1、 - 1 - 下学期高二数学 5 月月考试题 07 一、选择题 (本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分，只有一个是符合题目要求的 ) 1 已知集合 ? ?42 ? xxM ， ? ?0322 ? xxxN ，则集合 NM? =（ ） A.? ?2?xx B.? ?3?xx C.? ?21 ? xx D.? ?32 ?xx 2 抛物线 xy 42? 的焦点坐标为 ( ) A. )1,0( B. )0,1( C. )2,0( D. )0,2( 3.定点 12,FF，且 128FF? ，动点 P满足 128PF PF?，则点 P的轨迹是（ ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 4、若命
2、题“ p且 q”为假，且“非 p”为假则（ ） A.“ p或 q”为假 B. q假 C.q真 D. 不能判断 q的真假 5. 过点 P（ 2， 4）且与抛物线 y2=8x有且只有一个公共点的的直线有 （ ） A . 0条 B . 1 条 C. 2 条 D. 3条 6下列 有关命题的说法正确的是 （ ） A“ 2 1x ? ”是“ 1?x ”的充分不必要条件 B “ 1x? ”是“ 2 5 6 0xx? ? ? ”的必要不充分条件 C 命题“ xR?， 使得 2 10xx? ? ? ”的否定是：“ xR?， 均有 2 10xx? ? ? ” D命题“若 xy? ，则 sin sinxy? ”的逆
3、否命题为真命题 7. 若 222xyxy? ， ， ，则目标函数 2z x y? 的取值范围是（ ） A 25， B 26， C 36， D 35， 8已知 A(2， 5,1)， B(2， 2,4)， C(1， 4,1)，则 AC 与 AB 的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 二、填空题 (本大题共 7个小题，每小题 5分，共 35 分， ) 9、命题“存在 x R,x2+2x+2 0”的否定是 。 10、设 x、 y R+,且 1x +9y =1，则 x+y的最小值是 。 11下列命题中，其正确的命题为 |1| xx? 的最小值是 2 ； 221sin sin? ?的最
4、小值是 2； 2loglog2 xx? 的最小值是 2；- 2 - xxx t an1t an,20 ? ? 的最小值是 2； xx ?33 的最小值是 2， 12已知曲线 22( ) ( ) 3 6x a y b? ? ? ?的经过点 (0, 12)A ? 和原点 O ， 则 _, ? ba 13.若直线 1y kx?和椭圆 2241xy?有且仅有一个公共点，则 k 的值为 . 14平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 1， AD 2， AA1 3， BAD 90 ， BAA1 DAA160 ，则 AC1的长为 _ 15、经过点 ? ?2,4?P 的抛物线的标准方程为 _ 三、
5、解答题 (本大题共 6个大题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 16过点 )0,4(?P 的直线 l 与曲线 42: 22 ? yxC 交于 BA, ；求 AB 中点 Q 的 轨迹方程 )0(034|.17 22 ? aaaxxxp , 08206|22 ? xxxxxq 或 18.某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算 (即使用多少年的年平均费用最少 )? 19.（本题满分 13
6、 分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左 焦点为),(F 03? ,且过 ),(D 02 ,设点 ),(A 211 . （ 1）求该椭圆的标准方程； - 3 - （ 2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程； 20.(12分 )如图，在正方体 1111 DCBAABCD? 中， E 为 AB 的中点 （ 1）求异面直线 1BD 与 CE 所成角的余弦值； （ 2）求二面角 AECA ?1 的余弦值 21在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 (0, )Cc任作一直线 ，与抛物线 2yx? 相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与
7、线段 AB 和直线 :l y c? 交于 ,PQ， （ 1）若 2OA OB?，求 c 的值； （ 2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA为此抛物线的切线； （ 3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由。 答案 一、选择题 (本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 ) 1 已知集合 ? ?42 ? xxM ， ? ?0322 ? xxxN ，则集合 NM? =（ ） C A、 ? ?2?xx B、 ? ?3?xx C、 ? ?21 ? xx D、 ? ?32 ?xx 2抛物线 xy 42? 的焦点坐标为 ( ) B :A
8、)1,0( :B )0,1( :C )2,0( :D )0,2( 3.定点 12,FF，且 128FF? ，动点 P满足 128PF PF?，则点 P的 轨迹是（ ） D :A 椭圆 :B 圆 :C 直线 :D 线段 4、若命题“ p且 q”为假，且“非 p”为假则（ ） B - 4 - A、“ p或 q”为假 B、 q假 C、 q真 D、不能判断 q的真假 5. 过点 P（ 2， 4）且与抛物线 y2=8x有且只有一个公共点的的直线有 （ ） C A . 0条 B . 1条 C. 2 条 D. 3条 5.C 6下列 有关命题的说法正确的是 （ ） D A“ 2 1x ? ”是“ 1?x ”的
