1、 - 1 - 平面直角坐标系与函数的概念 【课前热身】【课前热身】 1.如图，把图中的A 经过平移得到O(如图)，如果图中A 上一点 P 的坐标为(m， n)，那么平移后在图中的对应点 P的坐标为（ ） A(m2，n1) B(m2，n1) C(m2，n1) D(m2，n1) 2.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC，则点B的坐 标为（ ） A( 21)， B(12)， C( 211) ， D(121)， 3.点(35)p ， -关于x轴对称的点的坐标为（ ） A ( 3,5)- B (5,3) C( 3,5)- D (3,5) 4.函数2yx中，自变量x的取值范围是（
2、 ） A2x B2x C2x D2x 5.在函数 1 31 y x 中，自变量x的取值范围是（ ） A. 1 3 x B. 1 3 x C. 1 3 x D. 1 3 x 【参考答案】【参考答案】 1.1. D D 2.2. C C 3.3. D D x y O C B A （第 2 题） - 2 - 4.4. B B 【解析】【解析】 本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围， 由于二次根式a中a的 范围是0a；2yx中x的范围由20 x得2x. . 5.5. C C 【考点聚焦】【考点聚焦】 知识点知识点 平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 大纲要求大纲要求 1.了
3、解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由 点的位置确定点的坐标； 2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 考查重点与常见题型考查重点与常见题型 1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题； 2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题； 3.考查自变量的取值范围， 有关试题出现的频率很高， 重点考查的是含有二次根式的函数式 中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4函数自变量的取值范围. 【备考兵法】【备考兵法】 1.理解函数的
4、概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点. 2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系. 3.平面直角坐标系： 坐标平面内的点与有序实数对一一对应； - 3 - 点 P（a，b）到 x 轴的距离为b，到 y 轴距离为a，到原点距离为 22 ab； 各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b） ，P在第一象限a0 且 b0， P 在第二象限a0，P 在第三象限a0，b0，b0； 点 P（a，b） ：若点 P 在 x 轴上a 为任意实数，b=0； P 在 y 轴上a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上a=0； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上a=b；
5、 A（x1，y1） ，B（x1，y2） ：A，B 关于 x 轴对称x1=x2，y1=y2； A、B 关于的 y 轴对称 x1=x2，y1=y2； A，B 关于原点对称x1=x2，y1=y2；ABx 轴y1=y2且 x1x2； ABy 轴x1=x2且 y1y2（A，B 表示两个不同的点） 4.变量与函数： 在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量数值保持不变的量叫常量常量和变 量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中” ，同一量在不同的变化过 程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的常量和变量并一定都是量， 也可以是常数或变数 在某一变化的过程中有两个变量 x 与y
6、，如果对于 x 在取值范围内取的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么说 x 是自变量，y 是 x 的函数，函数不是数，它是指 某一变化过程中两个变量之间的关系 自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义 自变量的取值范围可以是无限的也可以是 有限的可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使 实际问题有意义 对于自变量在取值范围内取一个确定的值， 函数都有唯一确定的值与之对应， 这个对应值 叫做函数的一个函数值函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函 数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个函数值的取值范围是随自变量 的取值范围的
7、变化而变化的 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法这三种表示法各具特色，在应用时，通 常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线 【考点链接考点链接】 1. 坐标平面内的点与_一一对应 - 4 - 2. 根据点所在位置填表（图） 3. x轴上的点_坐标为 0, y 轴上的点_坐标为 0. 4. P(x,y)关于x轴对称的点坐标为 _，关于y轴对称的点坐标 为_， 关于原点对称的点坐标为_. 5. 描点法画函数图象的一般步骤是_、_、_ 6. 函数的三种表示方法分别是_、_、_ 7. xy 有意义，则自变量 x 的取值范围是 . x y 1 有意义，则自变量x
8、的取值 范围是 . 【典例精析典例精析】 例例 1 1. . 已知点 A（a，5） ，B（8，b）根据下列要求，确定 a，b 的值 （1）A，B 两点关于 y 轴对称； （2）A，B 两点关于原点对称； （3）ABx 轴； （4）A，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上 【分析】 （1）两点关于 y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于 x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同） ； （4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同 【答案】 解：（1） 当点 A （a， 5
