1、二、概率密度的概念与性质二、概率密度的概念与性质一、连续型随机变量一、连续型随机变量2.4 2.4 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量一、连续型随机变量例例 r.v.r.v.X X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”,).,0 定性定义定性定义 随机变量所取的可能值可以连续地充满某随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则X X 取值范围为取值范围为连续型随机变量特点：连续型随机变量特点：例例：设：设X X为在为在00，11任意取点的坐标，则任意取点的坐标，则X X为连续为连续型随机变量型随机变量,其分布函数为其分布函数为
2、 ，111000)(xxxxxF显然显然，,0101)(其它存在xxf。使使dttfxFx )()(.,)(,d)()(,)(简称概率密度简称概率密度密度函数密度函数的概率的概率称为称为其中其中为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数非负函数非负函数存在存在的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量XxfXttfxFxxFXx 二、概率密度的概念与性质二、概率密度的概念与性质1.定义定义xo)(xf11d)(xxfS1SxxfSxxd)(211 1x 2x probability density ,p.d.f(x)f(x)几何意义几何意义：曲线：曲线y
3、=f(x)y=f(x)与与x x 轴之间的面积等于轴之间的面积等于1 1)()()3(1221xFxFxXxP ;d)(21xxfxx xxfxd)(2 证明证明.d)(21xxfxx )()(1221xFxFxXxP xxfxd)(1 2性质性质;0)()1(xf;1d)()2(xxf证明证明 .d)()(1xxfF可得计算公式：可得计算公式：)(aFaXP ,d)(xxfa 1aXPaXP )(1aF .d)(xxfa 满足（满足（1）（）（2）的）的一个可积函数一个可积函数f(x)必是某连续型随机必是某连续型随机变量变量X的概率密度，的概率密度，因此，常用这两条因此，常用这两条性质检验性
4、质检验f(x)是否是否为概率密度。为概率密度。几何意义几何意义：X X落在区间落在区间(x(x1 1，x x2 2 的概率的概率PxPx1 1Xx0.1PX0.1。解解:(1):(1)由于由于 dxxf)(于是于是X X的概率密度为的概率密度为 0003)(3xxexfx，解得，解得k k=3.=3.dxkex0313k(2)(2)从而从而 )(xF 0001)(3xxexFx即即1.0)(dxxfdttfx)(00013303xxedtexxt1.03XP）（3.01.033edxex例例2:2:连续型随机变量连续型随机变量X X的分布函数的分布函数00)(xAeBxAexFxx（1 1）求
5、）求A A，B B（2 2）求）求X X的概率密度（的概率密度（3 3）P-1X2 P-1Xoso，t0,t0,有有 tXPsXtsXP|则称则称随机变量随机变量X X具有无记忆性。具有无记忆性。,sXPsXtsXPtstseee)(sXPtsXP 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无例如无线电元件的寿命线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布等都服从指数分布.应应用用与与背背景景解：分析：解：分析：t t0 0时时,PT,PTt=0.tt=0.t0 0时时,因为因为N(t)=kN(t)=k表示设备在长度为表示
6、设备在长度为t t的时间段内发生的时间段内发生k k次故障。次故障。TtTt表示相继出现的两次故障之间的时间间隔大于表示相继出现的两次故障之间的时间间隔大于t t，即从前，即从前一次故障开始计时直到一次故障开始计时直到t t时为止没有发生故障（在时为止没有发生故障（在0,t0,t时间时间内未发生故障）。亦即内未发生故障）。亦即Tt=N(t)=0Tt=N(t)=0 ,!0)(0)(0tettNPtTP 所以所以)(1tFetTPt 0001)(ttetFt所以服从参数为服从参数为的指数分布。的指数分布。例例4 4 假定设备在任何长为假定设备在任何长为t t 的时间内发生故障的次数的时间内发生故障