9、充分不必要条件 B “ 1x? ”是“ 2 5 6 0xx? ? ? ”的必要不充分条件 C 命题“ xR?， 使得 2 10xx? ? ? ”的否定是：“ xR?， 均有 2 10xx? ? ? ” D命题“若 xy? ，则 sin sinxy? ”的逆否命题为真命题 7. 若 222xyxy? ， ， ，则目标函数 2z x y? 的取值范围是（ ） B 25， 26， 36， 35， 8已知 A(2， 5,1)， B(2， 2,4)， C(1， 4,1)，则 AC 与 AB 的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 AB (0,3,3)， AC ( 1,1
10、,0)设 AB ， AC ，则 cos AB AC|AB | AC |33 2 212， 60. 二、填空题 (本大题共 7个小题，每小题 5分，共 35分，把正确答案填在题中横线上 ) 9、命题“存在 x R,x2+2x+2 0”的否定是 。 9、任意 x R， x2+2x+2 0 10、设 x、 y R+,且 1x +9y =1，则 x+y的最小值是 。 10、 16 11下列命题中，其正确的命题为 |1| xx? 的最小值是 2 ； 221sin sin? ?的最小值是 2； 2loglog2 xx? 的最小值是 2； xxx t an1t an,20 ? ? 的最小值是 2； xx ?
11、33 的最小值是 2， - 5 - 11 12已知曲线 22( ) ( ) 3 6x a y b? ? ? ?的经过点 (0, 12)A ? 和原点 O ， 则 _, ? ba 1 6,0.2 ? ba 13.若直线 1y kx?和椭圆 2241xy?有且仅有一个公共点，则 k 的值为 . 13 23? 14平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 1， AD 2， AA1 3， BAD 90 ， BAA1 DAA160 ，则 AC1的长为 _ 答案 23 解析 AC1 AB AD AA1 ， | AC1 |2 (AB AD AA1 )2. AB2 AD2 AA1 2 2AB AD
12、2AB AA1 2AD AA1 1 22 32 2|AB | AD |cos AB ， AD 2|AB | AA1 |cos AB ， AA1 2|AD | AA1|cos AD ， AA1 14 212cos90 213cos60 223cos60 23 | AC1 | 23，即 AC1 23. 15、经过点 ? ?2,4?P 的抛物线的标准方程为 _ 15、 xy?2 或 yx 82 ? 三、解答题 (本大题共 6个大题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 16过点 )0,4(?P 的直线 l 与曲线 42: 22 ? yxC 交于 BA, ；求 AB 中点 Q 的
13、轨迹方程 16解：设 ),(),(),( 2211 yxQyxByxA 则 xxx 221 ? yyy 221 ? 【方法一】 （点差法）? ? ? 42 4222222121yx yx )(2 21222122 yyxx ?yxkyy xxxx yy AB 221 12 1212 12 ?42)2(24 22 ? yxyxx yk PQAB 中点 Q 的轨迹 方程为 42)2( 22 ? yx )01( ? x 【方法二】 （韦达定理法） 设过点 P 的直线 )4(: ? xkyl - 6 - 043216)12()4( 42 222222 ? ? ? kxkxkxky yx 两根为 21,
14、xx 点 Q 的坐标满足： ? ?)4( 128)4(2 2 221xky kkxxkyxxx 42)2( 22 ? yx 016100)18)(12(16256 2224 ? xkkkk AB 中点 Q 的轨迹方程为 42)2( 22 ? yx )01( ? x )0(034|.17 22 ? aaaxxxp , 08206|22 ? xxxxxq 或 18.某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元 ，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算 (
15、即使用多少年的年平均费用最少 )? 18解 设使用 x年的年平均费用为 y万元由已知，得 y10 0.9x 0.2x2 0.2x2x ， 即 y 1 10x x10(xN *) 由基本不等式知 y1 2 10xx10 3，当且仅当10xx10，即 x 10时取等号因此使用 10年报废最合算，年平均费用为 3万元 21（本小题满分 13分） 19.（本题满分 13 分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为),(F 03? ,且过 ),(D 02 ,设点 ),(A 211 . （ 1）求该椭圆的标准方程； （ 2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程； - 7 - 19. 解： (1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1. 又椭圆的焦点在 x轴上 , 椭圆的标准方程为 14 22 ?yx(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P的坐标是 (x0,y0)， 由0012122xxyy? ?，得0021122xxyy? ? 由 ,点 P在椭圆上 ,得 1)212(4 )12( 22 ? yx, 线段 PA中点 M的轨迹方程是 1)41(4)21( 22 ? yx 20.(12分 )