9、） ， B （8， b） 关于 y 轴对称时有： 8 5 AB AB xxa yyb （2）当点 A（a，5） ，B（8，b）关于原点对称时有 8 5 AB AB xxa yyb （3）当 ABx 轴时，有 8 5 AB AB xxa yyb （4）当 A，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有： xA=yB且 xA=yB即 a=5，b=8 【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 - 5 - 例例 2.2.如图所示，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是（0，6） ， （8，0） ，求 RtABO
10、的内心的坐标 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结 合实际图形，确定内心的坐标 【答案】解：A（0，6） ，B（8，0） ，OA=6，OB=8， 在 RtABO 中，AB 2=OA2+OB2=62+82=100，AB=10（负值舍去） 设 RtABO 内切圆的半径为 r， 则由 SABO= 1 2 68=24，SABO = 1 2 r（AB+OA+OB）=12r，知 r=2， 而内心在第二象限，内心的坐标为（2，2） 【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键 例例 3 3 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系， 她 9点离开家， 15 点
11、回到家， 请根据图象回答下列问题： （1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11：00 到 12：00 她骑了多少千米？ （5）她在 9：0010：00 和 10：0010：30 的平均速度各是多少？ （6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？ （7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？ （8）返回时的平均速度是多少？ 【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段 CD 和 EF 与横轴平行， 表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题 【答案】解： （1）由图象知，玲玲到达离家最远的
12、地方是 12 点，离家 30km； （2）由线段 CD 平行于横轴知，10：30 开始休息，休息半个小时； - 6 - （3）第一次休息时离家 17km； （4）从纵坐标看出，11：00 到 12：00，她骑了 13km（3017=13） ； （5）由图象知，9：0010：00 共走了 10km，速度为 10km/h，10：0010：30共走 了 7km，速度为 14km/h； （6）她在 12：0013：00 时停止前进并休息用午餐； （7）她在停止前进后返回，骑了 30km 回到家（离家 0km） ； （8）返回时的路程为 30km，时间为 2h，故返回时的平均速度为 15km/h 【点评
13、】如图 a 所示，表示速度 v 与时间 t 的函数图象中，表示物体从 0 开始加速运 动，代表物体匀速运动，代表物体减速运动到停止如图 b 所示，表示路程 s 与时间 t 的函数图象中，代表物体匀速运动，代表物体停止，代表物体反向运动直至回到 原地 (a) (b) 【迎考精【迎考精练练】 一、选择题一、选择题 1. （河南）（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）和（2，0）. 月牙绕点B顺时针旋转 90 0得到月牙，则点 A的对应点A的坐标为（ ） A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2） 2. （北京市）（北京市） 如图， C 为O 直径
14、AB 上一动点， 过点 C 的直线交O 于 D.E 两点， 且ACD=45， DFAB 于点 F,EGAB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF=x，DE=y，下列中图象中，能 表示y与x的函数关系式的图象大致是（ ） - 7 - 3. （天津市）（天津市） 在平面直角坐标系中， 已知线段AB的两个端点分别是41AB，1，1， 将线段AB平移后得到线段A B ，若点 A 的坐标为2 2 ，则点 B 的坐标为（ ） A43， B34， C12 ， D21， 4.（重庆）（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=2，1BC ，动点P从点B出发， 沿路线BCD作匀速运动，那么ABP的面积S与
15、点P运动的路程x之间的函数图 象大致是（ ） 5.( (黑龙江黑龙江牡丹江牡丹江) )如图， 平面直角坐标系中， 在边长为 1 的正方形ABCD的边上有一动点P 沿ABCDA运动一周， 则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系 用图象表示大致是（ ） 1 2 3 4 1 2 y s O 1 2 3 4 1 2 y s O s 1 2 3 4 1 2 y s O 1 2 3 4 1 2 y O A. B. C. D. D C P B A 第 4 题 O 3 1 1 3 S x A O 1 1 3 S x O 3 S x 3 O 1 1 3 S x B C D 2 - 8 - 6.（浙江浙江
16、杭州）杭州）两个不相等的正数满足2ba，1tab，设 2 )(baS，则S关于 t的函数图象是（ ） A射线（不含端点） B线段（不含端点） C直线 D抛物线的一部分 7.（山东山东济南）济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点ab，若规定以下三种变换： 1313 ;f ababf 如，=， 1331 ;g abbag如，=， 1313h ababh 如，=， 按照以上变换有： 233232f gf，那么 53f h，等于（ ） A53， B53， C53， D53 ， 8.（山东青岛）（山东青岛）一艘轮船从港口O出发，以 15 海里/时的速度沿北偏东 60的方向航行 4 小时后到达A处，此
