）因式分解 2 11axaa xx，是真命题， （3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm，是真命题， （4）设扇形半径为 r，圆心角为 n， 弧长是20 cm，则 180 n r =20，则3600nr ， 面积是 2 240 cm，则 2 360 n r =240，则 2 nr 360 240， 则 2 360 240 24 3600 nr r nr ，则 n=3600 24=150 ， 故扇形的圆心角
13、是150，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是 3 4 ， 故选 C. 【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点 较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假. 二、填空题二、填空题(本题包括本题包括 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 21 分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上) 11.计算： （1） 0 (3.14) _； （2）2cos45_； （3） 2 1 _ 【答案】 (1). 1 (2). 2 (3). -1 【解析】 【分析】 根据零指数幂，特殊角的三角函
14、数值，乘方运算法则分别计算即可. 【详解】解： 0 (3.14)1， 2cos452 2 2 = 2， 2 1-1， 故答案为：1， 2，-1. 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关键. 12.若数据 3，a，3，5，3 的平均数是 3，则这组数据中（1）众数是_； （2）a 的值是_； （3）方 差是_ 【答案】 (1). 3 (2). 1 (3). 1.6 【解析】 【分析】 根据平均数的定义先求出 a 的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案 【详解】解：根据题意得， 3+a+3+5+3=3 5， 解得：a=1， 则一组数据 1，3，
15、3，3，5 的众数为 3， 方差为： 222221 1 333333353 5 = 8 5 =1.6， 故答案为： （1）3； （2）1； （3）1.6 【点睛】此题考查了众数、平均数和方差，用到的知识点是众数、平均数和方差的求法，注意计算不要出 错. 13.如图，点 O 在直线AB上，531728AOC ，则BOC的度数是_ 【答案】126 4232 【解析】 【分析】 根据补角的定义，进行计算即可. 【详解】解：由图可知：AOC 和BOC 互补， 53 1728AOC， BOC=180 -53 1728=126 4232， 故答案为：126 4232. 【点睛】本题考查了补角的定义，和角的
16、计算，关键是掌握角的运算方法. 14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形，按这样的方法拼成的第1n个正方形比第 n 个正方形多_个小正方形 【答案】2n+3 【解析】 【分析】 首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案 【详解】解：第一个图形有 22=4 个正方形组成， 第二个图形有 32=9 个正方形组成， 第三个图形有 42=16 个正方形组成， 第 n 个图形有（n+1）2个正方形组成，第 n+1 个图形有（n+2）2个正方形组成 （n+2）2-（n+1）2 =2n+3 故答案为：2n+3
17、 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键 15.有一个人患了新冠肺炎， 经过两轮传染后共有 169 人患了新冠肺炎， 每轮传染中平均一个人传染了_ 个人 【答案】12 【解析】 【分析】 设平均一人传染了 x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，列方程求解 【详解】解：设平均一人传染了 x 人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12 或 x=-14（舍去） 平均一人传染 12 人 故答案为：12 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解 16.如图，在ABC中， 90 ,ACBACBC，点 P
18、 在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形 PCQ，90PCQ，则 222 ,PA PB PC三者之间的数量关系是_ 【答案】PA2+PB2=PQ2 【解析】 【分析】 把 AP2和 PB2都用 PC 和 CD 表示出来， 结合 Rt PCD 中， 可找到 PC 和 PD 和 CD 的关系， 从而可找到 PA2， PB2，PQ2三者之间的数量关系； 【详解】解：过点 C 作 CDAB，交 AB 于点 D ACB 为等腰直角三角形，CDAB， CD=AD=DB， PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CDPD+PD2， PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2C
