1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 10:几何三大变换之平移探讨:几何三大变换之平移探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、 面)整体按照某个直线方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做图形的平移变换,简称平移。平移由移 动的方向和距离决定。经过平移,平移前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;平移前后图形的 对应点所连的线段平行且相等;平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等。 在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识,是中考数学的必考内容。 结合全国各地中考的实例,我们从下面七方面探讨平移变换: (1)构造平移图形;
2、(2)点的平移; (3) 直线(线段)的平移; (4)曲线的平移; (5)三角形的平移; (6)四边形的平移; (7)圆的平移。 一、构造平移图形:一、构造平移图形: 典型例题:典型例题: 例例 1. (黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西(黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 6 分)分)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形,如图, 在一个 9 X 9 的正方形网格中有一个格点ABC设网格中小正方形的边长为 l 个单位长度 (1)在网格中画出ABC 向上平移 4 个单位后得到的AlBlCl (2)在网格中画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 900后得到的AB2C2 (3)在(1)中ABC 向上
3、平移过程中,求边 AC 所扫过区域的面积 【答案】【答案】解: (1) 、 (2)如图所示: (3)ABC 向上平移 4 个单位后得到的A1B1C1,ABC 向上平移过程中,边 AC 所扫 过区域是以 4 为边长,以 2 为高的平行四边形, 边 AC 所扫过区域的面积=4 2=8。 【考点】【考点】作图(旋转和平移变换) ,平行四边形的判定和性质。 2 【分析】【分析】 (1)根据图形平移的性质画出平移后的A1B1C1即可。 (2)根据图形旋转的性质画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 90 后得到的AB2C2。 (3)根据ABC 向上平移 4 个单位后得到的A1B1C1,ABC 向上平移过程中,
4、求边 AC 所扫 过区域是以 4 为边长,以 2 为高的平行四边形,由平行四边形的面积公式即可得出结论。 例例 2.(黑龙江龙东地区(黑龙江龙东地区 6 分)分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1,ABC 的三个顶点都在格 点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题: (1)将ABC 向右平移 3 个单位长度再向下平移 2 个单位长度,画出两次平移后的A1B1C1; (2)写出 A1、C1的坐标; (3)将A1B1C1绕 C1逆时针旋转 90 ,画出旋转后的A2B2C1,求线段 B1C1旋转过程中扫过的面积(结 果保留)。 【答案】【答案】解: (1)两次平移后的A1B1C1如图所示
5、: (2)由A1B1C1在坐标系中的位置可知,A1(0,2) ;C1(2,0) 。 (3)旋转后的图形如图所示: 3 由勾股定理可知, 22 11 B C1417, 2 9017 17 S 3604 扇形 。 线段 B1C1旋转过程中扫过的面积为17 4 。 【考点】【考点】作图(旋转和平移变换) ,扇形面积的计算。 【分析】【分析】 (1)根据图形平移的性质画出两次平移后的A1B1C1即可。 (2)根据A1B1C1在坐标系中的位置写出 A1、C1的坐标; (3)根据图形旋转的性质画出旋转后的A2B2C1,再根据勾股定理求出 B1C1的长,由扇形的面 积公式即可计算出线段 B1C1旋转过程中扫
6、过的面积。 例例 3.(贵州六盘水(贵州六盘水 10 分)分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形RtABC 的顶点 均在格点上,建立平面直角坐标系后,点 A 的坐标为(4,1) ,点 B 的坐标为(1,1) (1)先将 RtABC 向右平移 5 个单位,再向下平移 1 个单位后得到 RtA1B1C1试在图中画出图形 RtA1B1C1,并写出 A1的坐标; (2)将 RtA1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 后得到 RtA2B2C2,试在图中画出图形 RtA2B2C2并计算 RtA1B1C1在上述旋转过程中 C1所经过的路程 【答案】【答案】解: (1)如图所示,A1B1
7、C1即为所求作的三角形。点 A1的坐标为(1,0) 。 (2)如图所示,A2B2C2即为所求作的三角形。 4 根据勾股定理,A1C1= 22 2 +3 = 13, 旋转过程中 C1所经过的路程为 901313 = 1802 。 【考点】【考点】网格问题,作图(旋转和平移变换) ,勾股定理,弧长的计算。 【分析】【分析】 (1)根据网格结构找出点 ABC 平移后的对应点 A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可,再 根据平面直角坐标系写出点 A1的坐标即可。 (2)根据网格结构找出点 A1、B1、C1绕点 A1顺时针旋转 90 后的对应点 A2、B2、C2的位置, 然后顺次连接即可,再根据勾股定