7、的次数N(t)N(t)(t)(t)的的possionpossion分布分布,求相继两次故障间的求相继两次故障间的时间间隔时间间隔T T的分布函数。的分布函数。（2 2）设备在已经无故障运行）设备在已经无故障运行8 8小时的情况下，继续无故障运行小时的情况下，继续无故障运行8 8小时的概率。小时的概率。由指数分布的由指数分布的“无记忆性无记忆性”可知，所求概率为可知，所求概率为88888181(8)P TTP TP TFe 补充一问：补充一问：).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为正态分布或高斯分布正态分布或高斯分布的的服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的
8、概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量 3.3.正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)(Normal Distribution)(Normal Distribution)定义定义正态分布是应用最广泛的一种连续型分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为所以通常称为高斯分布高斯分布.第五章将介绍第五章将介绍为什为什么么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布 .验证验证f(x)f(x)是一个合理的概率密度函数是一个合理的概率密度函数:显然，显然，f(x)0f(x)0；
9、下面验证；下面验证 1)(dxxf对于积分对于积分 dxex222)(21 dtedtedxettx222)(2222212121 1)(,222dxxfdtet所以因为 xt作代换作代换则则棣莫弗棣莫弗棣莫弗棣莫弗最早发现了二项概率的一个近似公最早发现了二项概率的一个近似公式，该公式被认为是式，该公式被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我这条曲线就近似我们将要介绍的正态们将要介绍的正态分布的密度曲线。分布的密度曲线。决定图形的中心位置，决定图形的中心位置，决定图形中峰的陡峭程度决定图形中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点)
10、,(2N思考：能不能根据密度函数的表达式，得出正态思考：能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？分布的图形特点呢？xexfx,)()(22221 xexfx,)()(22221 容易看到，容易看到，f f(x x)0)0 即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x x轴的上方轴的上方;思考：能不能根据密度函数的表达式，得出正态思考：能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？分布的图形特点呢？令令x x=+c c,x x=-c c(c c0),0),分别代入分别代入f f(x x),),可得可得f(+c)=f(-c)且且f f(+c c)f f(),),f f(-c
11、 c)f f()故故f f(x x)以以为对称轴，在为对称轴，在x x=达到最大值达到最大值:21)(f说明曲线说明曲线 f f(x x)向左右伸展时，越来越贴近向左右伸展时，越来越贴近x x轴。即轴。即f f (x x)以以x x轴为渐近线。轴为渐近线。xexfx,)()(22221 当当xx 时，时，f f(x x)0,0,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，x=x=为为f f(x x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。根据对密度函数的分析，可初步画出正态分布的概率密根据对密度函数的分析，可初步画出正态分布的概率密度曲线图。度曲线图。服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机
12、变量X X的的分布函数分布函数P P(X Xx x)是怎样的呢？是怎样的呢？),(2N正态分布由正态分布由参数参数和和唯一确定，唯一确定，当当和和不不同，是不同同，是不同正态分布。正态分布。txFxtde21)(222)(正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 例如测量误差例如测量误差,人的生理特征人的生理特征尺寸如身高、体重等尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布径、长度、重量高度等都近似服从正态分布正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)(xXP?原函数不是原函数不是初等函数初等函数