19、DPD+PD2， PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2） ， 在 Rt PCD 中，由勾股定理可得 PC2=CD2+PD2， PA2+PB2=2PC2， CPQ 为等腰直角三角形，且PCQ=90 ， 2PC2=PQ2， PA2+PB2=PQ2， 故答案为 PA2+PB2=PQ2. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论 证. 17.如图，在ABC中， ,120ABACBAC，点 E 是边AB的中点，点 P 是边BC上一动点，设 ,PCx PAPEy 图是 y 关于 x 的函数图象， 其中 H 是图象上的最低点 那么a b的
20、值为_ 【答案】7 【解析】 【分析】 过 B 作 AC 的平行线，过 C 作 AB 的平行线，交于点 D，证明四边形 ABCD 为菱形，得到点 A 和点 D 关于 BC 对称，从而得到 PA+PE=PD+PE，推出当 P，D，E 共线时，PA+PE 最小，即 DE 的长，观察图像可知： 当点 P 与点 B 重合时，PD+PE=3 3，分别求出 PA+PE 的最小值为 3，PC 的长，即可得到结果. 【详解】解：如图，过 B 作 AC 的平行线，过 C 作 AB 的平行线，交于点 D， 可得四边形 ABCD 为平行四边形，又 AB=AC， 四边形 ABCD 为菱形，点 A 和点 D 关于 BC
21、 对称， PA+PE=PD+PE， 当 P，D，E 共线时，PA+PE 最小，即 DE 的长， 观察图像可知：当点 P 与点 B 重合时，PD+PE=3 3， 点 E 是 AB 中点， BE+BD=3BE=3 3， BE= 3，AB=BD=2 3， BAC=120 ， ABD=（180 -120 ） 2 2=60 ， ABD 为等边三角形， DEAB，BDE=30 ， DE=3，即 PA+PE 的最小值为 3， 即点 H 的纵坐标为 a=3， 当点 P 为 DE 和 BC 交点时， ABCD， PBEPCD， PBBE PCCD ， 菱形 ABCD 中，ADBC， BC=2 22 2 33 =
22、6， 63 2 3 PC PC ， 解得：PC=4， 即点 H 的横坐标为 b=4， a+b=3+4=7， 故答案为：7. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数 形结合的思想解答 三、解答题三、解答题(本题包括本题包括 9 小题，共小题，共 69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出 各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤) 18.解方程： 23 2xx . 【答案】6x. 【解析】 分析】 首先去掉分母，观察可得最简公分母是 x（x2）
23、 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方 程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解 【详解】去分母，得232xx， 去括号，得236xx， 移项，合并同类项，得6x ， 化 x 的系数为 1，得6x， 经检验，6x是原方程的根， 原方程的解为6x 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键 19.从 A 处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A 处与楼的水平距离AD为90m，若 tan0.27,tan2.73 ，求这栋楼高 【答案】270 米 【解析】 【分析】 根据正切的定义分别求出 BD、DC 的长，求和即可. 【详解】解：在 R
24、t ABD 中，tan= BD AD ， 则 BD=ADtan=900.27=24.3， 在 Rt ACD 中，tan= CD AD ， 则 CD=ADtan=902.73=245.7， BC=BD+CD=24.3+245.7=270， 答：这栋楼高约为 270 米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键 20.用定义一种新运算：对于任意实数 m 和 n，规定 2 3mnm nmnn，如： 2 1 2121 23 26 （1）求23； （2）若36m ，求 m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集 【答案】(1)3
25、3；(2)2m，图见解析 【解析】 【分析】 （1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于 x 的不等式，解不等式即可得 详解】解： （1）23= 2 232333 =4 3 2 33 3 =3 3 （2）36m ， 2 3336mmm 解得：2m 将解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一 元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 21.甲口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 1，2；乙口袋中装有 3 个相同小球，它们分别写有数字 3，4，5；丙口袋中装有 2 个相
26、同小球，它们分别写有数字 6，7从三个口袋各随机取出 1 个小球用画树 状图或列表法求： （1）取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率 【答案】 （1） 5 12 ； （2） 1 6 【解析】 【分析】 （1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； 【详解】解：画树状图得： （1）共有 12 种等可能的结果，取出的 3 个小球上恰好有 1 个偶数数字的有 5 种情况， 取出的 3 个小球上只有 1 个偶数数字的概率是 5 12