8、理求出 A1C1的长度,然后根据弧长公式列式计算即可得解。 例例 4.(安徽省(安徽省 8 分)分)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点ABC(顶点是 网格线的交点)和点 A1. (1)画出一个格点A1B1C1,并使它与ABC 全等且 A 与 A1是对应点; (2)画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D,并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋转而得到的. 【答案】【答案】解: (1)答案不唯一,如图,平移即可: 5 (2)作图如上, AB=10,AD=10,BD=2 5,AB2+AD2=BD2。 ABD 是直角三角形。 AD 可以看作由 AB 绕
9、A 点逆时针旋转 90 得到的。 【考点】【考点】作图(平移变换、轴对称变换) ,全等图形,旋转和轴对称的性质,勾股定理和逆定理。 【分析】【分析】 (1)利用ABC 三边长度,画出以 A1为顶点的三角形三边长度即可,利用图象平移,可得出 A1B1C1。 (2)利用点 B 关于直线 AC 的对称点 D,得出 D 点坐标,根据勾股定理和逆定理可得出 AD 与 AB 的位置关系。 例例 5.(海南省(海南省 8 分)分)如图,在正方形网络中,ABC 的三个顶点都在格点上,点 A、B、C 的坐标分别为 (2,4) 、 (2,0) 、 (4,1) ,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题: (1)画出A
10、BC 关于原点 O 对称的A1B1C1. (2)平移ABC,使点 A 移动到点 A2(0,2) ,画出平移后的A2B2C2并写出点 B2、C2的坐标. (3) 在ABC、 A1B1C1、 A2B2C2中, A2B2C2与 成中心对称, 其对称中心的坐标为 . 6 【答案】【答案】解: (1)ABC 关于原点 O 对称的A1B1C1如图所示: (2)平移后的A2B2C2如图所示: 点 B2、C2的坐标分别为(0,2) , (2,1) 。 (3)A1B1C1; (1,1) 。 【考点】【考点】网格问题,作图(中心对称变换和平移变换) ,中心对称和平移的性 质。 【分析】【分析】 (1)根据中心对称
11、的性质,作出 A、B、C 三点关于原点的对称点 A1、B1、C1,连接即可。 (2)根据平移的性质,点 A(2,4)A2(0,2) ,横坐标加 2,纵坐标减 2,所以将 B(2, 0) 、C(4,1)横坐标加 2,纵坐标减 2 得到 B2(0,2) 、C2(2,1) ,连接即可。 (3)如图所示。 例例 6.(江苏泰州(江苏泰州 10 分)分)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC 的顶点 A、B、 C 在小正方形的顶点上,将ABC 向下平移 4 个单位、再向右平移 3 个单位得到A1B1C1,然后将 A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 得到A1B2C2 (1)在网格
12、中画出A1B1C1和A1B2C2; 7 (2)计算线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算) 【答案】【答案】解: (1)如图所示: (2)图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格, 22 AC 222 2。 将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是以 4 为 底,以 2 为高的平行四边形的面积:4 2=8。 再向右平移 3 个单位 AC 所扫过的面积是以 3 为底,以 2 为高的平行四边形的面积:4 2=6。 当A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 到A1B2C2时,A1C1所扫过的面积是以 A1为圆心以 以2 2为半径, 圆心角为 90
13、 的扇形的面积, 重叠部分是以 A1为圆心, 以2 2为半径, 圆心角为 45 的扇形的面积,去掉重叠部分,面积为: 2 452 2 = 360 线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积=86=14+。 【考点】【考点】作图(平移和旋转变换),平移和旋转的性质,网格问题,勾股定理,平行四边形面积和扇形面 积的计算。 【分析】【分析】(1)根据图形平移及旋转的性质画出A1B1C1及A1B2C2即可。 (2)画出图形,根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例例 7.(甘肃白银甘肃白银 3 分)分)将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】 8 A B C D 【答案】【答案
