1、24.1.3 弧、弦、圆心角（1）初中数学24.1.3 弧、弦、圆心角（1）年年 级：九年级级：九年级 学学 科：数学（人教版）科：数学（人教版）主讲人：张主讲人：张 淼淼 学学 校：北京市育才学校校：北京市育才学校初中数学垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧复习回顾初中数学什么是中心对称图形？什么是中心对称图形？把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心做中心对
2、称图形，这个点就是它的对称中心 初中数学思考思考1圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？它的对称中心吗？圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心它的对称中心是圆心探究新知OA=OB，A、B两点关于点两点关于点O对称，对称，初中数学思考思考2把把O绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度后旋转任意一个角度后，还，还能和原来的图形重合吗？能和原来的图形重合吗？初中数学初中数学初中数学初中数学圆具有旋转不变性圆具有旋转不变性初中数学圆心角：圆心角：我们把我们把顶点在圆心顶点在圆心的角叫做的角叫做圆心角圆心角所对的弧为所对的弧为 AB圆心角圆心角A
3、OB所对的弦为所对的弦为AB，AOB为为O的圆心角，的圆心角，初中数学思考：如图，在思考：如图，在O中，中，当圆心角当圆心角AOB=A1OB1时，它们所对的时，它们所对的 和和 、弦、弦AB和和A1B1相等吗？相等吗？为什么？为什么？A AB B1 1A AB B将将AOB 连同连同 绕圆心绕圆心O旋转，旋转，使射线使射线OA与与OA1重合，重合，AB初中数学 AOB=A1OB1，射线射线OB与与OB1重合重合又又OA=OA1 ，OB=OB1，即即 ，AB=A1B1 11ABAB点点A与与A1重合，点重合，点B与与B1重合重合因此因此 与与 重合，重合，AB与与A1B1重合，重合，AB11AB
4、初中数学做一做：做一做：在纸上画两个等圆在纸上画两个等圆，点点A，B在在O上上，A1，B1在在 O上上，使使AOB=A1O1B1，连连接接AB和和A1B1，则则 与与 ，弦弦AB与与A1B1还相等吗还相等吗？A AB B11A A B B初中数学定理：定理：在在同圆同圆或或等圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等等，所对的弦也相等AOB=A1OB1，=，AB=A1B1 A AB B11A A B B OA，OB，OA1，OB1是是O的半径，的半径，初中数学思考：思考：如图，两同心圆中，如图，两同心圆中，问：问：（1）与与 是否相等？是否相等？（2）与与 是
5、否相等？是否相等？不相等不相等不相等不相等 AOBA OBABAB A A B BA B ABAB初中数学在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等的圆心角相等，所对的弦也相等初中数学在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的的圆心角相等，所对的优弧优弧和和劣弧劣弧也分别相等也分别相等初中数学圆心角等圆心角等弦弦 等等弧弧 等等知一推二知一推二初中数学 如图，如图，AB，CD是是O的两条弦的两条弦（1）如果如果AB=CD，那么那么_，_AOB=CODABC
6、D（2）如果如果 ，那么，那么_，_.（3）如果如果AOB=COD，那么，那么_，_._.ABCDAB=CDAOB=CODAB=CDABCD概念巩固初中数学 例例1如图，在如图，在O中，中，ACB=60.求证求证:AOB=BOC=AOC.例题讲解ABCOABAC初中数学AB=AC，ABC是等腰三角形是等腰三角形又又 ACB=60,ABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CAAOB=BOC=AOC证明：证明：，ABACABCO初中数学证法一证法一：AD=BC，ADBC AD+BDBC BDAB CDAB=CD,例例2已知：如图所示，已知：如图所示，在在O中，中，AD=BC求证：求证：AB=
7、CD初中数学例例2已知：如图所示，已知：如图所示，在在O中，中，AD=BC求证：求证：AB=CD证法二：证法二：连接连接OA，OD，OB，OCAB=CDAD=BC，AOD=BOCAOD+BOD=BOC+BOD,AOB=DOC初中数学证明：证明：连接连接ACAOC=BODAC=BD，又BE=BD，AC=BEACBEAB，CD是是O的两条直径，的两条直径，例例3如图，如图，AB、CD是是O的两条直径，的两条直径，BE=BD，求证：求证：ACBE初中数学探究探究如图，如图，AB，CD是是O的两条弦，的两条弦，OEAB于于E，OFCD于于F（1）如果如果AB=CD，OE与与OF相等吗？为什么？相等吗？
8、为什么？（2）如果如果OE=OF，AB与与CD相等吗？为什么？相等吗？为什么？初中数学 OEAB，OFCD，RtAOE Rt COFOE=OF证明证明:AB=CD，AE=AB，CF=CD 1212AE=CFOA=OC，OE与与OF相等相等AEO=CFO=90，初中数学Rt AOE Rt COFOE=OF，OA=OC，AEO=CFO=90AB=CD分析：分析：探究探究如图，如图，AB，CD是是O的两条弦，的两条弦，OEAB于于E，OFCD于于F（2）如果如果OE=OF，AB与与CD相等吗？为什么？相等吗？为什么？初中数学课堂小结圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性；圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性；定理：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等等，所对的弦也相等初中数学圆心角等圆心角等弦弦 等等弧弧 等等初中数学通过观察、操作、推理、归纳等活动，提高了分析通过观察、操作、推理、归纳等活动，提高了分析问题解决问题的能力问题解决问题的能力初中数学课后作业1如图，如图，O中，C=75.求求A的度数的度数ABAC2如图，如图，A，B是是O上两点，上两点，AOB=120，C是是 的中点的中点求证：四边形求证：四边形OACB是菱形是菱形AB同学们，再见！
