1、 - 1 - 广西南宁市第三中学 2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 文 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。） 1已知集合 ? ? ? ?22 1 , 3 0A x x B x x x? ? ? ? ? ? ?，那么 AB? （ ） A. ? ?23xx? ? ? B. ? ?01xx? C. ? ?20xx? ? ? D. ? ?13xx? 2已知 i 是虚数单位，则复数 21i? （ ） A. 2i? B. 2i C. 1i? D. 1i? 3某城市收集并整理了该市 2017年 1月份至 10月份各月
2、最低气温与最高气温（单位 ： ）的数据，绘制了下面的折线图。已知该市的各 月 最低气温与最高气温具有较好的线性关系， 则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最低气温与最高气温为正相关 B. 10月的最高气温不低于 5月的最高气温 C. 月温差（最高气温减最低气温）的 最大值出现在 1月 D. 最低气温低于 0 的月份有 4个 4已知曲线 ? ? 32 2f x x ax? ? ?在点 ? ?1, 1f 处切线的倾斜角为 34? ，则 a 等于（ ） A. 2 B. 2? C. 3 D. 1? 5在 ABC? 中， a b c、 、 分别为角 A B C、 、 的对边长， 1 cos b
3、cA c?，则三角形的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直 角三角形 C. 正三角形 D. 直角三角形 6设实数 ,xy满足不等式组 22 0yxyxy?，则 4yx? 的取值范围是（ ） - 2 - A. 10,2?B. 10,2?C. 10,2?D. 10,2? ?7设 Rba ?, ，则 “ 22 ba? ” 是 “ 033 ?ba ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8如图所示，程序框图的输出值 S? （ ） A 15 B 22 C 24 D 28 第 8题图 第 9题图 9某几何体的三视图如图所示 (单位： cm
4、)，则该几何体的体积等于（ ） cm3 A. 6+32? B. 6 23? C. 4+32? D. 4+23? 10已知函数 ?fx对一切实数 ,ab满足 ? ? ? ? ? ?f a b f a f b? ? ?,且 ?12f ? ,若? ? ? ? ? ? ?2 *221nf n f na n Nfn? ?,则数列 ?na 的前 n 项和为 ( ) A. n B. 2n C. 4n D. 8n 11已知双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ），过其左焦点 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 A 、B 两点，若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆内，则 双曲线离心率的取值范围是（ ）
5、 A. 31,2?B. ? ?1,2 C. 3,2?D. ? ?2,? 12已知函数3ln ,1()1, 1x xfx xxx? ? ? ? ?，若关于 x的方程 ()f x k? 有三个不同的实根，则实数 k- 3 - 的取值范围是（ ） A. ? ?,0? B. 1(0, )e C. 1( , )e? D. 1,e?二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13已知等差数列 na 的 6 7 8a a a? ? ? 9，则前 13项的和为 _. 14若 ? 为锐角， 25sin 5? ，则 sin4?_ 15设数列 ?na 的前 n 项和为 Sn，已知 Sn=2n an（
6、 nN +），通过计算数列的前 四项，猜想na? _. 16已知函数 ?fx是定义在 R 上的奇函数， ?10f ? ， ? ? ? ?2 0 ( 0 )xf x f x xx? ?，则不等式 ? ? 0xf x ? 的解集是 _ 三、解答题（本大题共 6小题，第 17 小题 10分，其余小题各 12分，共 70分）17（本题 10分）在 ABC? 中，角 ,ABC 所对边分别是 ,abc，满足 ? ?c o s 2 c o s 0c B a b C? ? ? （ 1）求角 C ； （ 2）若 3c? ，求 ABC? 面积的最大值 . 18（本题 12分）已知等差数列 ?na 中 , nS 是
7、数列 ?na 的前 n 项和 ,且 255, 35.aS? （ 1） 求数列 ?na 的通项公式 ; （ 2） 设数列 1nSn?的前 n 项和为 nT ,求 nT . - 4 - 19（本题 12 分）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者调查发现，男、女志愿者中分别各有 10人和 6人喜欢运动，其余人员不喜欢运动 （ 1） 根据以上数据完成 22 列联表 ，并说明是否有 95%的把握认为性别与喜欢运动有关 ； 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 女 总计 （ 2） 如果喜欢运动的女志愿者中恰有 4 人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取 2名负责
8、处理应急事件，求抽出的 2名志愿者都懂得医疗救护的概率 . 附： K2 ? ? ? ? ? ?2n a d b ca b c d a c b d? ? ? ?， P(K2 k0) 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 10.828 - 5 - 20（本题 12分）如图，在三棱锥 P ABC? 中，平面 PAB? 平面 ABC ， 6AB? ， 23BC? ，26AC? ， D 为线段 AB 上的点，且 2AD DB? ， PD AC? . （ 1）求证： PD? 平面 ABC ； （ 2）若 4PAB ?，求点 B 到平面 PAC 的距离 .
9、 21（本题 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中 ,动点 P 到两点 ? ? ? ?3, 0 , 3, 0? 的距离之和等于4,设动点 P的轨迹为曲线 C,直线 L 过点 ( 1,0)E? 且与曲线 C交于 A,B两点 . （ 1） 求曲线 C的方程 ; （ 2） AOB 的面积是否存在最大值 ?若存在 ,求此时 AOB 的面积 ,若不存在说明理由 . 22 （本题 12分） 已知函数 ? ?xxfxe?. （ 1）求函数 ?fx的单调区间； （ 2）证明： 12lnxx e ex?. - 6 - 南宁三中 20172018学年度下学期高二月考（一）文科数学试题 答案 1 A【解析】 ?