14、】A。 【考点】【考点】生活中的平移现象。 【分析】【分析】根据平移的性质,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知,A 选项的图案可以通过平移得到。故选 A。 练习题:练习题: 1. (江苏常州(江苏常州 6 分)分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A(1,0) 、B(3, 0) 、C(2,1) 、D(4,3) 、E(6,5) 、F(4,7) 。按下列要求画图:以点 O 为位似中心,将ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2:1 放大得ABC 的位似图形A1B1C1,并解决下列问题: (1)顶点 A1的坐标为 ,B1的坐标为 ,C1的坐
15、标为 ; (2)请你利用旋转、平移两种变换,使A1B1C1通过变换后得到A2B2C2,且A2B2C2恰与DEF 拼接 成一个平行四边形(非正方形) 。写出符合要求的变换过程。 3.(福建泉州(福建泉州 9 分)分)如图,在方格纸中(小正方形的边长为 1) ,反比例函数 k y x 与直线的交点 A、B 均 在格点上,根据所给的直角坐标系(点 O 是坐标原点) ,解答下列问题: (1)分别写 出点 A、B 的坐标后,把直线 AB 向右平移平移 5 个单位,再在向上平移 5 个单位,画 出平移 后的直线 AB. (2)若点 C 在函数 k y x 的图像上,ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形,
16、请写出点 C 的坐标. 9 4.(湖北武汉湖北武汉 7 分)分)如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 的坐标分别为(1,3)、(4,1),先 将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段 A1B1,点 A 的对应点为 A1,点 B1的坐标为(0,2),在将线段 A1B1 绕远点 O 顺时针旋转 90 得到线段 A2B2,点 A1的对应点为点 A2 (1)画出线段 A1B1、A2B2; (2)直接写出在这两次变换过程中,点 A 经过 A1到达 A2的路径长 5.(湖南张家界(湖南张家界 6 分)分)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下列操 作:先将格点ABC 向右平移
17、4 个单位得到A1B1C1,再将A1B1C1绕点 C1点旋转 180 得到A2B2C2 6.(四川(四川凉山凉山 6 分)分)如图,梯形 ABCD 是直角梯形 (1)直接写出点 A、B、C、D 的坐标; (2)画出直角梯形 ABCD 关于 y 轴的对称图形,使它与梯形 ABCD 构成一个等腰梯形 (3)将(2)中的等腰梯形向上平移四个单位长度,画出平移后的图形 (不要求写作法) 10 7.(辽宁丹东辽宁丹东 8 分)分)已知:ABC 在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为 A(0,3) ,B(3,4) ,C(2,2). (正方形网格中, 每个小正方形的边长是 1 个单位长度) (1)画出ABC 向
18、下平移 4 个单位得到的A1B1C1,并直接写出 C1点的坐标; (2)以点 B 为位似中心,在网格中 画出A2BC2,使A2BC2与ABC 位似,且位似比为 21,并直 接写出 C2点的坐标及A2BC2的面积 二、点的平移:二、点的平移: 典型例题:典型例题: 例例 1. (广东(广东肇庆肇庆 3 分)分)点 M(2,1)向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是【 】 A (2,0) B (2,1) C (2,2) D (2,3) 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】坐标平移。 【分析】【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐 标,下减上
19、加。因此, 点 M(2,-1)向上平移 2 个单位长度,12=1。 平移后的点坐标是(2,1) 。故选 B。 11 例例 2. (辽宁鞍山(辽宁鞍山 3 分)分)在平面直角坐标系中,将点 P(1,4)向右平移 2 个单位长度后,再向下平移 3 个单位长度,得到点 P1,则点 P1的坐标为 【答案】【答案】 (1,1) 。 【考点】【考点】坐标平移。 【分析】【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐 标,下减上加。因此, 点 P(1,4)向右平移 2 个单位长度,向下平移 3 个单位长度,1+2=1,43=1。 点 P1的坐标为(1,1) 。
20、例例 2.(江苏泰州(江苏泰州 3 分)分)如图,数轴上的点 P 表示的数是1,将点 P 向右移动 3 个单位长度得到点 P, 则点 P表示的数是 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】数轴和数,平移的性质。 【分析】【分析】如图,根据平移的性质,点 P表示的数是 2。 例例 3.(安徽省(安徽省 4 分)分)如图,A 点在半径为 2 的O 上,过线段 OA 上的一点 P 作直线,与O 过 A 点的 切线交于点 B,且APB=60 ,设 OP= x,则PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像大致是【 】 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】动点问题的函数图象,锐角三角函数定义,特殊角的三角函
