1、 - 1 - 下学期高二数学 5 月月考试题 09 一、选择题：本大题共 10 小题， 每小题 3 分 , 共 30 分 ，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1 已知 a， b 是实数，则 “ a0 且 b0” 是 “ a b0 且 ab0” 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 直线 x y 1 与圆 x2 y2 2ay 0(a0)没有公共点，则 a 的取值范围是 ( ) A (0， 2 1) B ( 2 1， 2 1) C ( 2 1， 2 1) D (0， 2 1) 3 在 100 个产品中，一等品
2、 20 个，二等品 30 个，三等品 50 个，用分层抽样的方法抽取一个容量 20 的样本，则二等品中 A 被抽取到的概率 ( ) A等于 15 B等于 310 C等于 23 D不确定 4 下列结论 错 误的 是 ( ) A命题 “ 若 p，则 q” 与命题 “ 若 ? q，则 ? p” 互为逆否命题 B命题 p： ? x 0,1， ex1 ，命题 q： ? x R， x2 x 11)的导函数是 f ( x)，记 A f ( a)， B f(a 1) f(a)， C f ( a 1)，则 ( ) A ABC B ACB C BAC D CBA 8 设 0 0” 类比推出 “ 若 a， b C，
3、则 a b0?ab” 其中类比得到的结论正确的个数是 13 定义某种运算 S a?b，运算原理如下图所示 则式子： (2tan54 )?lne lg100?(13) 1的值是 _ - 3 - 14 空间四边形 ABCD 中，各边长均为 1，若 BD 1，则 AC 的取值范围是 _ 15 设有两个命题： 关于 x 的不等式 mx2 10 的解集是 R； 函数 f(x) logmx 是减函数 如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数 m 的取值范围是 _ 16.如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长是 1，过 A 点作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H，有 下列三个命题： 点 H 是
4、 A1BD 的中心； AH 垂直于平面 CB1D1； AC1与 B1C 所成的角是 90. 其中正确命题的序号是 _ 17 定义在 (0， ) 上的函数 f(x)的导函数 f ( x)0 且 b0 时，一定有 a b0 且 ab0.反之，当 a b0 且 ab0 时，一定有 a0，b0.故“ a0 且 b0”是“ a b0 且 ab0”的充要条件 . 2、 A 解析 圆的方程 x2 (y a)2 a2，由题意知圆心 (0， a)到直线 x y 1 0 距离大于a，即 |a 1|2 a，解得 1 20， 00，排除 B，故选 A. 6、 D 解析 圆 C 的方程可化为 (x 1)2 (y 1)2
5、 1，所以圆心 C 的坐标为 ( 1,1)，又直线 kx y 4 0 恒过点 A(0， 4)，所以当圆心 C 到直线 kx y 4 0 的距离最大时，直线CA 应垂直于直线 kx y 4 0，直线 CA 的斜率为 5，所以 k 15， k 15. 7、 A解析 记 M(a， f(a)， N(a 1， f(a 1)，则由于 B f(a 1) f(a)f a 1 f aa 1 a ，表示直线 MN 的斜率， A f (a)表示函数 f(x) logax 在点 M 处的切线斜率； C f (a 1)表示函数 f(x) logax 在点 N 处的切线斜率所以， ABC. - 6 - 8、 C.解析 化
6、为 x21sin y2 1cos 1， 1cos 1sin 0， 9、 D 解析：设棱长为 2， BC 的中点为 D，由题意，得 AD 3. 在 Rt A1AD 中 ， A1D AA21 AD2 22 3 2 1. 在 Rt A1BD 中 ， A1B A1D2 BD2 2. AA1 CC1， AB 与 AA1所成的角 A1AB 即为 AB 与 CC1所成的角 在 A1AB 中 ， 由余弦定理 ， 得 cos A1AB AA21 AB2 A1B22AA1 AB 4 4 22 2 234. 10、 D解析 如图，由题意可得， |OF| 1，由抛物线定义得， |AF| |AM|， AMF 与 AOF
7、(其中 O 为坐标原点 )的面积之比为 3 1， S AMFS AOF12 |AF| |AM| sin MAF12 |OF| |AF| sin MAF 3， |AM| 3，设 A? ?y024 ， y0 ， y024 1 3， 解得 y0 2 2， y024 2， 点 A 的坐标是 (2， 2 2)， - 7 - 二、填空题：（ 本大题有 7 小题 ， 每题 4 分，共 28 分） 11、 a 6 a 3i1 2i a 3i 1 2i1 2i 1 2i a 65 3 2a5 i， ? a 65 03 2a5 0， a 6 12、 2 是正确的，是错误的，因为复数不能比较大小，如 a 5 6i，
8、 b 4 6i，虽然满足 a b 10，但复数 a 与 b 不能比较大小 13、 8 解析：原式 2?1 2?3 2 (1 1) 2 (3 1) 8. 14、 (0， 3) 解析：如下图所示， ABD 与 BCD 均为边长为 1 的正三角形，当 ABD 与 CBD 重合时， AC 0，将 ABD 以 BD 为轴转动，到 A， B， C， D 四点再共面时， AC 3，如下图，故AC 的取值范围是 00 的解集为 R，则 m 0； 函数 f(x) logmx 为减函数，则 0m1. 与有且只有一个正确， 则 m 的取值范围是 m 0 或 m 1. 答案： m 0 或 m 1 16、 解析：由于
