1、 1 河北省涞水县 2016-2017学年高二数学 4 月月考试题 理 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、单项选择（每小题 5分） 1、 下列求导运算正确 的是 （ ） A211)1( xxx ?B 2ln1)(log2 xx ?C exx 3log3)3( ? D xxx sin2)cos( 2 ? 2、 过 点 ? ?0 1， 且 与曲线 11xy x? ?在 点 ? ?3 2， 处 的切线垂直的直线的方程为 （ ） A 2 1 0xy? ? ? B 2 1 0xy? ? ? C 2 2 0xy? ? ? D 2
2、 2 0xy? ? ? 3、设函数 )(xf? 是函数 )( Rxxf ? 的导函数， 1)0( ?f ， 且 3)()(3 ? xfxf ，则 )()(4 xfxf ?的解集是（ ） A ),34ln( ? B ),32ln( ? C ),23( ? D ),3( ?e 4、 定积分 3 20 9 x dx?的值为 （ ） A 9? B 3? C 94? D 92? 5、 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E 是棱 11AB 的中点，则 1AB与 1DE所成角的余弦值 （ ） A 510 B 1010 C 55 D 105 6、 若函数 bxxxaxf 221ln)(
3、2 ? 在 2,1 上单调递增，则 ba 4? 的最小值是（ ） A 3? B 4? C 5? D 415? 7、 设 函数 ? ? ? ?31xf x e x ax a? ? ? ?， 其中 1a? ， 若有且只有一个整数 0x 使得 ? ?0 0fx? ， 则 a 的 取2 值范围是（ ） A. 23 4e?，B. 23 4e?，C. 2 1e?，D. 2 1e?，8、 正四棱锥 S ABCD? 中， O 为顶点在底面上的射影， P 为侧棱 SD 的中点，且 SO OD? ，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 9、 设 ? ? ? ? ?
4、221 , 1 ,11 , 1 , 2xxfxxx? ? ? ? ?，则 ? ?21 f xdx?的值为（ ） A. 423? B. 32? C. 443? D. 34? 10、 在正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，若 1 4AB AA?，点 D 是 1AA 的中点，则点 A 到平面 1DBC 的距离是（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 11、 已知函数 2( ) lnf x a x bx?， ,ab R? .若不等式 ()f x x? 对所有的 ( ,0b? ， 2( , x ee? 都成立，则 a 的取值范围是（ ） A , )e? B 2 , )2e ? C. 2 2 , )
5、2e e D 2 , )e ? 12、 已知函数 ? ? 2 ,01,0x x a xfx xx? ? ? ? ? ?的图像上存在不同的两点 ,AB，使得曲线 ? ?y f x? 在这两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1,4?B ? ?2,? 3 C 12,4?D ? ? 1, 2 ,4? ?评卷人 得分 二、填空题（每小题 5分） 13、 设函数 2( ) ( )f x g x x?，曲线 ()y gx? 在点 (1, (1)g 处的切线方程为 21yx?，则曲线()y f x? 在点 (1, (1)f 处切线方程是 _ 14、 设函数 f（ x） = ，若 f（ f（
6、a） 2 ，则实数 a的取值范围是 15、 曲线 2yx? 与直线 2 3 0xy? ? ? 所围成的平面图形的面积为 . 16、 如图，在三棱锥 D ABC? 中， 已知 2AB? ， 3AC BD? ? ，设 AD a BC b CD c? ? ?， ，则 21cab?的最小值为 . 评卷人 得分 三、解答题（ 17题 10分，其它各小题 12分） 17、 求由抛物线 2 43y x x? ? ?与它在点 A（ 0， 3）和点 B(3， 0)的切线所围成的区域的面积。 18、 已知函数 ? ? 1 lnf x a xx? （ 0a? ， aR? ） （ 1）若 1a? ，求函数 ?fx的极
7、值和单调区间； 4 （ 2）若在区间 ? ?0,e 上至少存在一点 0x ，使得 ? ?0 0fx? 成立，求实数 a 的取值范围 19、 如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的底面边长为 2，侧棱长为 32，点 E 在侧棱 1AA 上，点 F在侧棱 1BB 上，且 2 2 , 2AE BF?. （ 1）求证： 1CF CE? ； （ 2）求二面角 1E CF C?的大小 . 20、 某市旅游部门开发一种旅游纪念品 ,每件产品的成本是 15 元 ,销售价是 20 元 ,月平均销售 a 件 ,通过改进工艺 ,产品 的成本不变 ,质量和技术含金量提高 ,市场分析的结果表明 ,如果产品的
8、销售价提高的百分率为 x ,那么月平均销售量减少的百分率为 2x .记改进工艺后 ,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元 ). （ 1） 写出 y 与 x 的函数关系式 ； （ 2） 改进工艺后 ,确定该纪念品的售价 ,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 . 21、 如图，在长方形 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，1 12AD AA AB?，点 E 是棱 AB 上一点，且 AEEB? . （ 1）证明： 11DE AD? ； （ 2）若二面角 1D EC D?的大小为 4? ，求 ? 的值 . 22 、 已知 ? ? ? ?, m , , 1p x q x a? ?