21、数值。 【分析】【分析】利用 AB 与O 相切,BAP 是直角三角形,把直角三角形的直角边表示出来,从而用 x 表示出 三角形的面积,根据函数解析式确定函数的图象: AB 与O 相切,BAP=90 , OP=x,AP=2x,BPA=60 ,AB=3(2x), APB 的面积 2 3 y(2x) 2 , (0 x2) 。 PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像是经过(2,0)的抛物线在 0 x2 的部分。故选 D。 12 例例 4. (浙江嘉兴、 舟山(浙江嘉兴、 舟山 4 分)分) 如图, 正方形 ABCD 的边长为 a, 动点 P 从点 A 出发, 沿折线 ABDCA 的路径运动,回到点
22、A 时运动停止设点 P 运动的路程长为长为 x,AP 长为 y,则 y 关于 x 的函数图象大 致是【 】 ABC D 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】动点问题的函数图象。 【分析】【分析】 因为动点 P 按沿折线 ABDCA 的路径运动, 因此, y 关于 x 的函数图象分为四部分: AB, BD,DC,CA。 当动点 P 在 AB 上时,函数 y 随 x 的增大而增大,且 y=x,四个图象均正确。 当动点 P 在 BD 上时,函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小,且在中点两侧是对称的,故选项 B 错误。 当动点 P 在 DC 上时,函数 y 随 x 的增大而增大,故选项 A,
23、C 错误。 当动点 P 在 CA 上时,函数 y 随 x 的增大而减小。故选项 D 正确。故选 D。 例例 5.(浙江(浙江温州温州 4 分)分)如图,在ABC 中,C=90 ,M 是 AB 的中点,动点 P 从点 A 出发, 沿 AC 方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点 C 出发, 沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P, Q 两点同时出发, 并同时到达终点.连结 MP,MQ,PQ.在整个运动过程中,MPQ 的面积大小变化情况是【 】 A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】动点问题的函数图象。 【分析】【分析】如图所示,
24、连接 CM,M 是 AB 的中点, 13 SACM=SBCM= 1 2 SABC, 开始时,SMPQ=SACM= 1 2 SABC; 由于 P, Q 两点同时出发, 并同时到达终点, 从而点 P 到达 AC 的中点时, 点 Q 也到达 BC 的中点, 此时,SMPQ= 1 4 SABC; 结束时,SMPQ=SBCM= 1 2 SABC。 MPQ 的面积大小变化情况是:先减小后增大。故选 C。 例例 6.(湖北湖北黄石黄石 3 分)分)如图所示,已知 A 1 1 ( ,y ) 2 ,B 2 (2,y )为反比例函数 1 y x 图像上的两点,动 点 P(x,0)在 x 正半轴上运动,当线段 AP
25、 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是【 】 A. 1 ( ,0) 2 B. (1,0) C. 3 ( ,0) 2 D. 5 ( ,0) 2 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形三边关系。 【分析】【分析】把 A 1 1 ( ,y ) 2 ,B 2 (2,y )分别代入反比例函数 1 y x 得:y1=2,y2= 1 2 , A( 1 2 ,2) ,B(2, 1 2 ) 。 在ABP 中,由三角形的三边关系定理得:|APBP|AB, 延长 AB 交 x 轴于 P,当 P 在 P点时,PAPB=AB, 即此时线段 AP
26、与线段 BP 之差达到最大。 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,把 A、B 的坐标代入得: 1 2=k+b 2 1 =2k+b 2 ,解得: k=1 5 b= 2 。直线 AB 的解析式是 5 yx 2 。 当 y=0 时,x= 5 2 ,即 P( 5 2 ,0) 。故选 D。 14 例例 7.(辽宁大连辽宁大连 3 分)分)如图,一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点,其顶点 P 在折线 CDE 上移动, 若点 C、D、E 的坐标分别为(1,4) 、 (3,4) 、 (3,1) ,点 B 的横坐标的最小值为 1,则点 A 的横坐标 的最大值为【 】 A.1 B.2 C.3 D.4 【
27、答案】【答案】B。 【考点】【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质。 【分析】【分析】抛物线的点 P 在折线 CDE 上移动,且点 B 的横坐标的最小值为 1, 观察可知,当点 B 的横坐标的最小时,点 P 与点 C 重合。 C(1,4) ,设当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为2y=a x+1+4。 B(1,0) ,20=a 1+1+4,解得 a=1。 当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为2y=x+1+4。 观察可知,当点 A 的横坐标的最大时,点 P 与点 E 重合,E(3,1) , 当点 A 的横坐标的最大时抛物线的解析式为
