1、 - 1 - 安徽省 2016-2017 学年高二下学期第三次月考 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 结合数轴可知 故本题答案选 2. 复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 故本题答案选 3. 设 ，则 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题知 中含有 个元素 ，满足的为 ，由古典概型知所求概率为 故本题答案选 4. 已知命题 ，
2、 ， ，则 为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】 A 【解析】 含有存在量词的命题的否定，只需将存在量词改为特征量词，再将结论否定即可，故本题选 5. 若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 作出如图所示可行域，令 ，由 得直线 ，由图象知当平移至过点时，目标函数取最大值 故本题答案选 6. 已知点 在双曲线 的渐近线上， 的焦距为 12，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 7. 设 是等差数列 的前 项和，且 ， 为等比数列， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题
3、知 ，则 ，又 ，故 ，- 3 - 又 ，等比数列 ，所以 故本题答案选 8. 某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积 为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由正视图与俯视图知，此三棱的底面三角形的一条边为 ，此边上的高为 ，三棱锥的高为 故其体积为 故本题答案选 9. 执行如图所示程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由程序框图知 输出 故本题答案选 点睛： 本题主要考查程序框图中的循环结构 .循环结构中都有一个累计变量和计数变量 ,累计- 4 - 变量用于输出结果 ,计算变量用于 记录循环次数 ,累计
4、变量用于输出结果 ,计数变量和累计变量一般是同步执行的 ,累加一次计数一次 ,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量 ,都会出现错误 .计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件 ,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序 ,顺序不一样 ,输出的结果一般不会相同 . 10. 已知点 ， ，点 是圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 11. 设 分别为 内角 的对边，且 ， 、 是方程的两根，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由倍角公式和诱导公式可得 ，解得，由根与系数的关系知 ，所以故本题答案选 点睛：
5、本题主要考查倍角公式 ,正余弦定理 .在利用正 ,余弦定理 解三角形的过程中 ,当所给的等式中既有正弦又有余弦时 ,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系 ;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状 .解三角形问题时 ,要注意正 ,余弦定理的变形应用 ,解题思路有两个 :一个是角化为边 ,二是边化为角 . 12. 已知函数 的定 义域为 ，且满足 ，当 时，.设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 C - 5 - 【解析】 由题 ，则 函数 的周期为 又，则 ，函数为偶函数所以 ， ，又 且函数 在上是减函数，所以 ，即 点睛： 本题主要考查分段
6、函数及分类讨论数学思想 .分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么 .某些较复杂函数中 ,利用函数周期性质 ,奇偶性等可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上 .解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对 应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 设函数 ，则满足 的 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 当 时，不等式为 ，解得 ，当 时，由 ，得 ，所以 则满足 的取值范围是 故本题应填 14. 已知向量 、 的夹角为 ， ， ，则 _ 【答案】 【解
7、析】 由 ，两边平方得 ，即，又 ，解方程可得 故本题应填 15. 已知函数 ，若曲线 在点 处的切线为，且在 轴上的 截距为 ，则实数 _ 【答案】 【解析】 由函数可求切点为 ，对函数求导得 ，则切线斜率，可求得切线方程，再由截距知过点 ， 代入切线方程可得解得 故本题应填 点睛： 曲线 在点 处的切线是指以点 为切点的切线，若存在，只有一条，其方程为 ；而曲线 过点 的切线，其切点不一定是 ，且切线也不- 6 - 一定只有一条，此时无论点是否在曲线 上，一般解法是先设切点为 ，切线方程为 ，再把点 坐标代入切线方程解得 ，最后把解得的 代入切线方程，化简即可求得所求的切线方程 16. 已