27、： （2）共有 12 种等可能的结果，取出的 3 个小球上全是奇数数字的有 2 种情况， 取出的 3 个小球上全是奇数数字的概率是 21 126 . 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步 或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比 22.如图，O的直径AB交弦(不是直径)CD于点 P，且 2 PCPB PA求证：ABCD 【答案】见解析 【解析】 【分析】 连接 AC 和 BD，证明 PACPDB，得到 PAPC PDPB ，再根据 2 PCPB PA得到 PAPC PCPB ，从而得到 PC=PD，根据垂径定理得出结果. 【
28、详解】解：连接 AC 和 BD， 在 PAC 和 PBD 中， A=D，C=B， PACPDB， PAPC PDPB ， PAPD PCPB ， 2 PCPB PA， PAPC PCPB ， PC=PD， AB 为直径， ABCD. 【点睛】 本题考查了圆周角定理， 相似三角形的判定和性质， 垂径定理， 解题的关键是证明 PACPDB， 得到 PAPC PDPB . 23.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干 名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答 下列问题： （1）在这次调查中，共调查
29、了多少名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校爱好运动的学生共有 800 名，则该校学生总数大约有多少名 【答案】 （1）100； （2）见解析； （3）2000 【解析】 【分析】 （1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形 （3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数 【详解】解： （1）爱好运动的人数为 40，所占百分比为 40% 共调查人数为：40 40%=100 （2）爱好上网的人数所占百分比为 10% 爱好上网人数为：100 10%=10， 爱好阅读人数为：100-40-20-1
30、0=30， 补全条形统计图，如图所示， （3）爱好运动的学生人数所占的百分比为 40%， 该校共有学生大约有：800 40%=2000 人； 【点睛】本题考查统计，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型 24.某服装专卖店计划购进,A B两种型号的精品服装已知 2 件 A 型服装和 3 件 B 型服装共需 4600 元；1 件 A 型服装和 2 件 B 型服装共需 2800 元 （1）求,A B型服装的单价； （2）专卖店要购进,A B两种型号服装 60 件，其中 A 型件数不少于 B 型件数的 2 倍，如果 B 型打七五折， 那么该专卖店至少需要准备多少货款？ 【答案】 （1
31、）A 型女装的单价是 800 元，B 型女装的单价是 1000 元； （2）47000 【解析】 【分析】 （1） 设 A 型女装的单价是 x 元， B 型女装的单价是 y 元 根据“2 件 A 型女装和 3 件 B 型女装共需 4600 元； 1 件 A 型女装和 2 件 B 型女装共需 2800 元”列出方程组并解答； （2）设购进 A 型女装 m 件，则购进 B 型女装（60-m）件，依据“A 型的件数不少于 B 型件数的 2 倍”求得 m 的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用 【详解】解： （1）设 A 型女装的单价是 x 元，B 型女装的单价是 y 元， 依题意得： 23
32、4600 22800 xy xy 解得： 800 1000 x y 答：A 型女装的单价是 800 元，B 型女装的单价是 1000 元； （2）设购进 A 型女装 m 件，则购进 B 型女装（60-m）件， 根据题意，得 m2（60-m） ， m40， 设购买 A、B 两种型号的女装的总费用为 w 元， w=800m+1000 0.75 （60-m）=50m+45000， w 随 m 的增大而增大， 当 m=40 时，w最小=50 40+45000=47000 答：该专卖店至少需要准备 47000 元的贷款 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用解决问题的关键是读懂题意
33、，找到 关键描述语，找到所求的量的等量关系 25.中心为 O 的正六边形ABCDEF的半径为6cm点 ,P Q同时分别从,A D两点出发，以1cm/s的速度沿 ,AF DC向终点,F C运动，连接,PB PE QB QE，设运动时间为 t s （1）求证：四边形PBQE为平行四边形； （2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比 【答案】 （1）见解析； （2）2：3 【解析】 【分析】 （1）只要证明 ABPDEQ（SAS） ，可得 BP=EQ，同理 PE=BQ，由此即可证明； （2）过点 B，点 E 作 BNCD，EMCD，连接 OC，OD，过点 O 作 OHCD 分别求出矩
