1、 - 1 - 下学期高二数学 4 月月考试题 01 满分 150分。用时 120分钟 第 I卷（选择题共 50 分） 、选择题 (本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.双曲线 x2 -4y2 =-1的渐近线方程为 ( ) A.x? 2y=0 B.2x? y=0 C. x? 4y=0 D. 4x? y=0 2.设 l ， m 是两条不 重合 的直线， ? 是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A.若 l ? ， lm/ ，则 m? B.若 lm? ， m? ，则 l ? C.若 l ?/ ， m? ，则 lm/ D.若
2、l ?/ ， m?/ ，则 lm/ 3.下列判断正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pq?”为真命题 B. 命题“若0xy?，则0x”的否命题为“若0xy?，则0x?” C. “1sin 2?”是“ 6?”的充分不必要条件 D. 命题“,2 0x? ? ?R”的否定是“ 00 ,2 0xx? ? ?R” 4.已知双曲线 221xyab?的一个焦点与抛物线 2 4yx? 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5 ，则该双曲线的方程为 ( ) A 224515xy? B 22154xy?C 22154yx? D 225514xy? 5. 已知 P 是 ABC 所在平面外一点，
3、 D 是 PC 的中点，若 B D x A B y A C z A P? ? ?，则x y z? ? ? （ ） A.-1 B. 0 C. 12 D. 1 6.平行四边形 ABCD中， AB=AC=1， 090ACD?,将它沿对角线 AC 折起，使 AB和 CD 成 060角，则 B,D之间的距离为（ ） A 2 B 2 C 2或 2 D 2或 4 7过抛物线 xy 42? 的焦点作一条直线与抛物线相交于 BA, 两点 ,它们到直线 2?x 的距离之和等于 6,则这样的直线 （ ） A 有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 8.已知一个球与一个正 三棱柱的三个侧面和两个底面都相
4、切，若这个球的体积是 323? ，则这个三棱柱的体积是 （ ） A.96 3 B.16 3 C.48 3 D.24 3 - 2 - 9.右图是函数 ? ? baxxxf ? 2 的部分图像，则函数 ? ? ? ?xfxxg ? ln 的零点所在的区间是( ) A. ? 21,41B.? ?2,1 C. ? 1,21D.? ?3,2 10. 在棱长为 1正方体 ABCD-A1B1C1D1中，若 P是其棱上动点，则满足 |PA|+|PC1|=2 的点 P有（ ）个 A 4 B 6 C 8 D 12 第 II卷（非选择题共 100分） 二、填空题 (本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 .把答
5、案填在答题卡相应位置 .) 11.已知向量 a =（ 1,1,0）， b =（ -1,0,2），且 ka +b 与 2a b 互相垂直，则 k=_. 12.已知命题 “ ? x R， x2 5x 54 a 0” 的否定为假命题，则实数 a的取值范围是 _. 13.曲线 y= 2 cosx-1在（ 4? ， 0）处的切线方程为 . 14.直线: 3 3 0l x y? ? ?与抛物线2 4yx?相交于 A、 B两点，与 x轴相交于点 F， 若()O F O A O B? ? ? ? ? ?，则?. 15.已知正 ABC? 的顶点 A 在平面 ? 内，顶 点 CB, 在平面 ? 的同一侧， D 为
6、 BC 的中点，若ABC? 在平面 ? 内的射影是以 A 为直角顶点的三角形，则直线 AD 与平面 ? 所成角的正弦值的最小值为 . 三、解答题 (本大题共 6小题，满分 75 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤 .) 16. （ 本小题 满分 12 分 ） 如图， 在四面体 ABCD中， 平面 EFGH分别平行于 棱 CD、 AB， E、F、 G、 H分别在 BD、 BC、 AC、 AD上，且 CD a， AB b， CDAB. (1)求证 ：四边形 EFGH 是矩形 . (2)设 (0 1)DEDB ? ? ?， 问 ? 为何值时，四边形 EFGH的面 积最大 ？ A B C D
7、 E F G H （第 16 题图） - 3 - 17. (本小题满分 12分） 如图所示的几何体 ABCDE 中， DA? 平面 EAB ， CB DA ， 2EA DA AB CB? ? ?， EA AB? ， M 是 EC 的中点 （ 1）求证： DM EB? ； （ 2）求二面角 M BD A?的余弦值 （第 17题图） 18. (本小题满分 12分） 如图，已知抛物线 C ： pxy 22? 和 M ： 1)4( 22 ? yx ，过抛物线 C 上一点 00( , )Hx y 作两条直线与 M 相切于 A 、 B 两点，分别交 抛物线为 E、 F两点 ，圆心点 M 到抛物线准线的距离
8、为 417 (1)求抛物线 C 的方程； (2)当 AHB? 的角平分线垂直 x 轴时，求直线 EF 的斜率 19. (本小题满分 12分） 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 2CD x? ，梯形面积为 S （ 1）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其 定义域； （ 2）求 2S 的最大值 （第 19 题图） MCEDA B2rC D A B 2r （第 18 题图） - 4 - 20. (本小题满分 13分 ） 已知椭圆 C: 22 1( 0)xy abab
