1、会计学1二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程常系数齐次线性方程(2)的通解我们已经会求，因此，为了求出常系数非齐次线性方程(1)的通解，只需再求出非齐次方程(1)的一个特解)(*xy.下面介绍求常系数非齐次线性方程的通解的一、当自由项)(xf为下面两种类型的函数时,可用待定系数法求出常系数非齐次线性方程)(*xy从而，得到常系数非齐次线性，两种方法。的特解方程的通解。第1页/共34页1、xmexPxf )()(次多项式，m)(xPm是 是常数。可设方程(1)的特解：)(*xy xmkexQx )(其中k的取值如下：k ,0,1,2当 不是特征根当 是特征根且为单根当 是特征根且为重
2、根)(xQm是一个次多项式，m其系数是待定的。第2页/共34页说明：此结论可推广到n阶常系数线性方程的情形。这时，将k取为特征方程含根 的重复次数。第3页/共34页例1 求 1332 xyyy的一个特解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：032 yyy特征方程：0322 rr0)1)(3(rr1 ,3 r)(xf13 x自由项 xex0)13(即)(xPm13 x xe xe0，即 m，01不是特征根取 k0第4页/共34页可设非齐次方程的特解)(*xyxexQx010)()(1xQ bax ba ,待定常数代入非齐次方程，得)(320baxa 13 x即baax323 13 x比较
3、系数，得 a33 ba321 解得 a1 b31 )(*xy31 x第5页/共34页例2 求 xxeyyy265 的通解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：0652 rr0)3)(2(rr3 ,2 r)(xfxxe2自由项即)(xPmx xe xe2，即 m，21是特征根取 k1065 yyy齐次方程的通解：xxeCeCy3221 (单根)第6页/共34页可设非齐次方程的特解)(*xyxexQx211)(xebaxx2)(ba ,待定常数代入非齐次方程，得xebaxbaax22)42()28(4 xxe2 xebxax22)(xebxbaax22)22(2 5 xebxax
4、22)(6 第7页/共34页即baax 22 x比较系数，得 a21 ba20 解得 a21 b1 )(*xyxexx22)21(xexx22)21(原方程的通解：yxxeCeC3221 xexx22)21(),(21任任意意CC第8页/共34页2、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 是多项式，)(xPl ,是常数。可设方程(1)的特解：)(*xy sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk )(xPn、其中m ,maxnl,)()1(xRm、)()2(xRm是两个m次多项式，其系数是待定的。k的取值如下：k ,0,1当 i 不是特征根当 i 是特征根第9页/共34
5、页说明：此结论可推广到n阶常系数线性方程的情形。这时，将k取为特征方程含根 i 的重复次数。第10页/共34页例3 求 xxyy2cos 的一个特解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：0 yy特征方程：012 rir )(xfxx2cos 即)(xPl，sin)(cos)(xxPxxPenlx x)(xPn0,0 l,2 n012sin02cos0 xxxex m ,maxnl 1 i20 i i2不是特征根取 k0第11页/共34页可设非齐次方程的特解)(*xy 2sin)(2cos)()2(1)1(100 xxRxxRexx xxRxxR2sin)(2cos)()2(1)1(1
6、2cos)(xbaxxdcx2sin)(代入非齐次方程，整理后，得)(*xy xaxxbcxcxxda2sin22sin)2(2cos2 2cos)2()(*xy xcxxdaxaxxbc2sin42sin)34(2cos4 2cos)24(第12页/共34页 xbcxax2cos)34(2cos3 xda2sin)34(xcx2sin3 xx2cos比较系数，得 a31 bc340 c30 )34(da0 解得 a31 b0 c0 d94第13页/共34页 2cos)031(xxxx2sin)940()(*xy 2cos31xxx2sin94第14页/共34页例4 写出 xxyycos 的特