8、知向量 ， ， 且 ，则 _ 【答案】 【解析】 ，即 ，令，则 ， ，故故本题应填 点睛： 本题主要考查向量的坐标运算 ,向量的数量积 .三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题 ,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件 ,并结合简单的向量运算 ,往往是两向量平行或垂直的计算 ,即令 ,则把向量形式化为坐标运算后 ,接下来的运算仍然是三有函数的恒等变换以及三角函数 ,解三角形等知识的运用 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 设 的 内角 所对边的长分别为 ，且 . （ ）求角 的大小； （ ）当 ， 时，求
9、 的值 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： （ ） 由正弦定理可将原等式转化为关于 的式子，再利用余弦定理可得 的余弦值，从而得角 的大小；（ ）由角 和 ，据正弦定理可知 ，再由三角形内角和可求得 试题解析： （ ）由已知正弦定理可得 ， ， ， . （ ）由正弦定理得 ，又 ， ， 故 . - 7 - 18. 已知数列 的前 项和 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ， ，求数列 的前 项和 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： （ ）由数列中 与 间关系可求得 的通项公式；（ ）对 化简后，可知对数列 使用裂项法求 试题解析： （ ）当 时，由
10、 得 ； 当 时，由 得 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列， . （ ）由（ ）可知： ， ， ， . 19. 为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成 5 组，绘成频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小长方形的高之比为 1： 2： 2：20： 5，最右边一组的频率数是 20，请结合直方图的信息，解答下列问题： （ ）求样本容量是多少； （ ）求样本数据的平均数 和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） . 【答案】 （ 1） 120（ 2） ， 【解析】 试题分析： （ ） 根据最右边一组所占的频率和频数，可求得样本容量；（ ）样本数据
11、的平均数可由每组中的中位数与频率的乘积和求得，由方程计算公式可求得方差 - 8 - 试题解析： （ ）最右边一组的频率为 ， 样本容量为 . （ ） . . 20. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 . （ ）求椭圆 的方程； （ ）斜率为 1 的直线与椭圆 交于异于 的另外两点 、 ，求 的取值 范围 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： （ ）由离心率和过点 及 ，可得关于 的方程，解方程求得 ；（ ）可设直线 的方程为 ， ， ，将椭圆方程与直线方程联立，消去 可得关于 的方程，利用根与系数的关系，可将 用 表示，可利用函数性质求得其取值范围 试题解析：（ ）由已知得 ，
12、且 ，解得 ， ， 椭圆 的方程为 . （ ）设直线 的方程为 ， ， ， 联立 ，得 ， ， . ， ， 又直线不过点 ， ， . ， ， ， - 9 - ，且 ， ，即 的取值范围是 . 点睛： 本题 主要考查椭圆的标准方程与几何性质 ,直线与椭圆的位置关系 ,弦长公式 .圆锥曲线中最值与范围的求法有两种 (1)几何法 :若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 ,则考虑利用图形性质来解决 ,这就是几何法 .(2)代数法 :若题目的条件和结论能体现一种明确的函数 ,则可首先建立起目标函数 ,然后再求这个函数的最值和范围 . 21. 已知函数 . （ ）当 时，证明： 在定义域上为减函数；
13、 （ ）若 .讨论函数 的零点情况 . 【答案】 （ 1）见解析（ 2）当 时，函数 无零点；当 或 时，函数 有一个零点；当 时，函数 有两个零点 . 【解析】 试题分析： （ ）当 时，对函数求导，利用导数与函数单调性的关系，可证明函数在定义域上为减函数；（ ） 的根情况，方程化简为 ，构造函数 ，利用导数判断这个函数的取值情况，与 结合可得，函数 的零点情况 试题解析： （ ）由题意可知函数 的定义域为 . ，令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ，所以 ， 即 ，所以 ，所以 在定义域上为减函数 . （ ） 的零点情况，即方程 的根情况， 因为 ，所以方程可化为 ， 令 ，则 ，令 ，可
14、得 ， 当 时， ， 当 时， ，所以 ， 且当 时， ；当 时， ， 所以 的图像大致如图所示， - 10 - 结合图像可知，当 时，方程 没有根； 当 或 时，方程 有一个根； 当 时，方程 有两个根 . 所以当 时，函数 无零点；当 或 时，函数 有一个零点；当时，函数 有两个零点 . 请考生在第 22 23 题中选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 是曲线 上的动点，点 ， 是线段 的中点 . （ ）求点 轨迹的参数方程； （ ）证明：点 到点 与 的距离之 比为常数 . 【答案】 （ 1）点 轨迹的参数方程为 （ 为参数） .（ 2）见解析 【解析】 试题分析： （ ）先将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标系下
