1、 1 22.22.3 3 实际问题与二次函数（实际问题与二次函数（2 2） 教学目标：教学目标： 1复习用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系 式。 2 使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系 式。 重点难点：重点难点： 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也 是难点。 教学过程：教学过程： 一、复习巩固 1如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2已知二次函数的图象经过 A(0，1)，B(1，3)，C(1，1） 。 (1)求二次函数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案：(1)yx 2x
2、1，(2)图略 (3)对称轴 x1 2，顶点坐标为( 1 2， 3 4)。 3二次函数 yax 2bxc 的对称轴，顶点坐标各是什么? 对称轴是直线 x b 2a，顶点坐标是( b 2a， 4acb2 4a ) 二、范例 例 1已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)， 求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数 yax 2bxc 通过配方可得 ya(xh)2k 的形式 称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶 点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： ya(x8) 29 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可
3、 求出 a 的值。 练习：练习 1(2)。 例 2已知抛物线对称轴是直线 x2，且经过(3，1)和(0，5)两点， 求二次函数的关系式。 解法 1：设所求二次函数的解析式是 yax 2bxc，因为二次函数的图 象过点(0，5)，可求得 c5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且 对称轴是直线 x2，可以得 b 2a2 9a3b6 2 解这个方程组，得： a2 b8 所以所求的二次函数的关系式为 y 2x 28x5。 解法二；设所求二次函数的关系式为 ya(x2) 2k，由于二次函数的 图象经过(3，1)和(0，5)两点，可以得到 a(32)2k1 a(02)2k5 解这 个方程组，得： a2
4、 k3 所以，所求二次函数的关系式为 y2(x2) 23， 即 y2x 28x5。 例 3。已知抛物线的顶点是(2，4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函数的关系式。 解法 1：设所求的函数关系式为 ya(xh) 2k，依题意，得 ya(x 2) 24 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，所以抛物线过点(0，4)， 于是 a(02) 244，解得 a2。所以，所求二次函数的关系式为 y2(x 2) 24，即 y2x28x4。 解法 2：设所求二次函数的关系式为 yax 2bxc?依题意，得 b 2a2 4acb2 4a 4 c4 解这个方程组， 得： a2 b8 c4 所以
5、，所求二次函数关系式为 y2x 28x4。 三、课堂练习 1. 已知二次函数当 x3 时，有最大值1，且当 x0 时，y3， 求二次函数的关系式。 解法 1： 设所求二次函数关系式为 yax 2bxc， 因为图象过点(0， 3)， 所以 c3，又由于二次函数当 x3 时，有最大值1，可以得到： b 2a3 12ab2 4a 1 解这个方程组，得： a4 9 b8 3 所以，所求二次函数的关系式为 y4 9x 28 3x3。 解法 2：所求二次函数关系式为 ya(xh) 2k，依题意， 得 ya(x3) 21 3 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3a(03) 21 解得 a4 9 所以，
6、 所求二次函数的关系为 y44/9(x3) 21， 即 y4 9x 28 3x3 小结：讨论、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知已知二次函数的最大值或最小值，就是已知 该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2已知二次函数 yx 2pxq 的图象的顶点坐标是(5，2)，求二 次函数关系式。 简解：依题意，得 p 25 4qp2 4 2 解得：p10,q23 所以，所求二次函数的关系式是 yx 210 x23。 四、小结 1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? 两种类型：(1)一般式：yax 2b
7、xc (2)顶点式：ya(xh) 2k，其顶点是(h，k) 2如何确定二次函数的关系式? 五、作业： 1. 已知抛物线的顶点坐标为(1，3)，与 y 轴交点为(0，5)，求 二次函数的关系式。 2函数 yx 2pxq 的最小值是 4，且当 x2 时，y5，求 p 和 q。 3若抛物线 yx 2bxc 的最高点为(1，3)，求 b 和 c。 4 已知二次函数 yax 2bxc 的图象经过 A(0， 1)， B(1， 0)， C(1， 0)，那么此函数的关系式是_。如果 y 随 x 的增大而减少，那么自变 量 x 的变化范围是_。 5已知二次函数 yax 2bxc 的图象过 A(0，5)，B(5，0)两点， 它的对称轴为直线 x2，求这个二次函数的关系式。 6如图是抛物线拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面宽 4 6米，水位 上升 3 米就达到警戒线 CD，这时水面宽 4 3米，若洪水到来时，水位以每 小时 0.25 米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? 教后反思：教后反思：
