1、 1 定远育才学校 2017-2018学年下学期开学调研考试 高二数学（理科）试题 考生注意： 1.本卷分第 I卷和 第 II卷，满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。 3.非选择题的作答 :用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。 第 I卷（选择题） 一、选择题 1.已知命题 p ：函数 12 xya? 的图象恒过定点 (1 2)， ；命题 q ：若函数 ( 1)y f x?为偶函数，则函数 ()y f x? 的图象关 于直线 1x? 对称，则下列命
2、题为真命题的是（ ） A pq? B pq? C pq? D pq? 2. ( ), ( )f x g x 是定义在 R 上的函数， ( ) ( ) ( ),h x f x g x?则“ ( ), ( )f x g x 均为偶函数”是“ ()hx为偶函数”的 （ ） A.充要条件 B充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.过点 ? ?2,0P? 的直线与抛物线 2:4C y x? 相交于 ,AB两点，且 12PA AB? ，则点 A 到原点的距离为 （ ） A. 53 B. 2 C. 263 D. 273 4.若直线 ? ?2y k x?与 曲线 21yx?有交点
3、，则（ ） A. k 有最大值 33 ，最小值 33? B. k 有最大值 12 ，最小值 12? C. k 有最大值 0 ，最小值 33? D. k 有最大值 0 ，最小值 12? 5.已知直线 l 为圆 224xy?在点 ? ?2, 2 处的切线，点 P 为直线 l 上一动点，点 Q 为圆? ?2 211xy? ? ? 上一动点，则 PQ 的最小值为 （ ） A. 2 B. 2 12? C. 12? D. 2 3 1? 2 6.已知椭圆 22:1xyE ab?（ 0ab? ）的右焦点 F ，短轴的一个端点为 M ，直线:3 4 0l x y?交椭圆 E 于 ,AB两点，若 4AF BF?，
4、且点 M 到直线 l 的距离不小于 45 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围为（ ） A. 30,2? ?B. 30,4? ?C. 3,12? ?D. 3,14?7.在极坐标系中，若圆 C 的方程为 2cos? ，则圆心 C 的极坐标是 ( ) A. 1,2?B. 1,2?C. ? ?1,? D. ? ?1,0 8.直线112 3332xtyt? ? ?（ t 为参数）和圆 2216xy?交于 ,AB两点，则线段 AB 的中点坐标为 ( ) A. ? ?3, 3? B. ? ?3,3? C. ? ?3, 3? D. ? ?3, 3? 9. 已知点 ? ?Px y， 是直线 40kx y? （ 0
5、k? ）上一动点， PA 、 PB 是圆 C ： 2220x y y? ? ?的两条切线， A 、 B 为切点， C 为圆心，若四边形 PACB 面积的最小值是 4 ，则 k 的值是（ ） A. 6 B. 26 C. 3417 D. 23417 10.已知 12,FF是椭圆 C： 221xyab? ( 0)ab? 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且12PF PF? 1.若 12PFF? 的面积为 9，则 b （ ） A. 3 B. 6 C. 34 D. 242 11.设 F 为双曲线 221xyab?（ a b 0）的右焦点，过点 F 的直线分别交两条渐近线于 A， B 两点， OAA
6、B ，若 2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ） 3 A. 3 B. 2 C. 52 D. 5 12.已知抛物线 y2=4x，圆 F：（ x 1） 2+y2=1，过点 F 作直线 l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A， B， C， D（ 如图所示），则 |AB|?|CD|的值正确的是（ ） A.等于 1 B.最小值是 1 C.等于 4 D.最大值是 4 第 II卷（非选择题） 二、填空题 13.设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 _. 14.如图， F1和 F2分别是双曲线 的两个焦点， A和 B是以 O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，
7、且 F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 15.已知 P 是直线 3 4 8 0xy? ? ? 上的动点， ,PAPB 是圆 22 2 2 1 0x y x y? ? ? ? ?的两条切线， ,AB是切点， C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为 16.在极坐标系中，圆 1C 的方程为 4 2 co s4?，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 2C 的参数方程为 1 (1x acosy asin? ? ? ? ? ?为参数），若圆 1C 与圆 2C 外切，则4 正数 a? _. 三、解答题 17.以坐标原点为极点 , x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
8、 ,已知曲线 1C :? ?2 224xy? ? ?,点 A的极坐标为 324?，,直线 l 的极坐标方程为 cos4 a?,且点 A 在直线 l 上 . (1)求曲线 1C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设 l 向左平移 6 个单位长度后得到 l? ,l? 到 1C 的交点为 M , N ,求 MN 的长 . 18.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已 知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?过点 A(2， 1)，离心率为32 （ ）求椭圆的方程； （ ）若直线 ? ?:0l y kx m k? ? ?与椭圆相交于 B， C 两点 (异于点 A)，线段 B
9、C 被 y 轴平分，且AB AC? ，求直线 l的方程 19.设椭圆 1C 的焦点在 x 轴上，离心率为 32 ，抛物线 2C 的焦点在 y 轴上， 1C 的中心和 2C 的顶点均为原点，点 22,2?在 1C 上，点 ? ?2, 1? 在 2C 上， （ 1）求曲线 1C ， 2C 的标准方程； （ 2）请问是否存在过抛物线 2C 的焦点 F 的直线 l 与椭圆 1C 交于不同两点 ,MN，使得以线段MN 为直径的圆过原点 O ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 20.如图， P是直线 x=4上一动点，以 P为圆 心的圆 经定点 B（ 1， 0），直线 l 是圆 在点 B