9、ABCD A1B1C1D1是正方体，所以 A A1BD 是一个正三棱锥，因此 A点在平面 A1BD 上的射影 H 是三角形 A1BD 的中心，故 正确；又因为平面 CB1D1与平面 A1BD 平行，所以 AH 平面 CB1D1，故 正确；从而可得 AC1 平面 CB1D1，即 AC1与 B1C 垂直，所成的角等于 90 . 17、 4 4 2 解析 依题意得， f(x)在 (0， )上单调递减， f(x2 y2) 1， f(4) 1， f(x2 y2) f(4)， x2 y2 4， 又因为 x2 y2 2x 2y (x 1)2 (y 1)2 2， (x 1)2 (y 1)2可以看作是点 (x，
10、 y)到点 ( 1， 1)的距离的平方由圆的知识可知，最小值为 (r |OC|)2 (2 2)2 4 4 2. 三、 解答题： (本大题有 4 小题 , 共 42 分 ) 18、 (1)将圆 C 配方得 (x 1)2 (y 2)2 2. - 8 - 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 y kx，由直线与圆相切得 | k 2|k2 1 2，即 k 2 6，从而切线方程为 y (2 6)x. 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 x y a 0， 由直线与圆相切得 x y 1 0，或 x y 3 0. 所求切线的方程为 y (2 6)x x y 1 0 或 x y 3 0 (2
11、)由 |PO| |PM|得， x12 y12 (x1 1)2 (y1 2)2 2?2x1 4y1 3 0. 即点 P 在直线 l： 2x 4y 3 0 上， |PM|取最小值时即 |OP|取得最小值，直线 OP l， 直线 OP 的方程为 2x y 0. 解方程组? 2x y 02x 4y 3 0 得 P 点坐标为 ? 310，35 . 19、 解： （ I）由题意知， ABPPOABDPO ? ?,面 ， , , BPADABPAD ABABDABPABADABDABP ? ? 面 面面又面面 ?APBPAPDBPPDBP ? ，面? ， （ II） BPDAPDBPDBPAPDBP 面面面
12、 ? ,? . , , 上的射影在面为则 连面则于作 BPDABBH BHBPDAHHPDAH ?BPDABABH 与面为? 所成的角 . 又在 Rt 6,23,3,33, ? AHAPADDCAPD 中 ,32s in ? ABAHABH 即 AB 与平面 BPD 所成角的正弦值为 32 . 20、 解：（ 1） P B O A C D - 9 - )5(542)(5,4,2)3)(2)(1()3(1240)2(,2)()2(3)1(0212323:)1(,1()()1)(23()1()1)(1()1(:)1(,1()(23)()(23223分相联立解得由故时有极值在即故的切线方程为上而过即
13、的切线方程为上点过求导数得：由?xxxxfcbabafxxfycbabacbabafPxfyxbacbayxffyfPxfybaxxxfcbxaxxxf)2)(23(44323)( 22 ? xxxxbaxxxf x )2,3 ? 2 )32,2(? 32 1,32( )(xf? + 0 0 + )(xf 极大 极小 135)2(4)2(2)2()2()( 23 ? fxf 极大 4514121)1( 3 ?f 1,3)( ? 在xf 上最大值为 13 （ 2） 1,2)( ? 在区间xfy 上单调递增 又 02)1(,23)( 2 ? babaxxxf 知由 bbxxxf ? 23)( 1,
14、203,0)(1,2)( 2 ? 在即上恒有在 bbxxxfxf上恒成立 . 在 603)1()(,16 ? bbbfxfbx小时在 0212)2()(,26 ? bbfxfbx小时?b 在 .6001212)(,162 2 ? bbbxfb 则时小综合上述讨论可知，所求参数 b 取值范围是： b 0 21、 解：（）由 2yx? 可得， 2yx? ? 1 分 直线 PM 与曲线 0T 相切，且过点 (1, 1)P ? ， 211 1 12 1xx x ? ?，即 2112 1 0xx? ? ? ， 1 2 4 4 122x ? ? ?，或 1 12x ? ， ? 3 分 - 10 - 同理可
15、得： 2 12x ? ，或 2 12x ? ? 4 分 12xx? ， 1 12x ? ， 2 12x ? ? 5 分 （）由（）知， 122xx?, 121xx? ? ， 则直线 MN 的斜率 221 2 1 2121 2 1 2y y x xk x xx x x x? ? ? ?， ? 6 分 直线 M 的方程为： 1 1 2 1( )( )y y x x x x? ? ? ?，又 211yx? ， 221 1 2 1 1 2()y x x x x x x x? ? ? ? ?，即 2 1 0xy? ? ? 7 分 点 P 到直线 MN 的距离即为圆 E 的半径，即 | 2 1 1 | 4
16、4 1 5r ?， ? 8 分 故 圆 E 的面积为 2 1 6 1 655Sr? ? ? ? ? ? ? 9 分 （）四边形 ABCD 的面积为 12S AC BD? g 不妨设圆心 E 到直线 AC 的距离为 1d ，垂足为 1E ；圆心 E 到直线 BD 的距离为 2d ，垂足为 2E ；则 2 2 2 2122 , 2 ,A C r d B D r d? ? ? ? ? 10 分 由于四边形 12EEOE 为矩形 .且 22 2 2 212 (1 0 ) ( 1 0 ) 2d d O E? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 分 所以 2 2 2 2121 22S A C B D r d r d? ? ? ?gg，由基本不等式 222ab a b?可得 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 22( ) ( ) 2 ( ) 5S r d r d r d d? ? ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 12d
