1、 1 定远重点中学 2017-2018学年第二学期第一次月考 高二理科数学试题 注意事项： 1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将第 I卷（选择题）答案用 2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I卷（选择题 60分） 一选择题 （本题有 12小题，每小题 5分，共 60分。） 1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对 大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ） A.乙可以知道四
2、人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 2.设复数 z满足 ， 则 =（ ） A. 2+i B. 2 i C.2+i D.2 i 3.已知 ， 则 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，设 D是图中边长分别为 1和 2的矩形区域， E是 D内位于函数 图象下方的阴影部分区域 ，则阴影部分 E的面积为（ ） A.ln2 B.1 ln2 C.2 ln2 D.1+ln2 5.已知点 P在曲线 上， 为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 的取值 范围为（ ） A. B. C. D. 2 6.已知函数 的图象过原点，且在原点 处的
3、切线斜率是 -3，则不等式组 所确定的平面区域在 内 的面积为 ( ) A. B. C. D. 7.已知函数 ，则其导函数 f （ x）的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 8.i是虚数单位，若 =a+bi（ a， bR ），则 lg（ a+b）的值是（ ） A. 2 B. 1 C.0 D. 9.已知函数 ?fx的导数为 ?fx? ，且 ? ? ? ? ? ?10x f x xf x? ? ?对 ? ?0,x? ? 恒成立，则下列不等式一点成立的是（ ） A ? ? ? ?1 2 2f ef? B ? ? ? ?12ef f? C ?10f ? D ? ? ? ?22ef e f? 1
4、0.已知复数 z 满足 ? ?211z i i? ? ? （ i 为虚数单位），则 z 为（ ） A. 12 B. 22 C. 2 D. 1 11.如图 是函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3 12.已知函数 在 上不存在最值，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 第 II卷（选择题 90分） 二、填空题 (共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 ) 13.观察下列数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 设 2017是该表第 m 行的第 n 个数，则 mn? 的值为 _ 14.若复数 ?
5、?2 201728z a i i? ? ? ?（ aR? ）为纯虚数，则 a? _ 15.定积分 ? ?112 sinx x dx? 的值为 _ 16.已知函数 下列四个命题：f(f （ 1） )f（ 3）； x0(1, +),f(x 0)=-1/3； f(x) 的极大值点为 x=1； x1,x2(0,+),|f(x 1)-f(x2)|1 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题 (共 6小 题 ,共 70分 ) 17.曲线 C： y 2x3 3x2 2x 1 ,点 P ，求过 P的切线 l与 C围成的图形的面积 18.已知函数 f（ x） = +lnx，其中 a为常数， e为自然
6、对数的底数 （ I）若 a=1，求函数 f（ x）的单调区间； （ II）若函数 f（ x）在区间 1， 2上为单调函数，求 a的取值范围 19.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小4 正方形的摆放规律相同），设第 n 个图 形包含 ?fn个小正方形 . （ ）求出 ?5f ； （ ）利用合情推理的 “ 归纳推理思想 ” 归纳出 ? ?1fn? 与 ?fn的关系式，并根据你得到的关系式求 ?fn的表达式 . 20.已知函数 ? ? 32f x ax bx?的
7、图像经过点 (1,4M ） ，曲线 ?fx在点 M 处的切线恰好与直线 9 =0xy? 垂直 (1)求实数 ,ab的值； (2)求在函数 ?fx图像上任意一点处切线的斜率的取值范围 21.已知复数 1 2z a i? ， 2 34zi? （ aR? ， i 为虚数单位） （ 1）若 12?zz是纯虚数，求实数 a 的值； （ 2）若复数 12?zz在复平面上对应的点在第二象限，且 1 4z? ，求实数 a 的取值范围 . 22.已知函数 ? ? ? ?2ln aaf x x a Rxx? ? ? ?. （ 1）若 1a? ，求函数 ?fx 的极值； （ 2）若 ?fx在 ? ?1,? 内为 单
8、调增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）对于 nN? ，求证： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 21 1 1 1 l n 11 1 2 1 3 1 1 nn? ? ? ? ? ? ? ? ?. 5 参 考 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C C D D B C C A B C C 1.D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） 乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选： D 2.C
9、【解析】设 z=a+bi（ a、 bR ），由题意知， ， 1+ 2i=ai b，则 a=2， b= 1， z=2 i， =2+i， 故选 C 3.C【解析】由已知 = ， 故选 C。 4.D【解析】由题意，阴影部分 E由两部分组成 因为函数 ，当 y=2时， x= ，所以阴影部分 E的面积为 + =1+ =1+ln2 故选 D 5.D【解析】 ， ， 又， ， 即 ， 6 ， 故 的取值范围为 ， 故选 D 6.B【解析】根据题意函数 的图象过原点，故可知 b=2，且在原点处的切线斜率是 -3，则,可得不等式组表示的平面区域在 内的面积为 ， 选 B. 解决的关键是通过已知的函数的性质得到参
10、数 a,b的值，进而得到解析式，然后借助于不等式区域来求解面积，属于中档题。 7.C【解析】 f （ x） = x2sinx+xcosx， f （ x） = x2cosx+cosx， f （ x） = （ x） 2cos（ x） +cos（ x） = x2cosx+cosx=f （ x）， 其导函数 f （ x）为偶函数，图象关于 y轴对称，故排除 A， B， 当 x+ 时， f （ x） + ，故排除 D， 故答案为： C 8.C【解析】 = = =a+bi， ， b= lg （ a+b） =lg1=0 故选： C 9.A【解析】 由 ? ? ? ? ? ? 01 ? xfxxfx 得 ?
