1、贵州铜仁伟才学校 2017 2018 学年第二学期 3 月月考 高二数学（理科）试题 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1已知质点的运动方程为 2s t t?，则其在第 2 秒的瞬时速度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2下面几种推理是合情推理的是（ ） 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的 内角和是 0180 归纳出所有三角形的内角和是0180 ； 一班所有同学的椅子都坏了，甲是 1 班学生，所以甲的椅子坏了； 三角形内角和是 0180 ，四边形内角和是 0360 ，五边形内角和是 0540 ，由此得出凸
2、n 边形内角和是 ? ? 02 180n? A. B. C. D. 3函数 ? ?y f x? 在定义域 3,32?内可导，其图像如下图所示记 ? ?y f x? 的导函数为 ? ?y f x? ? ，则不等式 0)( ?xf 的解集为 ( ) A. ? ?1 ,1 2,33?B. 1 4 81, ,2 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C. ? ?31, 1,222?D. 3 1 1 4 4, , , 32 3 2 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4由直线 3x ? ， 3x ? ， 0y 与曲线 y cosx 所围成封闭图形的面积为
3、 ( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. 3 5已知函数 ? ? 32f x x ax bx c? ? ? ?，下列结论中错误的是 （ ） A ? ?00,0x R f x? ? ? B函数 ? ?y f x? 的图象是中心对称图形 C若 0x 是 ?fx的极小值点，则 ?fx在区间 ? ?0,x? 上单调递减 D若 0x 是 ?fx的极值点，则 ? ?00fx? 6已知函数 ?fx的导函数为 ?fx，且满足 ? ? ? ?2 1 lnf x xf x?，则 ? ?1f 为（ ） A. e? B. 1 C. 1 D. e 7 若 10?(2x k)dx 2 k，则实数 k 的值为 (
4、) A.12 B 12 C 1 D 0 8 “ 干支纪年法 ” 是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为 “ 十天干 ” ，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做 “ 十二地支 ” “ 天干 ” 以 “ 甲 ” 字开始， “ 地支 ” 以 “ 子 ” 字开始，两 者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅， ? ，癸酉，甲戌，乙亥，丙子， ? ，癸未，甲申、乙酉、丙戌， ? ，癸巳， ? ，共得到 60 个组成，周而复始，循环记录， 2014 年是 “ 干支纪年法 ” 中的甲午年，那么 2020 年是 “ 干支纪年法
5、” 中的（ ） A. 乙亥年 B. 戊戌年 C. 庚子年 D. 辛丑年 9对于 R 上可导的任意函数 ?fx,若满足 ? ? ? ?10x f x? ? ?,则必有 ( ) A. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? B. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? C. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? D. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? 10设aR?，若函数xy e ax?，xR?，有大于零的极值点，则（ ） A、1a e?B、1a?C、1a?D、?11已知函数 有零点，则 a 的范围是（ ） A. B. C. D. 12设点 P 在曲
6、线 xey? 上，点 Q 在曲线 xy ln? 上，则 PQ 最小值为（ ） A. 2 B. ? ?2 1 ln2? C. 1 D. ? ?2 1 ln2? 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13三段论推理 “ 矩形是平行四边形； 正方形是矩形； 正方形是平行四边形 ” 中的小前提是 (填写序号 ) 14 质点运动规律 s 2t2 1，则从 t 1 到 t 1 d 时间段内运动距离对时间的变化率为 _ 15已知如下等式： 2 4 6 ;8 1 0 1 2 1 4 1 6 ;1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8 3 0 ;? ? ? ? ? ? ? ? ?