10、 处的切线，过 A（ 1， 0）作圆 的两条切线分别与 l 交于 E， F两点 （ 1）求证： |EA|+|EB|为定值； （ 2）设直线 l交直线 x=4于点 Q，证明： |EB|?|FQ|=|BF?|EQ| 5 21.已知抛物线 2: 2 ( 0 )C x py p? ? ?的焦点到准线的距离为 12 ，直线 : ( 1)l y a a? ? 与抛物线 C交于 ,AB两点，过这两点分别作抛物线 C 的切线，且这两条切线相交于点 D . （ 1）若 D 的坐标为 ? ?0,2 ，求 a 的值； （ 2）设线段 AB 的中点为 N ，点 D 的坐标为 ? ?0,a? ，过 ? ?0,2Ma的直
11、线 l? 与线段 DN 为直径的圆相切，切点为 G ，且直线 l? 与抛物线 C 交于 ,PQ两点，求 PQMG的取值范围 . 22.如图)0,(),0,( 21 cFcF ?为双曲线 E的两焦点，以12FF为直径的圆O与双曲线 E交于 11, , , ,M N M N B是圆O与y轴的交点，连接1MM与OB交于 H，且 是OB的中点， （ 1）当1c?时，求双曲线 E的方程； （ 2）试证：对任意的正实数c，双曲线 的离心率为常数 6 参 考 答案 1.D2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.D10.A11.C12.A 13. 14.1+ 15. 16. 2 17.解： （ 1） A
12、 的直角坐标为 ? ?33， ， l 的直角坐标方程为 2x y a? . 因为 A 在 l 上，所以 2 6 3 2aa? ? ?， 所以 l 的直角坐标方程为 6xy?. 1C ： 2240x y x? ? ? 化为极坐标方程 为 4cos? . （ 2）由已知得 l? 的方 程为 0xy?， 所以 l? 的极坐标方程为 34? （ R? ）， 代入曲线 1C 的 极坐标方程 2 4 co s 0? ? ? ? ? ?或 22? ，所以 22MN? . 18. 解： （ ）由条件知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?离心率为 32ce a? ， 所以 2 2 2 214b
13、 a c a? ? ? 又点 A(2， 1)在椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?上， 所以22411ab?， 解得 228 2ab ? ， 7 所以，所求椭圆的方程为 22182xy? （ ）将 ? ?0y kx m k? ? ?代入椭圆方程，得 ? ?22 4 8 0x kx m? ? ? ?， 整理，得 ? ?2 2 21 4 8 4 8 0k x m k x m? ? ? ? ? 由线段 BC被 y轴平 分，得28 014BC mkxx k? ? ? ?， 因为 0k? ，所以 0m? 因为当 0m? 时， BC， 关于原点对称，设 ? ? ? ?B x kx C x
14、 kx?， ， ， 由方程 ，得 22814x k? ?， 又因为 AB AC? ， A(2， 1)， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222 2 1 1 5 1A B A C x x k x k x k x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22815014kk? ? ? ， 所以 12k? 由于 12k? 时，直线 12yx? 过点 A(2， 1)，故 12k? 不符合题设 所以，此时直线 l的方程为 12yx? 19. 解： （ 1）设 1C 的方程为 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?，则22 2 2 222342 , 1 21 312caaa
15、 b c bcab? ? ? ? ?.所以椭圆 1C 的方程为 2 2 14x y?.点 ? ?2, 1? 在 2C 上，设 2C 的方程为 2 2 ( 0)x py p? ? ?，则由 ? ?2 2 1p? ? ，得1p? .所以抛物线 2C 的方程为 2 2xy? . （ 2）因为直线 l 过抛物线 2C 的焦点 10,2F?.当直线 l 的斜率不存在时，点 ? ? ? ?0,1 , 0, 1MN?，或点 ? ? ? ?0, 1 , 0,1MN? ，显然以线段 MN 为直径的圆不过原点 O ，故不符合要求； 当直线 l 的斜率存在时，设为 k ，则直线 l 的方程为 12y kx?， 8
16、代入 1C 的方程，并整理得 ? ?221 4 4 3 0k x kx? ? ? ?. 设点 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,M x y N x y，则1 2 1 22243,1 4 1 4kx x x xkk? ? ? ?， ? ? ? ?221 2 1 2 1 2 1 2 21 1 1 1 1 1 62 2 2 4 4 1 4 ky y k x k x k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 因为以线段 MN 为直径的圆过原点 O ，所以 OM ON? ，所以 0OM ON?，所以1 2 1 2 0x x y y?
17、? ? ?，所以 ? ?22 23 1 1 6 014 4 1 4kk k? ?.化简得 216 11k ? ，无解 . 20. 解： （ 1）设 AE切圆于 M，直线 x=4与 x轴交于 N，则 EM=EB 所以 2 2 2 2 2 2 4E A E B A M A P P M A P P B A N B N? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)同理 FA+FB=4，所以 E,F 均在椭圆 22143xy? 上，设 EF: ? ?10x my m? ? ? ,则 34,Qm?与椭圆方程联立得? ?22 1 2 1 2 1 2 1 2226 9 23 4 6 9 0 , ,3 4 3 4 3mmm y m y y y y y y y y ymm? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2 1 2 1 23 3 32E B F Q B F E Q y y y y y y y y y ym m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，结论成立 点睛：解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明其中直
