1、 1 广东省普宁市华美实验学校 2017-2018 学年高二数学下学期第一次月考试题 理 考试时间： 120分钟；满分： 150分； 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 一、 选择题（ 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .请将正确答案 填涂 在答题 卷 上 ） 1 在 ABC? 中，已知 434 5 , 2 2 , 3B c b? ? ?，则 C? （ ） A. 60 B. 30 C. 60 或 120 D. 120 2 等差数列 ?na 中， 6916aa? ， 4 1a? ，则
2、 11a? （ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 64 3 已知 ? ? ? ? 1 lnf x f x x?，则 ?fe? （ ） A. 1e? B. e C. 2e? D. 3 4 ABC? 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 c o s c o s sina B b A c C?， 则 ABC? 的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5 已知函数 ? ? 321132f x ax bx x? ? ?（ 0a? ， 0b? ）在 1x? 处取得极小值，则 14ab? 的 最小值为（ ） A. 4
3、B. 5 C. 9 D. 10 6 已知正方形 ABCD的边长是 a，依次连接正方形 ABCD 各边中点得 到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示 现有一只小虫从 A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新 正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬 行了 10 条线段设这 10条线段的长度之和是 S10，则 ? ?1022S?（ ） A. 3164a B. 6164a C. 3132a D. 61128a 7 过点 ? ?11M ， 的直线与椭圆 22143xy? 交于 A ， B 两点，且点 M 平分 AB ，则直线 AB 2 的方程为（ ） A
4、. 3 4 7 0xy? ? ? B. 3 4 1 0xy? ? ? C. 4 3 7 0xy? ? ? D. 4 3 1 0xy? ? ? 8 “ 1xm?或 1xm?” 是 “ 2 2 3 0xx? ? ? ” 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围（ ） A. ? ?0,2 B. ? ?0,2 C. ? ?0,2 D. ? ?0,2 9 已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2 7a在 x 1处取得极大值 10，则 ab 的值为 ( ) A. 2或 23 B. 2 C. 2或 23 D. 23 10 点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底面
5、ABCD 上一点，则 1PAPC? 的 取值范围 是 ( ) A. 11,4?B. 11,24?C. ? ?1,0? D. 1,02?11 已知函数 ?fx是定义在 R 上的偶函数 ， 当 0x? 时 ， ? ? ? ?0f x xf x?， 若 ? ?20f ? ， 则不等式 ? ? 0xf x ? 的解集为 （ ） A. | 2 0 0 2 x x x? ? ? ? ?或 B. | 2 2x x? ? ?或 C. | 2 0 2x x x? ? ? ?或 D. | 2 0 2x x x? ? ? ?或 12 已知函数 ? ? ? ? ?31 , 0 ,1 , 0xxxfx x e x? ?
6、 ? ? ?若函数 ? ? ? ?g x f x a?有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 210,e?B. 211,e?C. ? ?2,1e? D. ? ?,1? 二、填空题（ 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ） 13 22116 9xy?，则此双曲线的离心率为 _ 14 已知 ,xy满足 02 0xyxyy?，则 2yz x? ? 的最大值为 _ 15 若 f(x) 12 x2 bln(x 2)在 ( 1， ) 上是减函数，则实数 b的取值范围是 _ 3 16 如图是函数 ? ?y f x? 的导函数 ? ?y f x? ? 的图象，给出下列命题： ? ?y f
7、 x? 在 0x? 处切线的斜率小于零； 2? 是函数 ? ?y f x? 的极值点； ? ?y f x? 在区间 ? ?2,2? 上单调递减 . ； 1 不是函数 ? ?y f x? 的极值点 则正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题（ 本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明或演算步骤 .） 17 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对应的边分别为 ,abc，且 ? ?2 c o s c o sa b C c B? ? ? ?. （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 2c? ， ABC? 的面积为 3 ，求该三角形的周长 . 18 已知函数 ? ? 321 613
8、f x x ax x? ? ? ?.当 2x? 时，函数 ?fx取得极值 . （ 1）求实数 a 的值； （ 2）方程 ? ? 0f x m?有 3个不同的根，求实数 m 的取值范围 . 19 设数列 an的 前 n项和 Sn. 已知 a1=1， 212 1233n nS a n nn ? ? ? ?， n N*. () 求 a2的值； () 求数列 an的通项公式； ( ) 证明：对一切正整数 n，有121 1 1 74na a a? ? ? ?. 20 如图，四棱锥 P ABCD? 底面为正方形，已知 PD ABCD? 平 面 ， PD AD? ，点 M 为线段 PA 上任意一点（不含端点
9、 ），点 N 在线段 BD 上，且 PM DN? （ 1）求证： MN PCD直 线 平 面 ； （ 2）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的余弦值 4 21 已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的两个焦点分别是 ? ?1 2,0F ?， ? ?2 2,0F，且点 61,2P?在椭圆 C 上 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设椭圆 C 的左顶点为 D ，过点 2,03Q?的直线 m 与椭圆 C 相交于异于 D 的不同两点 A ， B ， 求 ABD 的面积 S 的最大值 . 22 已知函数 ? ? ? ?2 , l nf x