7、以此类推，则 2018 出现在第 _个等式中 . 16设函数 ? ?y f x? 图象上不同两点 ? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y 处的切线的斜率分别是 Ak ， Bk ，规定 ? ?, ABkkAB AB? ? （ AB 为线段 AB 的长度）叫做曲线 ? ?y f x? 在点 A 与点 B之间的 “ 弯曲度 ” ，给出以下命题： 函数 3yx? 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 1? ，则 ? ?,0AB? ? ； 存在这样的函数，图象上任意两点之间的 “ 弯曲度 ” 为常数； 设点 A ， B 是抛物线 2 1yx?上不同的两点，则 2),( ?BA? ；
8、设曲线 xye? （ e 是自然对数的底数）上不同两点 ? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y ，则 ? ?,1AB? ? 其中真命题的序号为 _（将所有真命题的序号都填上） 三、解答题：（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，其他 5 题，每题 12 分，共 70 分） 17某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数 （ 1） 22s in 1 3 c o s 1 7 s in 1 3 c o s 1 7? ； （ 2） 22s in 1 5 c o s 1 5 s in 1 5 c o s 1 5?； （ 3） 22s in 1 8 c o s 1 2
9、s in 1 8 c o s 1 2?； （ 4） 22s in ( 1 8 ) c o s 4 8 s in ( 1 8 ) c o s 4 8? ? ? ?； （ 5） 22s in ( 2 5 ) c o s 5 5 s in ( 2 5 ) c o s 5 5? ? ? ? （ ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （ ）根据（ ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 18如图是一块地皮 OAB ，其中 OA ， AB 是直线段，曲线段 OB 是抛物线的一部分，且点 O 是该抛物线的顶点， OA 所在的直线是该抛物线的对称轴经测量， 2OA? km， 2A
10、B? km， 4OAB?现要从这块地皮中划一个矩形 CDEF 来建造草坪，其中点 C 在曲线段 OB 上，点 D ， E 在直线段 OA 上，点 F 在直线段 AB 上，设 CD a? km，矩形草坪CDEF 的面积为 ?fakm2 （ 1）求 ?fa，并写出定义域； （ 2）当 a 为多少时，矩形草坪 CDEF 的面积最大？ 19已知函数 .ln)( xaxxf ? ()aR? （ 1）求函数 )(xf 的单调增区间； （ 2）若 2a? ，求函数 ()fx在 1,e上的最小值 . 20已知函数 f（ x） 3xa 2 2x ln x （ 1）若 a 1，求函数 f（ x）的极值； （ 2）
11、若函数 f（ x）在区间 1， 2上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围 21设 ? ?y f x? 是 ? ? xg x e? 在点 ? ?0,1 处的切线 （ 1）求证： ? ? ? ?f x g x? ； （ 2）设 ? ? ? ? ? ?lnh x g x f x a x? ? ?，其中 aR? 若 ? ? 1hx? 对 ? ?0,x? ? 恒成立，求 a的取值范围 22已知函数 1ln)( ? kxxxf （ 1）若 0)( ?xf 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （ 2）证明： )2,(4 )2)(1(1ln15 4ln8 3ln3 2ln2 ? ? nNnnnn n 贵州
12、铜仁伟才学校 2017 2018 学年第二学期 3 月月考 高二数学（理科）答案 CAADC BACBC DA 13 14 4 2d 15 31 16 【解析】 式由 得 ，所以 ， ，从而，正确； 例如 ， ，即曲线上任意一点 ，都有 ，从而 为常数，正确； ， ， ，正确； ， ， ，正确， 故答案为 17 （） （） 试题解析：（）由（ 2）得 （ 2）三角恒为等式： ； 证明： . 18 （ 1） ，定 义域为 ； （ 2）当 时，矩形草坪 的面积最大 （ 1） 以 O 为原点， OA 边所在直线为 轴，建立 如图所示的平面直角坐标系， 过点 作 于点 ， 在直角 中， ， ， 所以
13、，又因为 ， 所以 ，则 ， 设抛物线 OCB 的标准方程为 ， 代入点 的坐标 ，得 ， 所以抛物线的方程为 因为 ，所以 ，则 ， 所以 ，定义域为 （ 2） ，令 ，得 当 时， ， 在 上单调增； 当 时， ， 在 上单调减 所以当 时， 取得极大值，也是最大值 19（ 1） 的单调递增区间为 ， 的单调递增区间为 ； （ 2） . （ 1）由题意， 的定义域为 ，且 1 分 的单调递增区间为 4 分 当 时，令 ，得 ， 的单调递增区间为 7分 （ 2）由（ 1）可知， . 考点： 1、三角恒等变换； 2、三角函数的基本运算， 3、利用定积分求曲边图形的面积 . 20 （）见解析 （
14、） 的取值范围是 . （） 时， ，定义域为 . ? 1 分 ,? 3 分 当 ， ，函数 单调递增； 当 ， ， 函数 单调递减 ,? ? 5 分 有极大值 ，无极小值 .? 6 分 （） ,? 7 分 函数 在区间 上为单调递增函数， 时， 恒成立即 在 恒成立，? 9 分 令 ，因函数 在 上单调递增，所以 ，即 ,? 11 分 解得 ，即 的取值范围是 . 21 （） ；（）见解析；（） . （）设 ，则 ，所以 所以 （）令 满足 ，且 当 时， ，故 单调递减； 当 时， ，故 单调递增 所以， ） 所以 （） 的定义域是 ，且 当 时，由（）得 ， 所以 所以 在区间 上单调递增， 所以 恒成立，符合题意 当 时，由 ， 且 的导数 ， 所以 在区间 上单调递增 因为 ， ， 于是存在 ，使得 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ，此时 不会恒成立，不符合题意 综上， 的取值范围是 22（ 1） ；（ 2）见解析 【解析】 试题解析：（ 1）解：由 有： ， 即： ，令 ， ，解得 ， 在 (0,1)上， ；在 上， 所以 在 时，取得最大值 ，即 （ 2）证明：由（ 1）知，当 时 ， ，当且仅当 时，取等号 令 ，有 ，即 ， ， 令 ，有 ， +有：