28、2y=x3+1。 令y=0,即2x3+1=0,解得x=2或x=4。 点 A 在点 B 的左侧,此时点 A 横坐标为 2。故选 B。 点 A 的横坐标的最大值为 2。 例例 8(北京(北京市市 5 分)分)操作与探究:操作与探究: (1)对数轴上的点 P 进行如下操作:先把点 P 表示的数乘以 1 3 ,再把所得数对应的点向右平移 1 个 单位,得到点 P 的对应点 P. 点 A,B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB,其中点 A,B 的对 应点分别为 A,B如图 1,若点 A 表示的数是3,则点 A表示的数是 ;若点 B表示的 数是 2,则点 B 表示的数是 ;已知
29、线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重 合,则点 E 表示的数是 ; 15 (2)如图 2,在平面直角坐标系 xoy 中,对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作:把每个 点的横、纵坐标都乘以同一种实数 a,将得到的点先向右平移 m 个单位,再向上平移 n 个单位(m0, n0) ,得到正方形 ABCD及其内部的点,其中点 A,B 的对应点分别为 A,B。已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合,求点 F 的坐标。 【答案】【答案】解: (1)0;3; 3 2 。 (2)根据题意得, 3am1 3am2 0 an2
30、 ,解得 1 a 2 1 m 2 n2 . 设点 F 的坐标为(x,y) , 对应点 F与点 F 重合, 11 xx 22 1 y2y 2 ,解得 x1 y4 。 点 F 的坐标为(1,4) 。 【考点】【考点】坐标与图形的平移变化,数轴,正方形的性质,平移的性质。 【分析】【分析】 (1)根据题目规定,以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A,设点 B 表示的数为 a,根 据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数,设点 E 表示的数为 b,根据题意列出方程计算即可得解: 点 A:31 3 +1=1+1=0。 设点 B 表示的数为 a,则 1 3 a+1=2,解得 a=3。 设点 E 表
31、示的数为 b,则 1 3 a+1=b,解得 b= 3 2 。 (2)先根据向上平移横坐标不变,纵坐标加,向右平移横坐标加,纵坐标不变求出平移规律, 16 然后设点 F 的坐标为(x,y) ,根据平移规律列出方程组求解即可。 例例 9. (江苏常州(江苏常州 9 分)分)已知,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=2,点 M 为边 BC 的中点,点 P 为边 CD 上 的动点(点 P 异于 C、D 两点) 。连接 PM,过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E(如图) 。设 CP=x, DE=y。 (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式 ; (2)若点 E 与点 A 重合,则 x
32、的值为 ; (3)是否存在点 P,使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上?若存在,求 x 的值;若不存在,请 说明理由。 【答案】【答案】解: (1)y=x24x。 (2)2+ 2或22。 (3)存在。 过点 P 作 PHAB 于点 H。则 点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上, P D=PD=4x,E D=ED= y=x24x, EA=ADED= x24x2,P DE=D=900。 在 RtDP H 中,PH=2, DP =DP=4x,DH= 2 22 4x2x8x+12。 E DA=1800900P DH=900P DH=DP H,P DE=P HD =9
33、00, E DADP H。 E DEA D PD H ,即 22 2 x4xx4x+2 4x x8x+12 , 即 2 2 x4x+2 x x8x+12 ,两边平方并整理得,2x24x1=0。解得 22 x 2 。 当 2+ 2 x 2 时,y= 2 2+ 22+ 25+2 2 +4=2 222 , 此时,点 E 已在边 DA 延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根) 。 17 当 22 x 2 时,y= 2 22225+2 2 +4=2 222 , 此时,点 E 在边 AD 上,符合题意。 当 22 x 2 时,点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上。 【考点】【考点
34、】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,折叠对称的性质,解无理方程。 【分析】【分析】 (1)CM=1,CP=x,DE=y,DP=4x,且MCPPDE, DEDP CPCM ,即 y4x x1 。y=x24x。 (2)当点 E 与点 A 重合时,y=2,即 2=x24x,x24x2=0。 解得x22。 (3)过点 P 作 PHAB 于点 H,则由点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上,可得E DA 与DP H 相似,由对应边成比例得得关于 x 的方程即可求解。注意检验。 例例 10. (江苏(江苏苏州苏州 8 分)分)如图,已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A,