10、x g x a x b x? ? ? ?（ a 、 b 为常数） .若函数 ?fx与 ?gx的图象在?11f（ ， ） 处相切， （ ）求 ?gx的解析式； （ ）设函数 ? ? ? ?2g x x mhx x? ? ?1 me ，若 ? ?hx在 ? ?1,e 上的最小值为 32 ，求实数 m 的值 ; （ ）设函数 ? ? ? ? ? ? ?22x t x t g x t R? ? ? ? ? ? ?，若 ? ?xx? ? 在 10,2?上恒成立，求实数 t 的取值范围 . 5 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 C 7 A 8 A 9 D 10 D 11 D 12 A 13
11、 54 14 13 15 ( ， 1 16 17 (1) 3C ? ;(2)6. 【解析】 （ 1）由 ? ?2 c o s c o sa b C c B? ? ? ?得 2 s i n s i n c o sA c o sC B c o sC B sin C? 2sin cos sinA C A? 1cos 2C? 0 C ? 3C ? （ 2） 1 s in 32ABCS ab C? ? 4ab? 又 ? ? 22 2 2 23c a b a b c o s C a b a b? ? ? ? ? ? ? ?2 16ab? 4ab? 周长为 6. 18 (1) 52a? ； (2) 11 7
12、32m? ? ? . 【解析】 （ 1）由 ? ? 321 613f x x ax x? ? ? ?，则 ? ? 2 26f x x ax? ? ? 因在 2x? 时， ?fx取到极值 所以 ? ?2 0 4 4 6 0fa? ? ? ? ? 解得， 52a? （ 2）由（ 1）得 ? ? 3215 6132f x x x x? ? ? ?且 13x? 则 ? ? ? ? ?2 5 6 2 3f x x x x x? ? ? ? ? ? 由 ? ? 0fx? ? ，解得 2x? 或 3x? ； ? ? 0fx? ? ，解得 3x? 或 2x? ； ? ? 0fx? ? ，解得 23x? ?fx
13、的递增区间为： ? ?,2? 和 ? ?3,? ； ?fx递减区间为： ? ?2,3 又 ? ? 112 3f ? ， ? ? 73 2f ? 故答案为 11 732m? ? ? 19 （ 1） 2 4a? ；（ 2） 2nan? ；（ 3）见解析 . 【解析】 () 1 1 2 122 2 133S a a? ? ? ? ?，解得 2 4a? . () 321 122 33nnS n a n n n? ? ? ? ? ? ?1 123n n n nna ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 112 1 23nn n n nS n a n? ? ? ? ? 6 两式相减得 ? ? ? ?1 1
14、1nnna n a n n? ? ? ? ?， 1 11nnaa? ? ? ?2n? ，当 1n? 时，符合此式， 所以数列 nan?是以 1为首项， 1为公差的等差数列， na nn? ， 2nan? . () 证明：因为 ? ?21 1 1 111n n n n n? ? ?，所以2 2 21 1 11 23 n? ? ? ?1 1 1 1 11 4 2 3 1nn? ? ? ? ? ? ?7 1 744n?. 20 （ 1）见解析（ 2） 223 【解析】 （ 1） 延长 AN ，交 CD 于点 G ，连接 PG ， 由相似知 AN BN AMNG ND MP?，可得： MN PG ，
15、MN PCD? 平 面 ， PG PCD? 平 面 ， 则 MN PCD直 线 平 面 （ 2） 由于 DA ， DC ， DP 两两垂直， 以 DA ， DC ， DP 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系， 设 ? ?1,0,0A ，则 ? ?1,1,0B ， ? ?0,1,0C ， ? ?0,0,1P ， 11,0,22M?， 11, ,022N?， 则 ? ?1,1, 1PB?，平面 AMN 的法向量为 ? ?1,1,1m? ， 设向量 PB 与 m 的夹角为 ? ，则 1sin 3? ， 则 PB 与平面 AMN 夹角的余弦值为 223 21 （ 1） 22142xy?；（
16、2） 169S? . 【解析】 (1)由题意，焦距 2 2 2c? ， 2c? ， 7 椭圆 ? ?22 2: 1 22xyCaaa? ? ? . 又椭圆 C 经过点 61,2P?， ? ?2 216 142a a?， 解得 2 4a? 或 2 12a? (舍 )， 2 2b? . 椭圆 C 的标准方程为 22142xy?. (2)由 (1)，得点 ? ?2,0D? ， 由题意，直线 m 的 斜率不等于 0，设直线 m 的方程为 23x ty?， ? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y ，联立222 32 4 0x tyxy? ? ?，消去 x ，得 ? ?229 1 8 1 2 3
17、 2 0t y ty? ? ? ?， ? ? ? ?2 21 2 4 3 2 9 1 8 0tt? ? ? ? ? ? ?， 12 2129 18tyy t? ?， 12 2329 18yy t? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?2222 21 2 1 2 21 2 4 3 2 9 1 819 1 8ttA B x x y y tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 化简，得 2229 1 61 2 1 9 1 8tA B t t ? ? ? ?， 又点 D 到直线 m 的距离为2431d t? ? ， ABD 的面积 12S? 228 9 1 69 1 8tAB d t ? ? ?
18、 ?， 令 ? ?29 1 6 4t? ? ?，则28822S ? ? ?， 而函数 2u ? ? 在 ? ?4,? ? 时单调递增， S 在 ? ?4,? ? 时单调递减， 当 4? 时即 0t? 时， ABD 的面积 S 有最大值 169S? . 22 () ? ? 2lng x x x? ? ? ； () me? ； () ? ?2 4ln2? ?， . 【解析】 （ ）由已知得 ? ? 0,bg x a xx? ?（ ） 8 函数 ? ? ? ?f x g x与 的图象在 ?11f（ ， ） 处相切，所以 ? ? ? ? ?1 1, 1 1 1,gfg? ? ?即 1 1aba?， 解得1, 2ab? ? ， 故 ? ? 2lng x x x? ? ? （ ） ? ? ln ( 0 )mh x x xx? ? ?得， ?