11、? ? ? ? ?10xxx e f x xe f x? ? ?，? ? 0xxe f x ? 设 ? ? ? ?xF x xe f x? ， ? ?Fx? 在 ? ?,0 上递增 ,则? ? ? ? ? ?0 1 2F F F?， ? ? ? ?20 1 2 2ef e f? ? ? ， ? ? ? ?0 1 2 2f ef? ? ? 对于选项 B和 D,若 ? ? xxf ? （满足 ? ? ? ? ? ? 01 ? xfxxfx 对 ? ? ,0x 恒成立） ,则? ? ? ? ? ? ? ?22,21 feeffef ? ,从而选项 B和 D都是错误的 ,故选 A. 7 10.B【解析
12、】 由 z（ 1 i） 2=1+i，得? ? ? ?2 11 1 1 12 2 2 21 iiiiziiii ? ? ? ? ? ? |z|= 221 1 22 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 故选： B 11.C【解析】由函数 的部分图象得 ，即有 ，从而 ，而 在定义域内单调递增， ，由函数 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到 : ，解得 ， ， 函数 的零点所在的区间是 ，故答案为： C. 由图像可知 a、 b的取值范围进而得到 g(x)在定义域内单调递增，代入数值得出 g( )0故得到 g(x) 在定义域内单调递增即得函数 f(x) 有唯一的一个零点。 12.C
13、【解析】 ,因为若函数 在 上 存在最值 ， 则， 即 ， 所以若函数 在 上不存在最值 ， 则 或 ，即实数的取值范围为 ，故选 C. 13.508 【解析】 根据数表的数的排列规律， 1,3,5,. 都是连续奇数第一行 ， 有 1个数，第二行 ， 有 2 个数 ,且第一个数是 221? ； 第三行 ， 有 3 个数，且第一个数是 321? ； 第四行 ，有 4 个数 ， 且第一个数是 42 1.? ， 第 n 行 ， 有 n 个数，且第一个数是 21n? ， 1 0 1 12 1 1 0 2 3 , 2 1 2 0 4 7? ? ? ?， 2017? 在第 10行 ， ? ?2 0 1 7
14、 1 0 2 3 + 1 2 , 4 9 8nn? ? ? ?， 2017? 是第 10行的第 498 个数， 1 0 4 9 8 5 0 8mn? ? ? ? ?， 故答案为 508 . 8 14. 2? 【解析】 由题意可得： ? ? ? ?2 2 24 4 8 4 8 4z a a i i i a a i? ? ? ? ? ? ? ? ， 该数为纯虚数，则： 2 408 4 0a a?，解得： 2a? . 15.0【解析】 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2112 s i n c o s | 1 c o s 1 1 c o s 1 01x x d x x x? ? ? ? ? ? ?
15、? . 16. 【解析】 函数 的图形如图所示，对于 ， ， 正确；对于 ， 时， ，故 正确；对于 ，根据图形可判断 正确；对于 ， 时， ，故 正确 . 故答案为： . 17.【解答】设切 点坐标为 (x0 ， y0) y 6x2 6x 2， 则 , 切线方程为 则 9 即 整理得 解得 ,则切线方程为 解方程组 ,得 或 由 与 的图像可知【解析】先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分 18.解：（ ）若 a=1 时， f（ x） =3x 2x2+lnx，定义域为（ 0， + ） = （ x 0 令 f（ x） 0，得 x （ 0， 1），令 f（ x） 0，得
16、x （ 1， + ）， 函数 f（ x） =3x 2x2+lnx单调增区间为（ 0， 1）， 函数 f（ x） =3x 2x2+lnx单调减区间为（ 1， + ） （ ） . ， 若函数 f（ x）在区间 1， 2上为单调函数， 即 在 1， 2 或 恒成立 或 即 或 在 1， 2恒成立 即 或 10 令 ，因函数 h（ x）在 1， 2上单调递增 所以 或 或 ，解得 a 0或 或 a1 【解析】（ I）由 a=1 得 f（ x）的解析式，求导，令 f （ x） 0，令 f （ x） 0分别得出 x的取值范围，即 f（ x）的单调区间；（ II）由函数 f（ x）在区间 1， 2上为单调函数，得 f （ x） 0 或 f （ x） 0 ，分离出 a，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，
