1、 1 【中考攻略】【中考攻略】专题专题 3 3：一元二次方程根的判别式应用探讨：一元二次方程根的判别式应用探讨 一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程，其一般形式为 ax 2+bx+c=0 （a0） 。在系数 a0 的情况下，=b 24ac0 时，方程有 2 个不相等的实数根；=b24ac =0 时， 方程有两个相等的实数根；=b 24ac 0；若方程有两个相等的实数根，则 =b24ac =0；若无实数根，则 =b24ac 0。 因此，=b 24ac 称为一元二次方程根的判别式。 根的判别式 b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题
2、过程中要注意 隐含条件 a0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出 a、b、c 的值。 一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。我 们将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括不解一元二次方程，判断（证明）根的情 况、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合 应用包括判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、判断双曲线与直线的公共点个数、判断抛物 线与直线（含 x 轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一一. .不解一元二次方程，判断不解一元二次方程，判
3、断（证明证明）根的情况根的情况： 典型例题：典型例题： 例 1：（广西河池（广西河池 3 分）分）一元二次方程 2 x2x20+=的根的情况是【 】 A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D无实数根 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】【分析】 2 x2x20+=中，a=1，b=2，c=2， 22 b4ac=24 1 2=40）有两个不相等的实数根 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可： A、整理得： 2 x +2x+1
4、=0，0，原方程有 2 个相等的实数根，选项错误； B、整理得： 2 xx+1=0，0，原方程没有实数根，选项错误； C、整理得： 2 x2x+1=0，0，原方程有 2 个相等的实数根，选项错误； D、整理得： 2 xax+1=0，当a2时， 2 =a40，原方程有 2 个不相等的实数根，选项正确 故选 D。 练习练习题：题： 1（广东珠海（广东珠海 6 分）分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 （1）当 m=3 时，判断方程的根的情况； （2）当 m=3 时，求方程的根。 2. （福建福建福州福州 4 分）分）一元二次方程x（x2）=0 根的情况是 【 】 A、有两个不相等的
5、实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 3. （福建福建福州福州 4 分）分）一元二次方程x（x2）=0 根的情况是 【 】 A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 4. （内蒙古内蒙古包头包头 3 分）分）一元二次方程 x2+x+ 1 4 =0 的根的情况是【 】 A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定 二二. . 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围： 典型例题：典型例题： 例 1：（湖北襄阳（湖北襄阳 3 分）分）如果关于 x 的一元二
6、次方程 2 kx2k1x10 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是【 】 Ak 1 2 Bk 1 2 且 k0 C 1 2 k 1 2 D 1 2 k 1 2 且 k0 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。 3 【分析】【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k0；根据二次根式被开方数非负数的条 件得：2k+10；根据方程有两个不相等的实数根，得=2k+14k0。三者联立，解得 1 2 k 1 2 且 k0。 故选 D。 例 3：（湖南（湖南常德常德 3 分）分）若一元二次方程 2 x2xm0有实数解，则 m
7、的取值范围是【 】 A. m1 B. m1 C. m4 D.m 1 2 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解 集即可得到 m 的取值范围： 一元二次方程 2 x2xm0有实数解， =b24ac=224m0，解得：m1。 m 的取值范围是 m1。故选 B。 例 4： （江西南昌（江西南昌 3 分）分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是【 】 A 1 B 1 C D 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根
8、的判别式。 【分析】【分析】关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，=22+4a=0， 解得 a=1。故选 B。 例 5：（上海市上海市 4 分）分）如果关于 x 的一元二次方程 x26x+c=0（c 是常数）没有实根，那么 c 的取值范围 是 。 【答案】【答案】c9。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】【分析】关于 x 的一元二次方程 x26x+c=0（c 是常数）没有实根， =（6）24c0，即 364c0，c9。 例 6：（湖北孝感（湖北孝感 12 分）分）已知关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 (1)求证：无论 m 取何值，原方程总