17、时观测到其正西方向 50 海里处有一座小岛B若以港口O为坐标原点， 正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1 海里为 1 个单位长度建立平面直角 坐标系（如图） ，则小岛B所在位置的坐标是（ ） A(30 350 30)， B(30 30 350)， C(30 330)， D(30 30 3)， 9.（山东山东东营）东营）如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时， 点B的坐标为( ) A.（0，0） B.（ 2 2 ， 2 2 ） C.（ 2 1 ， 2 1 ） D.（ 2 2 ， 2 2 ） 10.( (陕西省陕西省) )如果点 P(m，1-2m)在第
18、四象限，那么 m 的取值范围是 ( ) A 2 1 0 m B0 2 1 m C0m D 2 1 m 11.( (四川四川成都成都) )在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(2， 3)， 若将OA绕原点O逆时针旋转180 y x O B A （第 9 题图） - 9 - 得到 0A，则点 A在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 12.（山东山东威海）威海）如图，A，B的坐标为（2，0） ， （0，1）若将线段AB平移至 11 AB，则ab 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 13.（湖北湖北襄樊）襄樊）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将ABC
19、向右平移两个单位长度得 到ABC ，则与点 B 关于x轴对称的点的坐标是（ ） A01， B11 ， C21， D11， 14 （浙江绍兴）（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直 线交P于M，N两点若点M的坐标是（21，） ，则点N的坐标是（ ） A(24)， B. (24.5)， C.(25)， D.(25.5)， 15.（浙江浙江杭州）杭州） 已知点P（x，y）在函数x x y 2 1 的图象上，那么点P应在平面 直角坐标系中的（ ） y O (01)B ， (2 0)A ， 1(3 )Ab， 1( 2) B a， x - 10 - A第一象限 B 第二
20、象限 C 第三象限 D 第四象限 16.( (广东广东肇庆肇庆) )函数2yx的自变量x的取值范围是（ ） A2x B2x C2x D2x 17.（浙江浙江杭州）杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k棵树种植在点)( kkk yxP，处，其中1 1 x，1 1 y，当2k时， 5 2 5 1 ) 5 2 5 1 (51 1 1 kk yy kk xx kk kk ，a表示非负实数a的整数部分，例如2.6=2， 0.2=0按此方案，第棵树种植点的坐标为（ ） A （5， ） B （6，2010） C （3，401） D（4，402） 二、填空题二、填空题 1.
21、（湖北荆门）（湖北荆门）将点P向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到 P （1，3） ，则点P 的坐标是_ 2.（吉林省）（吉林省）如图，点A关于y轴的对称点的坐标是 3.（山东山东泰安）泰安）如图所示，ABC是由ABC 向右平移 5 个单位，然后绕 B 点逆时针 旋转 90得到的（其中 A、B、C的对应点分别是 A、B、C） ，点 A的坐标是（4，4） 点 B的坐标是（1，1） ，则点 A 的坐标是 。 4.（湖南湖南衡阳）衡阳）点 A 的坐标为（2，0） ，把点 A 绕着坐标原点顺时针旋转 135到点 B，那 么点 B 的坐标是 _ A x 3 y O -5 - 11 - 5.5
22、.（内蒙古包头）（内蒙古包头）线段CD是由线段AB平移得到的，点( 14)A ，的对应点为(4 7)C，则 点( 41)B ，的对应点D的坐标是 6.（广东广东肇庆）肇庆）在平面直角坐标系中，点(23)P，关于原点对称点 P 的坐标是 7.（湖北十堰）（湖北十堰）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段 OA绕点O顺时 针旋转 90得到线段OA，则点A的坐标是 8.（浙江浙江衢州）衢州）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BCAC 于点C，交半圆于点F已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式 是 9.（湖北湖北仙桃）仙桃）函数 2x
23、 x4 y 中，自变量 x 的取值范围是_ 10.（福建福建龙岩）龙岩）函数xy2中自变量x的取值范围是 11.( (广东广东梅州梅州) )星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家他离家的距离y（千 米）与时间t（分钟）的关系如图所示 根据图象回答下列问题： y(千米) t(分) 3 12 72 11 题 O A B C E 第 8 题图 D O F - 12 - （1）小明家离图书馆的距离是_千米； （2）小明在图书馆看书的时间为_小时； （3）小明去图书馆时的速度是_千米/小时 三、解答题三、解答题 1.（吉林吉林长春）长春）如图，点P的坐标为 3 2 2 ，过点P作x轴的平行线交y
24、轴于点A，交双 曲线 k y x （0 x） 于点N， 作P MA N交双曲线 k y x （0 x） 于点M， 连结AM 已 知4PN （1）求k的值 （3 分） （2）求APM的面积 （3 分） 2.2.（安徽）（安徽）如图，在对 RtOAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到OAB （1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形； （2）设P（x，y）为OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标 y x O P A M N - 13 - 3.（黑龙江黑龙江齐齐哈尔）齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标为( 2 3)A ，、 ( 3 2)B ，、( 1,1)C （1）