13、方法一方法一:利用统计软件包计算利用统计软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布:标准正态分布标准正态分布1,0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x.)1,0(,1,0),(2NN记记为为分分布布正正态态分分布布称称为为标标准准正正态态这这样样的的时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度为标准正态分布的概率密度为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数
14、为标准正态分布的分布函数为.,de21)(22 xtxxt).1,0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证明证明的的分分布布函函数数为为XZ xZP xXPxXP ,de21222)(xtt得得令令,ut xZP xuude2122),(x ).1,0(NXZ 故故标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正一般的正态分布都可以通过态分布都可以通过线性变换线性变换转化为标准正态分布转化为标准正态分布.根据引理根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题就可以解决一般正态分布的概率计算问题
15、.正态分布表正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表，有书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.)(1)(xxdtexxt2221)(当当-x x0c=2PXcPXc=2PXc。解解:2311ccXPcXP23ccXP即即因因此此,232231 cc，3123c查表得：查表得：(3-c)/2 0.43,(3-c)/2 0.43,即即c=2.14c=2.14 3231123c从而例例7 7 假设测量的随机误差假设测量的随机误差X X N(0,10 N(0,102 2),),试求在试求在100100次次独立重复测量中至少有
16、三次测量误差的绝对值大于独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.619.6的概率的概率,并利用并利用possionpossion分布求分布求的近似值。的近似值。解：设解：设p p为每次测量误差绝对值大于为每次测量误差绝对值大于19.6(19.6(记为记为A A事件）事件）的概率的概率,p=P|X|19.6=P|X|/101.96=1-P|X|/101.96 =1-(1.96)+(-1.96)=1-(1.96)+1-(1.96)=2-2(1.96)=0.05P|X|/10 19.6/10设设Y Y表示表示100100次独立测量中事件次独立测量中事件A A出现的次数出现的次数,则：则：Y
17、b(100,0.05)505.0100 np 3YP3!kkke35!5kkke8753.0由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，说明，说明，X X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3-3,3区间内，超出这区间内，超出这个范围的可能性仅占不到个范围的可能性仅占不到0.3%.0.3%.这也是这也是N(0,1)N(0,1)表只作表只作(0,3)(0,3)的概率的原因。的概率的原因。当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.99
18、74 3 3 准则（三倍标准差原则准则（三倍标准差原则）推广到一般的正态分布推广到一般的正态分布,),(2NY时时6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP X X 在在 概率为概率为0.9974,0.9974,称为称为“33规则规则”3,3附录附录1介绍棣莫弗（介绍棣莫弗（De Moivre,Abraham）2介绍高斯（介绍高斯（Gauss,Garl Friedrich）棣莫弗棣莫弗（De Moivre,Abraham）（16671754）名人名言名人名言 “棣莫弗在概率论方面贡献很大棣莫弗在概率论方面贡献很大.”伊夫斯伊夫斯 生平简介生平简介 棣莫弗是棣莫