9、?， 二 次 函 数? ? 1f x p q?，关于 x 的不等式 ? ? ? ? 22 1 1f x m x m? ? ? ?的解集为 ? ? ? ?, 1,mm? ? ?，其中 m 为非零常数，设 ? ? ? ?1fxgx x? ? . （ 1）求 a 的值； （ 2）若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数， ? ? ? ? lnx g x x x? ? ? ?的图象相切，且切点的横坐标 0x5 满足 0013xx? ? ? ，求实数 m 的取值范围； （ 3）当实数 k 取何值时，函数 ? ? ? ? ? ?ln 1x g x k x? ? ? ?存在极值？并求出相应的极 值点 参考答案
10、一、单项选择 1、【答案】 B 【解析】 根据导数的运算公式可得，对于211( ) 1x xx? ? ?，所以不正确；对于 C中， (3 ) 3 ln3xx? ，所以不正确；对于 D 中， 2 2 2 2( c o s ) ( ) c o s ( c o s ) 2 c o s s i nx x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?，所以不正确，故选 B 考点：导数的运算 2、【答案】 B 【解析】 因22/ )1( 2)1( )1(1 ? ? xx xxy,故切线的斜率 21?k ,故所求直线的斜率 2?k ,方程为 )0(21 ? xy ,即 012 ? yx 故应选 B
11、考点：导数的几何意义及直线与直线的位置关系的综合运用 3、【答案】 B 【解析】 由 3)()(3 ? xfxf 可知，函数 )(xf 的 解 析 式 应 该 为 bkaxf x ?)( ，则xaakxf ? ln)( ，由此可得 3-ln33 xx aakbak ? ，可求得 31 eab ? ， ；又 1)0( ?f ，可求得 2?k ，则 12)( 3 ? xexf ， xexf 36)( ? ，解不等式 )()(4 xfxf ? ，即 xx ee 33 648 ? ，可解得 32ln?x ，所以本题的正确选项为 B. 考点：求函数的解析式，导函数的运用 . 思路点睛：因为原函数与导函数
12、满足关系式 3)()(3 ? xfxf ，即原函数与导函数具有相同的最高次，而具有相同最高次的函数，就目前所学知识来说，仅有三角函数与指数函数，他们的导函数与原函数具有相同的最高次，但是三角函数的导函数与原函数不是同名的，所以只能是指数函数的导函数，据此可假设函数的解析式，并代入已知条件中求参数，进而得到解析式，解不等式 4、【 答案】 C 【解析】 令 tx sin3? ,则 2,0,c o s3,c o s39 2 ? ttdxtx ,则 3 222009 9 c o sx d x td t? 201 c o s 2 9 1 99 s in 2 22 2 2 2 40t d t t? ?
13、? ? ? ? ? ,故应选 C 考点：定积分及运算 5、【答案】 B 【解析】 设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的 棱长为 2，以 DA 为 x轴，以 DC为 y轴，以 1DD 为 z轴，建立空间直角坐标系，则 1A （ 2， 0， 2）， B（ 2， 2， 0）， 1D （ 0， 0， 2）， E（ 2， 1， 2）， 1AB=（ 0， 2， -2）， 1DE=（ 2， 1， 0），设 1AB与 1DE所成角为， 则11 2 1 0c o s c o s , 1085A B D E? ? ? ?考点：异面直线及其所成的角 6、【答案】 B 【 解 析 】 函数 bxxx
14、axf 221ln)( 2 ? 在 2,1 上 单 调 递 增 , 所以2 2( ) 2 0a x b x af x x bxx ? ? ? ? ? ?在 2,1 上恒成立，即 2 20x bx a? ? ? 在 2,1 上恒成立，令2( ) 2h x x bx a? ? ?，其对称轴为 xb? ， 当 1b?即 1b? 时， 2 20x bx a? ? ? 在 2,1 上恒成立等价于 1(1) 2 1 0bh a b? ? ? ? ?，由线必规划知 识可知，此时 ? ?max43ab? ?； 当 2b? 即 2b? 时， 2 20x bx a? ? ? 在 2,1 上恒成立等价于 2( 2
15、) 4 4 0bh a b? ? ? ? ?，44ab? ? ，即 ? ?max44ab? ?； 当 12b? ? 即 21b? ? ? 时， 2 20x bx a? ? ? 在 2,1 上恒成立等价于221( ) 0bh b a b? ? ? ? ? ? ? ?，此时 ? ?max44ab? ?； 综上可知， ? ?max44ab? ?，故选 B. 考点： 1.导数与函数的单调性； 2.线性规划； 3.函数与不等式 . 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、线性规划、函数与不等式等知识，旨在考查学生综合运用数学知识的能力、运算能力以及逻辑思维能力，属难题；利用导数求单调性问题时应注意：(
16、) 0fx? ? （或 ( ) 0fx? ? ） 是函数单调递增（递减）的充分条件，而不是必要条件，当函数在某个区间上单调递增（或递减）时， ( ) 0fx? ? （或 ( ) 0fx? ? ） . 7、【答案】 D 【解析】 设 ? ? ? ?31xg x e x?， ? ?h x ax a?， 则 ? ? ? ? 3 2xg x e x?， 2 3x ? ? ?， ? ?0gx? ，?gx单调递减 ； 2 3x ? ? ?， ， ? ?0gx? ， ?gx单调 递增，所以 23x? 处 取得最小值 23 3e?，所以 ? ? ? ?0 1 0g a h? ? ? ? ?， ? ? ? ?1
17、 1 2 0g h e? ? ?， 直线 ? ?h x ax a?恒 过 定点 ? ?1 0， 且 斜率为 a ， 所以 ? ? ? ? 11 1 4 2 0eg h a? ? ? ? ? ? ?， 2ea?而 1a? ， a 的 取值范围 12e?，考点： 1.导数与函数的单调性、极值； 2.函数与方程、不等式 . 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于 0 （或小于 0 ）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构 造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可 . 8、