34、形PBQE的面 积和正六边形ABCDEF的面积，从而得到结果. 【详解】解： （1）证明：中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6cm， AB=BC=CD=DE=EF=FA，A=ABC=C=D=DEF=F， 点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动， AP=DQ=t，PF=QC=6-t， 在 ABP 和 DEQ 中， ABDE AD APDQ ， ABPDEQ（SAS） ， BP=EQ，同理可证 PE=QB， 四边形 PEQB 是平行四边形； （2）由（1）可知四边形 PEQB 是平行四边形 当BQE=90 时，四边形 PEQ
35、B 是矩形 过点 B，点 E 作 BNCD，EMCD，连接 OC，OD，过点 O 作 OHCD BNQ=QME=90 ， BQN+NBQ=90 ，BQN+EQM=90 NBQ=EQM NBQMQE BNQM NQEM = 又正六边形 ABCDEF 的半径为 6， 正六边形 ABCDEF 的各边为 6，BCQ=EDQ=120 在 Rt BNC 和 Rt EDM 中，NBC=DEM=30 NC=DM= 1 3 2 BC ，BN=EM=3 3 3 33 x 9x3 3 + = - ，解得： 12 60 xx，（舍去） 即当 P 与 F 重合，Q 与 C 重合时，四边形 PEQB 是矩形 此时矩形 P
36、EQB 的面积为BC CE6 6 336 3= ? 在正六边形 ABCDEF 中，COD=60 ，OC=OD OCD 是等边三角形，OC=OD=CD=6，OH=3 3 S六边形ABCDEF= 1 6 2 CD OH = 1 6 3 36 2 =54 3， S矩形PBQE：S六边形ABCDEF=36 3：54 3=2：3 【点睛】本题考查正多边形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质与判定，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，属于中考常考题型 26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yxbxc 与 x 轴交于点 ,A B，与 y 轴交于点 C，且直线 6yx过点 B，与 y 轴交于点 D，
37、点 C 与点 D 关于 x 轴对称点 P 是线段OB上一动点，过点 P 作 x 轴 的垂线交抛物线于点 M，交直线BD于点 N （1）求抛物线的函数解析式； （2）当MDB的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）在（2）条件下，在 y 轴上是否存在点 Q，使得以,Q M N三点为顶点的三角形是直角三角形，若 存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1） 2 56yxx ； （2） （2，0） ； （3）存在， （0，12）或（0，-4）或（0，42 15）或（0， 42 15 ）. 【解析】 【分析】 （1）根据直线6yx求出点 B 和点 D 坐标，再根据 C 和 D 之
38、间的关系求出点 C 坐标，最后运用待定系 数法求出抛物线表达式； （2） 设点 P 坐标为 （m， 0） ， 表示出 M 和 N 的坐标， 再利用三角形面积求法得出 S BMD= 2 31236mm， 再求最值即可； （3）分当QMN=90 时，当QNM=90 时，当MQN=90 时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质， 分别求解即可. 【详解】解： （1）直线6yx过点 B，点 B 在 x 轴上， 令 y=0，解得 x=6，令 x=0，解得 y=-6， B（6，0） ，D（0，-6） ， 点 C 和点 D 关于 x 轴对称， C（0，6） ， 抛物线 2 yxbxc 经过点 B 和点 C，
39、代入， 0366 6 bc c ，解得： 5 6 b c ， 抛物线的表达式为： 2 56yxx ； （2）设点 P 坐标为（m，0） ， 则点 M 坐标为（m， 2 56mm） ，点 N 坐标为（m，m-6） ， MN= 2 56mm -m+6= 2 412mm， S BMD=S MNB+S MND = 2 1 4126 2 mm = 2 31236mm =-3（m-2）2+48 当 m=2 时，S BMD最大=48， 此时点 P 的坐标为（2，0） ； （3）存在， 由（2）可得：M（2，12） ，N（2，-4） ， 设点 Q 的坐标为（0，n） ， 当QMN=90 时，即 QMMN，如图
40、， 可得，此时点 Q 和点 M 的纵坐标相等， 即 Q（0，12） ； 当QNM=90 时，即 QNMN，如图， 可得，此时点 Q 和点 N 的纵坐标相等， 即 Q（0，-4） ； 当MQN=90 时，MQNQ，如图， 分别过点 M 和 N 作 y 轴的垂线，垂足为 E 和 F， MQN=90 ， MQE+NQF=90 ，又MQE+QME=90 ， NQF=QME， MEQQFN， MEEQ QFFN ，即 212 42 n n ， 解得：n=4 2 15 或42 15， 点 Q（0，42 15）或（0，42 15） ， 综上：点 Q 的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，42 15）或（0，42 15）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性 质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.