19、弗是法国法国英国数学家英国数学家.1667.1667年年5 5月月2626日生于法国维特里勒弗朗索瓦；日生于法国维特里勒弗朗索瓦；17541754年年1111月月2727日日卒于英国伦敦卒于英国伦敦.棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，最棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，最先在当地一所天主教堂学校念书，随后他离开农先在当地一所天主教堂学校念书，随后他离开农村到色拉的一所清教徒学校求学村到色拉的一所清教徒学校求学.棣莫弗是法国棣莫弗是法国加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监禁，由于加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监禁，由于南兹敕令释放后南兹敕令释放后1685年移居英国，曾任家庭教师年移居英国，曾
20、任家庭教师和保险事业顾问等职，并潜心科学研究，当他读和保险事业顾问等职，并潜心科学研究，当他读了了生平简介生平简介 牛顿的牛顿的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理深深地被这部著深深地被这部著作吸引了作吸引了.不久便把这部书读完了，从而打下了不久便把这部书读完了，从而打下了坚实的基础坚实的基础.1695年写出颇有见地的有关流数术年写出颇有见地的有关流数术学的论文，学的论文，并成为牛顿的好友并成为牛顿的好友.两年后当选为皇两年后当选为皇家学会会员，家学会会员，1735年、年、1754年又分别被接纳为柏年又分别被接纳为柏林科学院和巴黎科学院院士林科学院和巴黎科学院院士.由于棣莫弗是从欧由于棣莫弗是
21、从欧洲大陆到英国的侨民，而且又懂微积分，所以曾洲大陆到英国的侨民，而且又懂微积分，所以曾被派参加专门调解牛顿与莱布尼茨之间关于微积被派参加专门调解牛顿与莱布尼茨之间关于微积分发明权之争的委员会分发明权之争的委员会.对数学的主要贡献对数学的主要贡献 棣莫弗棣莫弗1711年撰写了年撰写了抽签的计量抽签的计量的论文，的论文，1718年扩充为年扩充为机会的学说机会的学说一书，这是概率论一书，这是概率论的最早著作之一，的最早著作之一，书中书中首次定义首次定义了了独立事件的乘独立事件的乘法定理，给出了二项分布公式法定理，给出了二项分布公式，讨论了掷骰和其，讨论了掷骰和其它赌博的许多问题它赌博的许多问题.他
22、的另一本名著是他的另一本名著是1730年的年的关于级数和求积的综合分析关于级数和求积的综合分析，讨论了排列和，讨论了排列和组合理论，书中组合理论，书中最早使用了概率积分最早使用了概率积分 ，2de 0 -2 xx 对数学的主要贡献对数学的主要贡献得到得到n阶乘的级数表达式，指出对于很大的阶乘的级数表达式，指出对于很大的n，.1733年他又用阶乘的近似公式导出年他又用阶乘的近似公式导出正态分布的频率曲线正态分布的频率曲线 （其中（其中c和和h是常是常数），以此作为二项分布的近似数），以此作为二项分布的近似.以棣莫弗姓氏以棣莫弗姓氏命名的命名的棣莫弗棣莫弗拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理，是概率论
23、中，是概率论中第二个基本极限定理的原始形式第二个基本极限定理的原始形式.!nn2nne 2hxcy e 对数学的主要贡献对数学的主要贡献 棣莫弗棣莫弗1707年在研究年在研究三角学三角学时实质上已经得时实质上已经得到了到了“棣莫弗公式棣莫弗公式”(cos+i sin)n=cos n+i sin n，只不过在只不过在1722年发表时没有明显的表达出来（明年发表时没有明显的表达出来（明显表达出来是欧拉给出的，欧拉还把此公式推广显表达出来是欧拉给出的，欧拉还把此公式推广到任意实数到任意实数n，而棣莫弗只讨论了，而棣莫弗只讨论了n是自然数的情是自然数的情形）形）.对数学的主要贡献对数学的主要贡献 棣莫
24、弗还棣莫弗还将概率论应用于保险事业将概率论应用于保险事业.1725.1725年，年，他出版了他出版了年金论年金论，在这本书中他不仅改进了，在这本书中他不仅改进了以往众所周知的关于人口统计的方法，而且在假以往众所周知的关于人口统计的方法，而且在假定死亡率所遵循的规律以及银行利息不变的情况定死亡率所遵循的规律以及银行利息不变的情况下，推导出了计算年金的公式，从而为保险事业下，推导出了计算年金的公式，从而为保险事业提供了合理处理有关问题的依据，提供了合理处理有关问题的依据，这些内容被后这些内容被后人奉为经典人奉为经典.对数学的主要贡献对数学的主要贡献 棣莫弗还用复数证明了求解方程棣莫弗还用复数证明了
25、求解方程xn-1=0相当相当于把圆周分成于把圆周分成n等分的结论，因此产生了所谓等分的结论，因此产生了所谓棣棣莫弗圆莫弗圆的性质的研究，这个问题在解方程发展史的性质的研究，这个问题在解方程发展史上也有一定的影响上也有一定的影响.趣闻轶事趣闻轶事关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天要传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天要比前一天多睡比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，小时时，棣莫弗就长眠不醒了棣莫弗就长眠