9、有两个不相等的实数根； (2)若 x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|22，求 m 的值和此时方程的两根。 【答案】【答案】解：（1）证明：由关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 得 =（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4， 4 无论 m 取何值，（m+1）24 恒大于 0， 原方程总有两个不相等的实数根。 （2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1。 |x1x2|22， （x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。 （m+3）24（m+1）=8，即 m22m3=0。 解得：m1=3，m2=1。 当 m=3 时，原方程化为：x22=0，
10、解得：x1=2 ，x2=2。 当 m=1 时，原方程化为：x24x2=0，解得：x1=2+2 ，x2=22。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】【分析】 （1）根据关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 的根的判别式=b24ac 的符号来判定 该方程的根的情况。 （2）根据根与系数的关系求得 x1x2和 x1x2，由已知条件|x1x2|22平方后可以得到关于 x1 x2和x1x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并 解方程。 例 7：（山东潍坊（山东潍坊 3 分）分）关于x的方程 2 x2kxk10 的根的情况
11、描述正确的是【 】. Ak为任何实数，方程都没有实数根 Bk为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 Ck为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实 数根三种 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案： 一元二次方程根的判别式为=（2k）24 （k1）=4k24k+4=（2k1）2+30， 不论 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选 B。 例 8：（四川（四川成都成都 4 分）分）有七张正面分别标有数字3，2
12、，1，0，l，2，3 的卡片，它们除数字不同外 其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 的一元 二次方程 2 x2 a 1 xa a30有两个不相等的实数根， 且以x为自变量的二次函数 22 yxa1 xa2 的 5 图象不经过点（1，0）的概率是 。 【答案】【答案】 3 7 。 【考点】【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式， 概率公式。 【分析】【分析】 2 x2 a1 xa a30有两个不相等的实数根，0。 2（a1）24a（a3）0，a1。 将（1，0）代入 22 yxa1 xa2
13、得，a2+a2=0，解得 a1=1，a2=2。 可见，符合要求的点为 0，2，3。 P（符合要求）= 3 7 。 练习练习题：题： 1（四川广安（四川广安 3 分）分）已知关于 x 的一元二次方程（al）x22x+l=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范 围是【 】 Aa2 Ba2 Ca2 且 al Da2 2. （山东日照（山东日照 4 分）分）已知关于 x 的一元二次方程(k2)2x2(2k1)x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是【 】 (A) k 3 4 且 k2 (B)k 3 4 且 k2 (C) k 4 3 且 k2 (D)k 4 3 且 k2 3. （四川（四
14、川泸州泸州 2 分）分）若关于 x 的一元二次方程 x2 4x + 2k = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是【 】 A、k2 B、k2 C、k-2 D、k-2 4. （山东东营（山东东营 3 分）分）方程 2 1 k 1 x1 kx+=0 4 有两个实数根，则 k 的取值范围是【 】 A k1 B k1 C k1 D ka+c， 则 一 元 二 次 方 程 ax 2bxc=0 有两个不相等的实数根； 若 b=2a3c，则一元二次方程 ax 2bxc=0 有两个不相等的实数根； 若 b 24ac0，则二次函数 y=ax2bxc 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3。 其中正确的【
15、】 18 A、只有 B、只有 C、只有 D、只有 6. （北京北京市市 7 分）分）已知关于x的一元二次方程 2 2x4xk10 有实数根，k为正整数. （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数 2 y2x4xk 1的图象向下平移 8 个 单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保 持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 1 yxb bk 2 与此图象有两个公共 点时，b的取值范围。 一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于
16、近年中考涉 及不多，本文不多详谈。例如， 判断二次判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。三项式能否在实数范围内因式分解。 例 1：当 m 为何值时，关于 x 的二次三项式 mx 22（m2）x（m5）能在实数范围内因式分解。 例 2：如果关于 x 二次三项式 2 x6xm在实数范围内不能分解因式，那么 m 的取值范围是 。 与平面几何相联系的问题。与平面几何相联系的问题。 例 1：已知：关于 x 的方程 2 4 ac x4bxac0?有两个相等的实数根，试判断以 a，b，c 为三边的 三角形的形状。 例 2：已知 a、b、c 是三角形的三条边长，且关于 x 的方程 2 cb x2 ba xab0有两个相等 的实数根，试判断三角形的形状。 例 3：已知 a，b，c 是ABC 的三边， 22 x2 ab xcab0是关于 x 的一元二次方程， 19 （1）若ABC 是直角三角形，且C=90 ，试判断方程实根的个数； （2）若方程有两个相等的实数根，试求C 的度数。
