1、1.31.3简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f(,)=0有有如下关系如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一所有坐标中至少有一个个)符合方程符合方程f(,)=0；()方程方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线的所有解为坐标的点都在曲线上。上。则曲线的方程是则曲线的方程是f(,)=0。求曲线的极坐标方程的步骤：求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样与直角坐标系里的情况一样建系建系 （适当的极坐标系）（适当的极坐标系）设点设点 （设（设M M（，)为要求方程的曲线上任意一点）为要求方程的
2、曲线上任意一点）列等式列等式（构造三角形，利用三角形边角关系的定理列（构造三角形，利用三角形边角关系的定理列 关于关于M M的等式）的等式）化简化简 （此方程（此方程f(,)=0)=0即为曲线的方程）即为曲线的方程）(,0)(0)(,)aC aa 如图，半径为 的圆的圆心坐标为你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满足的条件吗？xC(a,0)OA），（M的圆的极坐标方程。为半径圆心在就是所以，aaaCa),0)(0,(cos21.1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程例例1.1.已知圆已知圆O O的半径为的半径为r r，建立怎样的极坐标，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？系，可以使圆的极
3、坐标方程简单？xOrM5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐思考：标和半径。3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为）此圆过极点圆的极坐标方程为半径为（圆心为Oaaaa)cos(2)0)(,(人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件新知一：新知一：圆的极坐标方程圆的极坐标方程()圆心在极点，半径为圆心在极点，半径为a；()圆心在圆心在(a,0)，半径为，半径为a；()圆心在圆心在(a,/2)，半径为，半径为a；()圆心在圆心在(0,)，半径为，半径为r。极坐
4、标系中的一般方程极坐标系中的一般方程 a 2acos 2asin 2+0 2-2 0 cos(-)=r2人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件解解:设设P(,)为圆周上任意一点为圆周上任意一点,如下图所示如下图所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理根据余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即即r2=21+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1)+(21-r2)=0.这就是这就是圆在极坐标系中的一般方程圆在极坐标系中的一般方程.人教B版高中数学选修
5、4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件cos()41、极坐标方程所表示的曲线是（）A A、双曲线、双曲线 B B、椭圆、椭圆 C C、抛物线、抛物线 D D、圆、圆D？圆心坐标和半径是什么表示的圆的、曲线的极坐标方程sin42)3,5(、C)32,5(、D310cos()3、圆 的圆心坐标是（）)0,5(、A)3,5(、BC(2,),r=22圆心坐标是半径是人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件5 3cos5sin转化成直角坐已知标的思考：方程一个圆的
6、方程是 如何再求圆心坐标和半径。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解：两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是新知二：新知二：人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：cos()4把极坐标方程转化为直角坐标系下的方程人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的
7、极坐标方程课件方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx2(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解：化为直角坐标系为即人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件2123:2cos,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyx
8、C人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件练习练习以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx圆的圆心距是多少？的两个和、极坐标方程分别是sincos21cos(,0)2sincos()cos()2212sin(,),2
9、 22解：圆 圆心的坐标是圆圆 的圆心坐标是所以圆心距是题组练习题组练习2 2人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件3cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（）A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D为半径的圆。为圆心，以解：该方程可以化为21)4,21()4cos(人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即
10、解：人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件410cos()3、圆 的圆心坐标是)0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、D（）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解：化为直角坐标系为即人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件2126:2cos,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切
11、。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件78cosOCONON、从极点 作圆：的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如图，圆 的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是 人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件化为直角坐标方程。把
12、极坐标方程练习cos241648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx两边平方得：即解：方程可化为人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件直线的极坐标方程直线的极坐标方程人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标点的坐标 与与 之间的关系，然后列之间的关系，然后列出方程出方程(
13、,)=0，再化简并讨论。，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(,)M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数
14、学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 新课讲授新课讲授人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考：思
15、考：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件 和前面的直角坐标系里直线方程和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？线组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为线
16、的极坐标方程可以表示为()4R 或或5()4R 人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件例题例题2、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直，且垂直于极轴的直线于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点(,)M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学
17、选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件练习：练习：设点设点P的极坐标为的极坐标为A ，直，直线线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直求直线线 的极坐标方程。的极坐标方程。(,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点(,)M 为直线为直线 上异于的点上异于的点l连接连接OM，oMx p在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过
18、点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。11(,)lloxMP 1 1 人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件人教B版高中数学选修4-4第一章 1-3曲线的极坐标方程课件解：如图，设点解：如图，设点(,)M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知,OMxOM1OP 1xOP 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11sin()sin()11sin()sin()显然点显然点P的坐标的坐标也是它的
19、解。也是它的解。平行于极轴的直线。、求过点练习)4,2(1AOHMA)4,2(,)(2,)42 sin24sin,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直线 上任意取点在中，即所以，过点平行于极轴的直线方程为的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3,2(2A程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲线是、极坐标方程)(31sin3RA、两条相交的直线、两条相交的直线B、两条射线、两条射线C、一条直线、一条直线D、一条射线、一条射线所以是两
20、条相交直线两条直线即所以得可得解：由已知042:,042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直线关于直线 对称的直线方程为、()B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直线的极坐标方程是的，则过圆心与极轴垂直一个圆的方程为、在极坐标系中，已知DCBA()C4cos,4cos2cos,2sinsin46、直线的方程是相切的一条、在极坐标系中，与圆DCBA()B2cos24)2(04sin42222化为极坐标方程为圆的方
21、程为那么一条与此圆相切的即的化为直角坐标方程是解：圆xyxyyx._4)0(307面积所围成的和，、曲线OXAB384612SAOB即的面积积就是扇形解：由图可知围成的面小结：直线的几种极坐标方程小结：直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过轴上某定点，且垂直于极轴、过轴上某定点，且垂直于极轴4、过轴上某定点，且与极轴成一定的角度、过轴上某定点，且与极轴成一定的角度()R cosa sin()sina3、过、过A(a,/2)(a0)，且平行于极轴，且平行于极轴 sin a5、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度11sin()sin().小结：（）曲线的极坐标方程概念（）怎样求曲线的极坐标方程（3）圆的极坐标方程2.直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1)1)过极点过极点2)2)过某个定点，且垂直于极轴过某个定点，且垂直于极轴3)3)过某个定点，且与极轴成一定过某个定点，且与极轴成一定 的角度的角度