26、不醒了.高斯（高斯（Gauss,Garl Friedrich）(17771855)名人名言 “他的思想深入数学、空间、大自然的奥他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘秘.他推动了数学的进展直到下个世纪他推动了数学的进展直到下个世纪.”摘慕尼黑博物馆高斯画像下的诗句摘慕尼黑博物馆高斯画像下的诗句 “数学是科学的皇后数学是科学的皇后.”高斯高斯 生平简介 高斯是德国数学家、物理学家、天文学高斯是德国数学家、物理学家、天文学家家.1777年年4月月30日生于不伦瑞克；日生于不伦瑞克；1855年年2月月23日日卒于哥廷根卒于哥廷根.高斯幼年就显露出数学方面的非凡才高斯幼年就显露出数学方面的非凡才华：他华
27、：他10岁时，发现了岁时，发现了1+2+3+4+97+98+99+100的一个巧妙的求和方法；的一个巧妙的求和方法；11岁时，发现了二项式岁时，发现了二项式定理定理.高斯的才华受到了布伦瑞克公爵卡尔高斯的才华受到了布伦瑞克公爵卡尔威廉威廉（Karl Wilhelm）的赏识，亲自承担起对他的培）的赏识，亲自承担起对他的培养教育，先把他送到布伦瑞克的卡罗林学院学习养教育，先把他送到布伦瑞克的卡罗林学院学习（17921795年），嗣后又推荐他去哥廷根大学年），嗣后又推荐他去哥廷根大学深造（深造（17951798年）年）.生平简介 高斯高斯2222岁获黑尔姆斯泰特大学博士学位，岁获黑尔姆斯泰特大学博士
28、学位，3030岁被聘为哥廷根大学数学和天文教授，并担任该岁被聘为哥廷根大学数学和天文教授，并担任该校天文台的台长校天文台的台长.对数学的主要贡献 高斯在卡罗林学院认真研读了牛顿、欧拉、高斯在卡罗林学院认真研读了牛顿、欧拉、拉格朗日的著作拉格朗日的著作.在这时期他发现了素数定理（但在这时期他发现了素数定理（但未能给出证明）；发现了数据拟合中最为有用的未能给出证明）；发现了数据拟合中最为有用的最小二乘法；提出了概率论中的正态分布公式并最小二乘法；提出了概率论中的正态分布公式并用高斯曲线形象地予以说明用高斯曲线形象地予以说明.进入哥廷根大学第二进入哥廷根大学第二年，他证明了正年，他证明了正17边形能
29、用尺规作图边形能用尺规作图.高斯的博士论文可以说是数学史上的一块里高斯的博士论文可以说是数学史上的一块里程碑程碑.他在这篇文章中严格的证明了代数基本定理，他在这篇文章中严格的证明了代数基本定理，从而开创了从而开创了“存在性存在性”证明的新时代证明的新时代.对数学的主要贡献 高斯在数学世界高斯在数学世界“处处留芳处处留芳”：他对数论、：他对数论、复变函数、椭圆函数、超几何级数、统计数学等复变函数、椭圆函数、超几何级数、统计数学等各个领域都有卓越的贡献各个领域都有卓越的贡献.他是第一个成功地运用他是第一个成功地运用复数和复平面几何的数学家：他的复数和复平面几何的数学家：他的算术探究算术探究一书奠定
30、了近代数论的基础；他的一书奠定了近代数论的基础；他的一般曲面论一般曲面论是近代微分几何的开端；他是第一个领悟到存在是近代微分几何的开端；他是第一个领悟到存在非欧几何的数学家；是现代数学分析学的一位大非欧几何的数学家；是现代数学分析学的一位大师，师，1812年发表的论文年发表的论文无穷级数的一般研究无穷级数的一般研究，引入了高斯级数的概念，对级数的收敛性作了第引入了高斯级数的概念，对级数的收敛性作了第一次系统的研究，从而开创了关于级数收敛性研一次系统的研究，从而开创了关于级数收敛性研究的新时代究的新时代.对数学的主要贡献 这项工作开辟了通往这项工作开辟了通往19世纪中叶分析学的严世纪中叶分析学的
31、严密化道路密化道路.在在高等数学高等数学及及工程数学工程数学中以他中以他的姓氏命名的有：高斯公式、高斯曲率、高斯分的姓氏命名的有：高斯公式、高斯曲率、高斯分布、高斯方程、高斯曲线、高斯平面、高斯记布、高斯方程、高斯曲线、高斯平面、高斯记号号等等等等.拉普拉斯认为：拉普拉斯认为：“高斯是世界上最伟高斯是世界上最伟大的数学家大的数学家.”趣闻轶事 高斯厚积薄发、治学严谨，为了使自己的论高斯厚积薄发、治学严谨，为了使自己的论著无懈可击，他的著作写得简单扼要、严密，不著无懈可击，他的著作写得简单扼要、严密，不讲来龙去脉，有些语句几经琢磨提炼，以致简炼讲来龙去脉，有些语句几经琢磨提炼，以致简炼得使人读了十分费解，他论著中所深藏不露的内得使人读了十分费解，他论著中所深藏不露的内容几乎比他所表现的明确结论还要多得多容几乎比他所表现的明确结论还要多得多.阿贝尔阿贝尔对此曾说：对此曾说：“他像只狐狸，用尾巴抹平了自己的他像只狐狸，用尾巴抹平了自己的沙地上走过的脚印沙地上走过的脚印.”对于这些批评，高斯回答说：对于这些批评，高斯回答说：“凡有自尊心的建筑师，在瑰丽的大厦建成之后，凡有自尊心的建筑师，在瑰丽的大厦建成之后，决不会把脚手架留在那里决不会把脚手架留在那里.”
