1、 - 1 - 广东省清远市阳山县 2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试题 理 (本卷满分 150分，时间 120分钟 ) 一、 选择题（ 60 分，每题 5分） 1（ 5分）设命题 P： ? nN ， n2 2n，则 P为（ ） A ? nN ， n2 2n B ? nN ， n2 2n C ? nN ， n2 2n D ? n?N， n2 2n 2（ 5 分）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1= 11， a4+a6= 6，则当 Sn取最小值时， n等于（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 3（ 5分）抛物线 y=4x2的焦点到准线的距离为（ ） A 2 B C 4
2、 D 4（ 5 分） ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c若 c= ， b= ， B=120 ，则 a等于（ ） A B C D 2 5（ 5分）设 a， b是非零实数，若 a b，则下列不等式成立的是（ ） A B C a2 b2 D ab2 a2b 6（ 5分）已知 an是等比数列， a2=2， a5= ，则 a1a2+a2a3+?+a nan+1=（ ） A 16（ 1 4 n） B 16（ 1 2 n） C （ 1 4 n） D （ 1 2 n） 7（ 5分）设 a， bR ，则 “a b” 是 “a|a| b|b|” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
3、C充要条件 D既不充分又不必要条件 8（ 5分）已知点 F1， F2是椭圆 C： =1的焦点，点 M在椭圆 C上且满足 | + |=2 ，则 MF1F2的面积为（ ） A B C 1 D 2 - 2 - 9（ 5分）设 ABC 的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，且 cosA= ， cosB= ， b=3，则c=（ ） A B C D 10（ 5分）已知不等式（ x+y）（ + ） 9对任意正实 数 x， y恒成立，则正实数 a的最小值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 11（ 5分）已知双曲线 E的中心为原点， P（ 3， 0）是 E的焦点，过 P的直线 l 与 E相交
4、于 A，B 两点，且 AB的中点为 N（ 12， 15），则 E的方程式为（ ） A B C D12（ 5分）等边三角形 ABC与正方形 ABDE有一公共边 AB，二面角 C AB D的余弦值为 ，M， N分别是 AC BC的中点，则 EM， AN所成角的余弦值等于（ ） A B C D二、 填空题（ 20 分，每题 5分） 13（ 5 分）执 行如图程序，若输出的结果是 4，则输入的 x的值是 14（ 5分）把一枚硬币连续抛掷两次，事件 A=“ 第一次出现正面 ” ，事件 B=“ 第二次出现正面 ” ，则 P（ B|A） = 15（ 5 分）以点（ 2， 3）为圆心且与直线 2mx y 2m
5、 1=0（ mR ）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为 16（ 5 分）由计算机产生 2n 个 0 1 之间的均匀随机数 x1， x2， ?x n， y1， y2， ?y n，构成 n个数对（ x1， y1），（ x2y2）， ? （ xn， yn）其中两数能与 1构成钝角三角形三边的数对共有 m个，- 3 - 则用随机模 拟的方法得到的圆周率 的近似值为 三、 解答题（ 70 分） 17.（ 10 分） 在 ABC? 中， ,ABC 的对边分别为 a ， b ， c ，且 c o s c o s 2 c o sc A a C b A? ? ? ? ?. （ ）求 cosA ； （ ）若
6、 7a? ， 4bc? ，求 ABC? 的面积 . 18.（ 12 分） 已知数列 na 满足： 1 2a? ， 1 32nnaa? ?. （ ） 证明： 1na? 是等比数列 ,并求 na 的通项公式； （ ） 设 21 2 2 3 13 3 3 nnnnS a a a a a a ? ? ? ?，求 nS . 19.（ 12 分） 如图边长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， M ， N 分别是 1CC ， 11BC 的中点， （ ）证明： 1 /AN 平面 1AMD ； （ ）求二面角 1M AD D?的余弦值 . A B C D M N 1A 1B 1C 1D
7、- 4 - 20.（ 12 分） 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p?的焦点坐标为 1(2F ， 0) . （ ）求 p 的值； （ ）已知斜率为 2 的直线 l 与抛物线 C 相交于与原点不重合的两点 A ， B ，且 OA OB? ，求 l 的方程 . 21.（ 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为平行四边形， 24AB AD?， 23BD? ，PD? 平面 ABCD . （ ）证明：平面 PBC? 平面 PBD ； （ ）若二面角 P BC D?大小为 4? ，求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值 . P A B C D - 5 - 22.
8、（ 12 分） 已知圆 1C 的圆心在坐标原点 O ，且恰好与直线 1 : 2 3 5 0l x y? ? ?相切，设点 A 为圆上一动点， AM x? 轴于点 M ，且动点 N 满足 3MA MN? ，设动点 N 的轨迹为曲线 C . （ ） 求曲线 C 的方程； （ ） 直线 l 与直线 1l 垂直且与曲线 C 交于 B 、 D 两点，求 OBD? 面积的最大值 . - 6 - 数学（理）答案 一、 CABBB CCCAB BD 二、13、 2 14、15、（ x 2） 2+（ y+3） 2=5 16、 三、 17解：（ ）由正弦定理得： 2 sinc r C? ， 2 sina r A?