35、点 P 是直径 AB 左侧半圆 上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 C, PC 与O 交于点 D, 连接 PA、 PB, 设 PC 的长为x 2x4. 当 5 x= 2 时,求弦 PA、PB 的长度; 当 x 为何值时,PD PC的值最大?最大值是多少? l P D C B O A 【答案】【答案】解: (1)O 与直线 l 相切于点 A,AB 为O 的直径,ABl。 又PCl,ABPC. CPA=PAB。 AB 为O 的直径,APB=90 。 PCA=APB.PCAAPB。 PCPA APAB ,即 PA2=PC PD。 PC= 5 x= 2 ,AB=4, 5 PA410 2
36、 。 18 在 RtAPB 中,由勾股定理得:PB16 106。 (2)过 O 作 OEPD,垂足为 E。 PD 是O 的弦,OFPD,PF=FD。 在矩形 OECA 中,CE=OA=2,PE=ED=x2。 CD=PCPD= x2(x2)=4x 。 2 PD PC=2 x24x =2x +12x16 2 =2 x3+2。 2x4 当x=3时,PD PC有最大值,最大值是 2。 【考点】【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定 和性质,二次函数的最值。 【分析】【分析】(1)由直线 l 与圆相切于点 A,且 AB 为圆的直径,根据切线的性质得到
37、 AB 垂直于直线 l,又 PC 垂直于直线 l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到 AB 与 PC 平行,根据两直线平行内错角相 等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PCA 与PAB 相似,由相似得比例,将 PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长,在 RtAPB 中,由 AB 及 PA 的长,利 用勾股定理即可求出 PB 的长。 (2)过 O 作 OE 垂直于 PD,与 PD 交于点 E,由垂径定理得到 E 为 PD 的中点,再由三个角为 直角的四边形为矩形得到 OACE 为矩形,根据矩形的对边相等,可得出 EC=OA=2,用 PC-EC
38、的长表示出 PE,根据 PD=2PE 表示出 PD,再由 PC-PD 表示出 CD,代入所求的式子中,整理后得到关于 x 的二次函 数,配方后根据自变量 x 的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时 x 的取值 练习题:练习题: 1. (山东东营(山东东营 3 分)分)将点 A(2,1)向左 平移 2 个单位长度得到点 A,则点 A的坐标是【 】 A(2,3) B (2,) C (4,1) D. (0,1) 2.(广西来宾(广西来宾 3 分)分)在平面直角坐标系中,将点 M(1,2)向左平移 2 个长度单位后得到点 N,则点 N 的 坐标是【 】 A (1,2) B (3,2)
39、 C (1,4) D (1,0) 3.(广西玉林、防城港(广西玉林、防城港 3 分)分)在平面直角坐标系中,一青蛙从点 A(1,0)处向右跳 2 个单位长度,再向 上跳 2 个单位长度到点 A处,则点 A的坐标为 . 19 4.(四川攀枝花(四川攀枝花 3 分)分)如图,直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上,O 为坐标原点,CD 垂直于 x 轴,D(5, 4) ,AD=2若动点 E、F 同时从点 O 出发,E 点沿折线 OAADDC 运动,到达 C 点时停止;F 点沿 OC 运动,到达 C 点是停止,它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度设 E 运动秒 x 时,EOF 的面积为 y(平
40、方单位) ,则 y 关于 x 的函数图象大致为【 】 ABCD 5. (四川(四川内江内江 3 分)分) 如图, 正ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发, 以每秒 1cm 的速度, 沿ABC 的方向运动,到达点 C 时停止,设运动时间为 x(秒) , 2 yPC,则 y 关于 x 的函数的图像大致为【 】 A. B. C. D. 6.(江苏无锡(江苏无锡 10 分)分)如图,菱形 ABCD 的边长为 2cm,DAB=60 点 P 从 A 点出发,以cm/s 的速 度, 沿 AC 向 C 作匀速运动; 与此同时, 点 Q 也从 A 点出发, 以 1cm/s 的速度, 沿射线 AB
41、作匀速运动 当 P 运动到 C 点时,P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 ts (1)当 P 异于 AC 时,请说明 PQBC; (2)以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t 为怎样的值时,P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点? 7. (广东(广东河源河源 9 分)分)如图,矩形 OABC 中,A(6,0)、C(0,2 3)、D(0,3 3),射线 l 过点 D 且与 x 轴平行,点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点,满足PQO60 (1)点 B 的坐标是 ,CAO ,当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标 为 ; (2)设点 P