9、? ? ? ?的离心率为 36 ,短轴一个端点到右焦点的距离为3 . (1)求椭圆 C的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C交于 A、 B两点，以 AB 弦为直径的圆过坐标原点 O ，试探讨点 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由 . 21. (本小题满分 14分） 已知函数 xaxxf ln1)( ? ()a?R （ 1）讨论函数 )(xf 在定义域内的极值点的个数； （ 2） 若 函数 )(xf 在 1?x 处 取得 极值， 对 x? ),0( ? , 2)( ?bxxf 恒成立， 求 实数 b 的 取值 范围； （ 3）当 1? eyx 时， 求证：)1
10、ln( )1ln( ? yxe yx - 5 - 答案 一、选择题： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D B C A C C B 二、填空题： 11.75 12.(5,+? ), 13 y=-x+4? 14 13 15 63三、解答题： 16.解： (1)证明 ： CD 面 EFGH, CD? 平面 BCD 而 平面 EFGH 平面 BCD EF.CDEF 同理 HGCD. EFHG 同理 HEGF. 四边形 EFGH为平行四边形 ? 3分 由 CDEF ， HEABHEF （ 或其补角 ） 为 CD和 AB所成的角， 又 CDAB.HEEF. 四边形 EFG
11、H为矩形 . ? .6分 (2)解 ：由 (1)可知在 ABD中 EH AB， DE EHDB AB ?EH b? 在 BCD中 EF CD， 1BE EFBD CD ? ? ? (1 )EF a ? ? ? .8分 又 EFGH 是矩形 ，故 ABCDS矩 形 = (1 )a ? b? 21()2ab ? 14ab? ，当且仅当11 2? ? ? ? ?即 时等号成立， 即 E 为 BD 的中点时 ,矩形 EFGH 的面积最大为41 ab? .12 分 17 解 ： 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 并 设22EA D A AB CB? ? ? ?则 A(0， 0，
12、 0) B(0， 2， 0) C(0， 2， 1) D(0， 0， 2) E(2， 0， 0)? .2 分 （） 31,1,2DM ?， ( 2, 2, 0)EB ? ，所以 0DM EB?，从而得DM EB? ； ? 6分 （）设 1 ( , , )n x y z? 是平面 BDM 的法向量，则由 1n DM? ， 1n DB? 及 - 6 - 31,1, 2DM ?， (0 , 2 , 2)DB ?, 可以取 1 (1,2,2)n ? 显然， 2 (1,0,0)n ? 为平面 ABD 的法向量 ? .10分 设二面角 M BD A?的平面角为 ? ， 则此二面角的余弦值 1212 12|
13、1c o s | c o s , | 3| | | |nnnn nn? ? ? ? ? ? 12 分18.解： ( ) 点 M 到抛物线准线的距离为 ?24 p 417 ， 21?p ，即抛物线 C 的方程为 xy ?2 5分 ( )法一： 当 AHB? 的角平分线垂直 x 轴时，点 )2,4(H ， HE HFkk? ， ? 7分 设 11( , )Ex y ， 22( , )Fx y ， 12HHy y y yx x x x?， 122 2 2 2HHy y y yy y y y?， 12 24Hy y y? ? ? ? ?. 10分 2 1 2 1222 1 2 1 2 111 4EF
14、y y y yk x x y y y y? ? ? ? ? ? ? 12分 法二： 当 AHB? 的角平分线垂直 x 轴时，点 )2,4(H ， ?60?AHB ， 可得 3?HAk ，3?HBk ， 直线 HA 的方程为 2343 ? xy ， 联立方程组? ? xyxy 2 2343，得 02343 2 ? yy ， 32 3Ey ? 3 63?Ey， 3 3413?Ex 9分 同理可得 3 63 ?Fy， 3 3413?Fx， 41?EFk 12分 19 解：（ I）依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 Oxy? （如图）， 则点 C 的横坐标为 x 点 C 的纵坐标 y
15、满足方程 22 1( 0)4xy yrr? ， ? 2 分 解得 222 (0 )y r x x r? ? ? ? 所以 221 (2 2 ) 22S x r r x? ? ? 222( )x r r x? ? ?，其定义域为 ? ?0x x r? -6分 （ II）记 2 2 2( ) 4 ( ) ( ) 0f x x r r x x r? ? ? ? ?， 则 2( ) 8( ) ( 2 )f x x r r x? ? ? ? CDABOxy- 7 - 令 ( ) 0fx? ? ，得 12xr? 因为当 0 2rx? 时， ( ) 0fx? ? ；当 2r xr?时， ( ) 0fx? ?
16、 ， 所以 ()fx在 (0, )2r 上是单调递增函数，在 ( , )2rr 上 是单调递减函数， 所以 12fr?是 ()fx的最大值 ? 10分 因此，当 12xr? 时， 2S 也 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为4274r -12分 20 解：（ 1）设椭圆的半焦距为 c ，依题意 633caa? ?， 1b?， ? 3分 ?所求椭圆方程为 2 2 13x y? ? 4分 （ 2）设 11()Ax y， ， 22()Bx y， 当 AB x 轴时，设 AB 方程为： xm? ，此时 ,AB两点关于 x 轴对称， 又以 |AB 为直径的圆过原点，设 ( , )Amm 代人椭圆方程得： 32m? ? 6分 当 AB 与 x 轴不垂直时， 设直线 AB 的方 程为 y kx m?联立 2 2 13x yy kx m? ?， 整理得 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x km x m? ? ?