9、 ， 2 sinb r B? （其中 r 为外接圆半径） .? 1分 代入 co s co s 2 co sc A a C b A? ? ? ? ?得： s in c o s s in c o s 2 s in c o sC A A C B A? 即： s i n ( ) 2 s i n c o s s i n ( ) 2 s i n c o sA C B A B B A? ? ? ? ?.? 3分 sin 2 sin cosB B A? ，? 4分 (0, ) sin 0BB? ? ?. 1cos 2A?. ? 5分 （ ）由余弦定理 2 2 2 1( 7 ) 2 2b c b c? ? ?
10、 ?,即 2( ) 3 7b c bc? ? ? 7分 上式代入 4bc? 得 3bc? .? 8分 21 1 1 3 3 3s i n 1 c o s 32 2 2 2 4ABCS b c A b c A? ? ? ? ? ? ? ?. 所 以 ABC? 的面积是 334 .? 10分 18（ ） 证明：由 113 2 1 3 ( 1 )n n n na a a a? ? ? ? ? ?.? 1分 112, 1 3 0aa? ? ? ? ?且 10na ? . ? 2分 1 1 31nnaa? ? .? ? 3分 所以 1na? 是首项为 3公比为 3的等比数列 .? 4分 11 3 3 3
11、nnna ? ? ? ?，得 31nna ?. - 7 - 即 na 的通项公式是 31nna ?.? 6分 （ ） 222 2 3 11 2 2 3 13 3 3 3 3 3( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 )nnnnnna a a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 111 1 1 1 1()2 2 3 1 4 2 ( 3 1 )nn?
12、 ? ? ?. ? 11 分 1114 2(3 1)n nS ? ? ? ?.? 12分19解：（ ）证明：以 D为原点， DA、 DC、 DD1为轴建立如图直角坐标系 .? 1分 则 (2 , 0 , 2 ) , (1 , 2 , 2 ) , ( 0 , 2 ,1 ) , (2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )A N M A D. 11( 1 , 2 , 0 ) , ( 2 , 2 , 1 ) , ( 2 , 0 , 2 )A N A M A D? ? ? ? ? ?. ? ? 2分 设平面 AMD1的法向量是 ( , , )n x y z? . 则 2 2 02 2 0x
13、 y zxz? ? ? ? ? ?.? 3分 一个法向量为 1(1, ,1)2n? .? 4分 所以1 1( 1) 1 2 02A N n? ? ? ? ? ? ?，即 1AN n? .? ? 5分 又 1AN? 平面 1AMD . ? 1 /AN 平面 1AMD . ? 6分 （ ）平面 ADD1的一个法向量为 (0,1,0)m? ，? 8分 由（ ）得 2 2 2112c o s ,3| | | | 11 1 ( )2nmnmnm? ? ? ? ? ?.? 11分 z y A B C D M N 1A 1B 1C 1D- 8 - 所以二面角 1M AD D?的余弦值是 13 .? 12分
14、20.解：（ ）由抛物线的几何性质知 21 142p p? ? ?. ? 3分 （ ）设直线的方程为 2y x t?. ? 4分 由222y x tyx? ?得 224 (4 2) 0x t x t? ? ? ?， 由题 22(4 2) 4 4 0tt? ? ? ?.解得 14t? .? 5分 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 2124txx?， 221 2 1 2( ) (2 )(2 )y y x x t?.? 6分 1 2 1 2, 0 , 0 .O A O B O A O B x x y y? ? ? ? ? ? ? ? 8分 2 04t t? ? ?
15、 ，解得 0t? 或 4,4? .? 9分 由题意直线 l 不过原点且 14t? 得 4t? 符合题意 . ? 11分 所以所求直线方程为 24yx?.? 12分 21. 解：（）由题 2 2 2 21 6 , 1 6 .C D A B B C B D? ? ? ? 2 2 2 .C D B C B D B C B D? ? ? ? 1分 又 PD 底面 .ABCD .PD BC? ? 2分 又 .PD BD D? ?BC 平面 .PBD 而 ?BC 平面 PBC ， 平面 ?PBC 平面 .PBD ? 4分 （）由（）所证， ?BC 平面 PBD ,所以 PBD 即为二面角 DBCP ? 的
16、平面角，即 PBD .4? 5分 而 32?BD ，所以 2 3.PD? ? 6 分 因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 DBDA? , 分别以 DA 、 DB 、 DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 ? 7分 则 )0,0,2(A ， )0,32,0(B ， )0,32,2(?C ， )32,0,0(P ,? 8分 P A B C D x z y - 9 - 所以， )32,0,2(?AP ， )0,0,2(?BC ， )32,32,0( ?BP ,? 9分 设平面 PBC 的法向量为 ),( cban? ，则 0,0,n BCn BP? ?即 2 0,2 3 2 3
17、 0.abc? ? ? 令 1?b 则 (0,1 ,1),n? ? 10 分 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .462432s in ?nAPnAP? ? 12 分 22.解： （） 设动点 ),( yxN ， ),( 00 yxA 因为 xAM? 轴于 M ，所以 )0,( 0xM ， 设圆 1C 的方程为 222 ryx ? .? 1分 由题意得 34153 ?r. ? 2分 所以圆 1C 的程为 922 ?yx . ? 3分 由题意 , 0(0, )MA y? ， 0( , )MN x x y? ， 3MA MN? .? 4分 所以 00,3.xxyy? 5分 将 ),( 00 yxA 代入圆 922 ?yx ,得动点 N 的轨迹方程为 221.93xy? 6 分（） 由 题 意 可 设 直 线 02: ? myxl ，