7、解解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：0 yy特征方程：012 rir )(xfxxcos 即)(xPl，sin)(cos)(xxPxxPenlx x)(xPn0,0 l,1 n01sin0cos0 xxxex m ,maxnl 1 i10 i i是特征根取 k1)(*xy的形式。第15页/共34页可设非齐次方程的特解)(*xy sin)(cos)()2(1)1(101xxRxxRexx xxRxxxRxsin)(cos)()2(1)1(1 cos)(xbaxxxdcxxsin)(cos)(2xbxaxxdxcxsin)(2 这里dcba,为待定常数。第16页/共34页问题：怎样求xx
8、eyyxcos 的一个特解？方法：求出xxeyy 的一个特解)(*1xy求出xyycos 的一个特解)(*2xy(1)(2)则由叠加原理得：)(*1xy)(*2xy就是xxeyyxcos 的特解。第17页/共34页二、当自由项)(xf不是上述两种类型的函数时,可用常数变易法来求出常系数非齐次线性方程的通解。第18页/共34页)(xfqypyy 二阶常系数非齐次线性方程(1)对应的齐次方程为0 qypyy(2)求出齐次方程(2)的通解为：)()(2211xyCxyCy 设)()()()(2211xyxCxyxCy 为非齐次方程(1)的解，这里)(),(21xCxC是待定函数.),(,21任任意意
9、CC第19页/共34页两个未知函数只需满足一个关系式(1)可规定它们再满足一个关系式为了使 y的表达式中不含 21CC和和我们令2211yCyC 0 这样 y2211yCyC y 22221111yCyCyCyC 代入非齐次方程(1)，得(3)22221111yCyCyCyC y第20页/共34页)(2211yCyCp 22221111yCyCyCyC )(2211yCyCq)(xf 整理后，得 2211yCyC)(1111qypyyC )(2222qypyyC )(xf 00即 2211yCyC)(xf(4)将(3)(4)联立，即第21页/共34页2211yCyC 0(3)2211yCyC)
10、(xf(4)在系数行列式 W 2121yyyy0 的条件下，解得 1CWxfy)(2 2CWxfy)(1，1C dxWxfy)(21C 2C dxWxfy)(12C 只表一个原函数第22页/共34页1C 非齐次方程 的解为：)()()()(2211xyxCxyxCy dxWxfy)(2)(1xy 2C dxWxfy)(1)(2xy 这就是非齐次方程(1)的通解。第23页/共34页例5 求 xyy3sin1 的通解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：0 yy特征方程：012 rir 齐次线性方程的通解是：yxCxCsincos21),(,21任任意意CC设 yxxCxxCsin)(co
11、s)(21 为非齐次方程的解，)(),(21xCxC是待定函数.第24页/共34页则xCxCsin cos 21 0 xCxCcos )sin(21x3sin1 解得 1Cx2sin1 2Cxx3sincos 1C dxx2sin1 1cotCx 2C dxxx3sincos 22)(sin21Cx 第25页/共34页非齐次方程的解为：yxxCxxCsin)(cos)(21 )(cot1Cx xcos)(sin2122Cx xsin xCxCxxxsincos)sin21sincos(212 这就是原方程的通解。第26页/共34页说明常数变易法求出变系数二阶非齐次线性方程上面，我们用常数变易法
12、求出了常系数非齐次线性方程的通解。如果已知一个二阶变系数非齐次线性方程对应的齐次方程的通解，那么，也可用的通解。(参见教材 P329 例3 )第27页/共34页课堂练习：1、求微分方程xeyyy2344 的一个特解.2、求微分方程xexyy 2 的一个特解.3、求微分方程xyy2sin4 的通解.4、求微分方程222 xexyy 的通解.第28页/共34页5、设二阶线性非齐次微分方程的三个特解为：xxyxxyxycos,sin,321 则该方程的通解为6、微分方程xyy3sin3 的特解的形式7、已知曲线)0(),(xxfy的一条积分曲线，是微分方程xexyyy )64(2此曲线通过原点且在原
13、点处的切线斜率为0，试求：曲线)(xfy 到x轴的最大距离。为第29页/共34页作 业P3471(1)(3)(5)(6)(8)(9)(10),2(2),6xx2cos2121sin2 1(10)提示：第30页/共34页第31页/共34页课堂练习答案：2212:4xxxeeCeCy xexxy2223)(*:1 xxexxxxy 231)(*:223xxxCxCy2cos412sin2cos:321 xxCxCy cossin:521第32页/共34页)3cos3sin()(*:6xBxAxxy xexxf 2)(7：通解：xxxexeCeCy )98(2212124)(max exf第33页/共34页