10、? ? ? ? ?2 1 , 0 3 , 2 3A x x B x x A B x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选： A。 2 C【解析】 ? ? ? ?212 11 1 1i ii i i? ? ? ? ?，选 C. 3 D【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故 A 正确； 10 月份的最高气温大于 20C? ，而 5月份的最高气温为不超过 20C? ，故 B正确；从各月的温差看， 1月份的温差最大，故 C正确；而最低气温低于 0C? 的月份是 1， 2， 4三月份，故 D错，选D. 4 A【解析】因为 ? ? 232f x x ax? ?，所以
11、? ?1 3 2fa? ? ，由已知得 3 2 1a? ? ，解得 2a? ，故选 A. 5 D【解析】 1 cos bcA c?， cos bA c? ，即 2 2 22b c a bbc c? ? ，去分母 得： 2 2 2b c a? 22b? ，即 2 2 2a b c?，则 ABC? 为直角三角形，故选 D. 6 B【解析】作出不等式的可行域，如图所示： 4yx? 可以看作阴影部分内的点 (x,y)与定点 P(-4,0)连线的斜率， 由图可知， AP的斜率最大， ? ?2 0 1()4 0 4 2m axyx ? ? ?， x轴上的点与 P连线斜率最小为 0，所以 10,42yx ?
12、 ?. 故选 B. 7 B【解析】若 330ab?，则 0ab?，有 220ab?；若 22ab? ，当 2, 1ab? ? 时，3 8a? 3 1b?，所以 “ 22ab? ” 是 “ 330ab?” 的必要不充分条件 . 8 C【解析】由程序框图，得： 200,1 ? Si ； 203,3 ? Si ； 208,5 ? Si ；7, 15iS? 20? ； 2024,9 ? Si ；结束循环，输出 S 值；故选 C 9 A【解析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，且三棱- 7 - 柱的底面 是等腰直角三角形：直角边是 2，高是 3，圆柱的底面圆半径是 1，母线长
13、是 3， 几何体的体积 21 1 32 2 3 1 3 62 2 2V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，本题选择 A选项 . 10 C【解析】由 ? ? ? ? ? ? ? ?12f a b f a f b f? ? ? ?，得 ? ? ? ? ? 21 1 1 1 2f f f? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? 32 1 2 1 2f f f? ? ? ?， ? ， ? ? *2nf n n N?， ，所以 ? ? ? ? ?2 221n f n f na fn? ?2221 42nnn? ?，所以数列 ?na 的前 n 项和为 4n 选 C 11 D【解析】 AB 是双曲线
14、通径， 22bAB a? ，由题意 2baca? ，即 2 2 2 2a ac b c a? ? ? ?，2220c ac a? ? ?，即 2 20ee? ? ? ，解得 2e? （ 1e? 舍去），故选 D 12 B【解析】由题意得当 1x? 时，21 ln() xfx x? ?，所以当 1 xe?时， ( ) 0fx? ? ；当xe? 时， ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx在 ? ?1,e 上单调递增，在 (, )e? 上单调递减，所以当xe? 时， ()fx取得极大值 1()fee? ，又 (1) 0f ? ，当 1x? 时， ln( ) 0xfx x?，当 1x? 时，函数 3
15、( ) 1f x x? ? 为 减函数，作出 ()fx的图象如图所示，所以当 10 k e? 时， ()f x k? 有 3个不 同的实数根，故选 B. 13 39 【 解 析 】 由 等 差 数 列 的 性 质 知 6 7 8 739a a a a? ? ? ?， 7 3a? ，所以1 3 71 3 1 3 3 3 9Sa? ? ? ? 14 1010 【解析】因为 ? 为锐角， 25sin 5? ，所以 5cos 5? ， s in s in c o s44? cos sin 4?1010 ，故填 1010 . 151212nn?【解析】当 1n? 时， 112aa? ，解得 1 1a?
16、，当 2n? 时， 1 2 24a a a? ? ? ，解得2 32a?，当 3n? 时， 1 2 3 36a a a a? ? ? ?，解得3 227a?，当 4n? 时，- 8 - 1 2 3 4 48a a a a a? ? ? ? ?，解得 4 3215a? .故可猜想 1212nn na ? . 16 ? ? ? ?, 1 1,? ? ? ?【解析】 ? ? ? ?2 0 ( 0 )xf x f x xx? ?，设函数 ? ? ? ?,fxgx x? ? ?gx? ? ? ? ? ? ?2 0,xf x f x gxx? ?的单调递增区间为 ? ? ? ? ? ? ? ?0 , ,
17、f x f xgx xx? ? ? ? ? ? ?gx? ， ? ?gx? 单调递减区间为 ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 1 0 , 1 0 . 1 0f g g? ? ? ? ? ? ?，所以当1x? 时， ? ? 0gx? ，当 10x? ? ? 时， ? ? 0gx? ；当 01x?时， ? ? 0gx? ；当 1x?时， ? ? 0gx? ，因为不等式 ? ? 0xf x ? 的解集等价于 ? ? 0gx? ，所以当 1x? 或 1x? 时，? ? 0gx? ，不等式 ? ? 0xf x ? 的解集 | 1xx? 或 1x? ，故答案为 | 1xx? 或 1x? . 17【
18、解析】（ 1）由已知得 : ? ?s i n c o s 2 s i n s i n c o s 0C B A B C? ? ?， 则 s i n c o s s i n c o s 2 s i n c o s 0C B B C A C? ? ? ? ?s in 2 s in c o s 0B C A C? ? ?，则 sin 2sin co s 0A A C? sin 0A? ， 1cos 2C? ， ? ?0,C ? ， 23C ? （ 2）由余弦定理 2 2 2 2 c o sc a b ab C? ? ? 得： 223 2 3a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? 1ab? ，当 1ab?时取等号 ， 1 1 3 3s in 12 2 2 4ABCS a b C? ?
