1、24.3正多边形和圆（1）初中数学24.3正多边形和圆（1）年年 级：九年级级：九年级 学学 科：数学（人教版）科：数学（人教版）主讲人：白月欣主讲人：白月欣 学学 校：北京师范大学亚太实验学校校：北京师范大学亚太实验学校初中数学复习回顾 正多边形正多边形：各边相等、各角也相等的多边形.比如等边三角形、正方形等.初中数学复习回顾观察这些图片，你看到了哪些观察这些图片，你看到了哪些正多边形正多边形？初中数学复习回顾正多边形和圆的关系联系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出正多边形.正多边形是轴对称图形；当边数为偶数时，正多边形也是中心对称图形；圆既是轴对称图形又是旋转对称图形.初中
2、数学探究新知第二行的正多边形是圆外切正多边形第二行的正多边形是圆外切正多边形.第一行的正多边形是圆内接正多边形；第一行的正多边形是圆内接正多边形；初中数学探究新知以正五边形为例，如右图，把 O 分成相等的五段弧，依次连接各分点，得到五边形ABCDE.如何说明这个五边形是正五边形呢？初中数学探究新知已知：如图，O 中内接五边形 ABCDE，.求证：五边形ABCDE是正五边形.ABBCCDDEEA 证明：ABBCCDDEEA，ABBCCDDEEA，.AB.BCDE 同理，五边形ABCDE是正五边形.五边形ABCDE是 O 的内接正五边形，O是正五边形ABCDE 的外接圆.3.BCEABCDA初中数
3、学探究新知已知：如图，O 中内接五边形 ABCDE，.求证：五边形ABCDE是正五边形.ABBCCDDEEA 证明：ABBCCDDEEA，ABBCCDDEEA，.AB.BCDE 同理，五边形ABCDE是正五边形.3.BCEABCDA2n正n边形呢？初中数学正多边形的相关概念那么圆中的元素和正多边形有什么关系呢？半径R边心距r中心角O中心 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，外接圆的半径叫做正多边形的半径，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，初中数学巩固运用找出下列正多边形的中心，并标出正多边形的半径，边心距，中心角.OOO初中数学巩固运用找
4、出下列正多边形的中心，并标出正多边形的半径，边心距，中心角.O半径半径R半径半径R半径半径R中心角中心角中心角中心角中心角中心角边心距边心距r边心距边心距r边心距边心距rOO中心中心中心中心中心中心初中数学思考各边相等的多边形是正多边形吗？各边相等的多边形是正多边形吗？反例：如图，菱形的四条边相等，但是四个角不相等，所以不是正多边形.各角相等的多边形是多边形吗？各角相等的多边形是多边形吗？反例：如图，矩形的四个角相等，但是四条边不相等，所以不是正多边形.初中数学思考各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？以四边形为例已知：如图，O 中内接四边形ABCD，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD
5、是正方形.初中数学思考已知：如图，O 中内接四边形ABCDE,AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是正方形.证明：ABBCCDDA，AB ，.BCD 同理，四边形ABCD是正方形.ABBCCDDA.2BCDABCDA 各边相等的圆内接n边形是正n边形.2n初中数学思考各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？以四边形为例如图，O 中内接矩形ABCD,.ABCD 反例：矩形.各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.初中数学例题分析1.(1)正三角形的半径为R，则边长为_，边心距为_，面积为_30,OBCRt OBD分析：画出示意图，圆内接正三角形ABC.中心角 ,OB=OC=R,则 中，边心距
6、 ,根据勾股定理得出 ,边长 ,则3601203BOC12ODR32BDR23BCBDR2113 3333224ABCBOCSSRRR 初中数学例题分析1.(2)若正三角形边长为 a，则半径为_.初中数学例题分析2.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片 的半径至少是多少？45,OABRt OAC分析：圆内接正方形时，半径最小，画出示意图：中心角 ,OA=OB,AB=a,则 中，,根据勾股定理得出半径 .360904AOB12ACOCa22OAR初中数学例题分析3.如图，有一个亭子，它的地基是半径为 4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）初中数学例题分析 如图
7、，O 中内接正六边形ABCDEF半径为4m.求正六边形ABCDEF的周长和面积.初中数学例题分析36060,46BOCOBOC解：连接OB,OC，过点O作 于点P.OPBC正六边形ABCDEFBOC是等边三角形12260,4,PCBCOBPBCOB21124 2 341.6()2266 424(m),mlrlBCS Rt OCP中，22422 3r初中数学推广思考正 n 边形的中心角度数如何计算？正 n 边形的一个外角度数如何计算？中心角的度数为n360一个外角的度数为n360正正 n 边形的中心角和一个外角的度数相等边形的中心角和一个外角的度数相等.初中数学推广思考正 n 边形的 n 条半径
8、、n 条边心距将正 n 边形分割成全等直角三角形的个数是多少？每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？如图，正六边形能分成12个全等的直角三角形，则正n边形能分成2n个全等的直角三角形.每个直角三角形都由正多边形的半径，边心距，边长一半组成.初中数学阅读与思考圆周率 是怎么算出来的？圆的周长 ，可得 ，求圆周率 的问题在某种意义上就归结为求圆的周长.2CR2CR圆内接正n边形，随着边数n的增大，正多边形的周长 p就接近于圆的周长，则 就越接近于 .2pR初中数学阅读与思考我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率.并指出圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细
9、，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”他计算出 1573.14.50初中数学拓广探索把圆分成n 等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形.(3)n 初中数学巩固练习 如图，若等边 ABC的半径为2，则边长为_，内切圆的半径OD为_.30OBC，分析：中心角 ,OB=OC=2，则 RtOBD中，边心距根据勾股定理得出3601203BOC1212OD ，3BD，22 3.BCBD 即ABC的内切圆的半径为OD=1，初中数学课堂小结1.正多边形和圆的关系：圆内接正多边形，圆外切正多边形；2.正多边形的相关概念：中心，半径，中心角，边心距；3.在解决正多边形有关计算时，通过作正n边形的半径和边心距，把正n边形分为2n个全等的直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些特殊的正多边形的计算.初中数学课后作业1.完成下表中有关正多边形的计算.正多边正多边形边数形边数内角内角中心角中心角半径半径边长边长边心距边心距周长周长面积面积36041622 3初中数学课后作业2.用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有 四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆.哪种场地的面积最大？同学们，再见！