42、 的横坐标为 x, OPQ 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S, 试求 S 与 x 的函数关系式和相应 20 的自变量 x 的取值范围 8. (福建南平(福建南平 14 分)分)如图,在ABC 中, 点 D、 E 分别在边 BC、 AC 上,连接 AD、 DE,且1=B=C (1)由题设条件,请写出三个正确结论: (要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和 辅助线不能出现在结论中,不必证明) 答:结论一: ;结论二: ;结论三: (2)若B=45 ,BC=2,当点 D 在 BC 上运动时(点 D 不与 B、C 重合) , 求 CE 的最大值; 若ADE 是等腰三角形,求此时
43、BD 的长 (注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明) 9. (福建漳州(福建漳州 14 分)分)如图,在OABC 中,点 A 在 x 轴上,AOC=60o,OC=4cmOA=8cm动 点 P 从点 O 出发,以 1cms 的速度沿线段 OAAB 运动;动点 Q 同时 从点 O 出发,以 acms 的速度沿线段 OCCB 运动,其中一点先到达终点 B 时,另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 (1)填空:点 C 的坐标是(_,_),对角线 OB 的长度是_cm; (2)当 a=1 时,设OPQ 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并直接写出当 t 为
44、何值时,S 的值最大? (3)当点 P 在 OA 边上,点 Q 在 CB 边上时,线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以 O、M、P 为顶点的 三角形与OAB 相似,求 a 与 t 的函数关系式,并直接写出 t 的取值范围 21 10. (福建福州(福建福州 13 分)分)如图,在 RtABC 中,C90 ,AC6,BC8,动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度 运动,过点 P 作 PDBC,交 AB 于点 D,连接 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发,当其中一点到
45、达 端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒(t0) (1) 直接用含 t 的代数式分别表示:QB_,PD_ (2) 是否存在 t 的值,使四边形 PDBQ 为菱形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由并探究如 何改变点 Q 的速度(匀速运动),使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形,求点 Q 的速度; (3) 如图,在整个运动过程中,求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长 11.(湖北黄石(湖北黄石 3 分)分)初三年级某班有 54 名学生,所在教室有 6 行 9 列座位,用( , )m n表示第m行第n列 的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为( , )m n,
46、如果调整后的座位为( , )i j,则称该生作 了平移, a b,mi nj ,并称ab为该生的位置数。若某生的位置数为 10,则当mn取最小值时, m n的最大值为 . 三、直线(线段)的平移:三、直线(线段)的平移: 典型例题:典型例题: 例例 1. (湖南娄底(湖南娄底 3 分)分)对于一次函数 y=2x+4,下列结论错误的是【 】 A 函数值随自变量的增大而减小 B 函数的图象不经过第三象限 22 C 函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=2x 的图象 D 函数的图象与 x 轴的交点坐标是(0,4) 例例 2.(福建南平(福建南平 3 分)分)将直线 y=2x 向上平移 1 个单位
47、长度后得到的直线是 【答案】【答案】y=2x1。 【考点】【考点】一次函数图象与平移变换,待定系数法,直线上点的坐标理性认识各式的关系。 【分析】【分析】直线 y=2x 经过点(0,0) ,向上平移 1 个单位后对应点的坐标为(0,1) , 平移前后直线解析式的 k 值不变,设平移后的直线为 y=2xb。 则 2 0+b=1,解得 b=1。所得到的直线是 y=2x1。 例例 3. (湖南娄底(湖南娄底 4 分)分)如图,AB 的坐标分别为(1,0) 、 (0,2) ,若将线段 AB 平移到至 A1B1,A1、 B1的坐标分别为(2,a) 、 (b,3) ,则 a+b= 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】坐标与图形平移变化。 【分析】【分析】A(1,0)转化为 A1(2,a)横坐标增加了 1,B(0,2)转化为