25、若将ABC向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，请画出平移后的 111 ABC； （2）画出 111 ABC绕原点旋转180后得到的 222 A B C； （3）ABC 与ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_； （4）顺次连结 12 CCCC、 、 、，所得到的图形是轴对称图形吗？ 4 3 1 2 3 4 1 2 4 3 2 2 1 1 2 23 4 y x O A B C C B A O A B x O B A y 第第 2 题图题图 - 14 - 4.4.（天津市）（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOBOAOB ，如图， 将该纸片放置在平面直角
26、坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点 D （）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （）若折叠后点B落在边OA上的点为 B ，设OBx ，OCy，试写出y关于x的函 数解析式，并确定y的取值范围； （）若折叠后点B落在边OA上的点为 B ，且使BDOB ，求此时点C的坐标 x y B O A x y B O A x y B O A - 15 - 第 5 题图 60 40 40 150 30 单位：cm A B B 5.5.( (河北河北) )某公司装修需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块，A 型板材规格是 60 cm30 cm， B 型板材规格是 40
27、 cm30 cm现只能购得规格是 150 cm30 cm 的标准板材一张标准板 材尽可能多地裁出 A 型、B 型板材，共有下列三种裁法： （如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块数 1 2 0 B 型板材块数 2 m n 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z张，且所裁出的 A.B 两种型号的板材刚好够用 （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y与x和z与x的函数关系式； （3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式， 并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？ - 16 - 【参考答案
28、】【参考答案】 选择题选择题 1.1. B B 2.2. A A 3.3. B B 4.4. B B 5.5. D D 6.6. B B 7.7. B B 8.8. A A 9.9. C C 10.10. D D 11.11. C C 12.12. A A 13.13. D D 【解析】本题考查坐标与平移，由图 3 可知点 B 的坐标是（-1，1） ，将ABC向右平移两 个单位长度得到ABC ，所以点 B 的坐标是（1，1） ，所以点 B 关于x轴对称的点的坐标 是（1，-1） ，故选 D. 14.14. B B 15.15. B B 16.16. C C 17.17. D D 填空题填空题
29、1.1. （1，2） 【解析】本题考查坐标与平移，将点P向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 得到 P （1，3） ，所以点 P （1，3）向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到P（1， 2） ，故填（1，2） 2.2. （5，3） 3. （-1，-2） 4. (1,-1) - 17 - 5. (1,2) 【解析】 本题考查图形平移后图形上点的坐标变化情况，由于平移图形上的所有 点均作相同的运动，由 A(-1,4)至 C(4,7)是先将点 A(-1,4)向右平移 5 个单位，再向上平移 3 个单位得到；所以点 D 可由点 B(-4，-1)向右平移 5 个单位，再向上平移 3
30、个单位得到点 D(1,2). 6.6. ( 2 3) ， 7. (4，1) 8. 1 x y x 9.9. 4x且2x 10. x2 11. （1）3（2）1（3）15 解答题解答题 1. 解：(1)P(2， 2 3 )，PN=4 N(6， 2 3 ) 把 N(6， 2 3 )代入 k y x 得：k=9 (2)PMAN, P(2， 2 3 ) M(2，y) k=9，点 M 在双曲线 k y x 上，把 M(2，y)代入 k y x ，得：y= 2 9 M(2， 2 9 ) 又P(2， 2 3 ) MP=3，AP=2 S APM =332 2 1 2. （1）如图所示； - 18 - （2）设
31、坐标纸中方格边长为单位 1，则 P（x，y）2O以 为位似中心放大为原来的 倍（2x，2y） ；y经 轴翻折（2x，2y） ； 4向右平移 个单位（24x，2y） ；5向上平移 个单位（24x，25y） 说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直 接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分 3. 画出平移后的图形， 画出旋转后的图形 写出坐标（0，0） 答出“是轴对称图形” 4. 解： （）如图，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD.设点C的坐标为 00mm，.则4BCOB OCm.于是4ACBCm.在RtAOC中， 由 勾股定理，得 222 ACOC
32、OA，即 2 22 42mm，解得 3 2 m . 点C的坐标为 3 0 2 ，. 4 3 1 2 3 4 1 2 4 3 2 2 1 1 2 23 4 y x O A B C C A2 C2 B2 C1 B1 A1 B A O A B x O B A y - 19 - （）如图，折叠后点B落在OA边上的点为 B ,则BCDBCD.由题设 OBxOCy ，则4BCBCOB OCy ，在RtBOC中，由勾股定理，得 222 B COCOB. 2 22 4yyx，即 2 1 2 8 yx .由点 B 在边OA上，有 02x ， 解析式 2 1 2 8 yx 02x 为所求. 当02x 时，y随x的
33、增大而减小， y的取值范围为 3 2 2 y. （） 如图， 折叠后点B落在OA边上的点为 B ， 且BDO B .则OCBCB D. 又CBDCB DOCBCBD，有CBBA .RtRtCOBBOA. 有 OBOC OAOB ，得2OC OB . 在RtB OC中，设 0 0OBxx ，则 0 2OCx. 由（）的结论，得 2 00 1 22 8 xx ，解得 000 84 5084 5xxx ，. 点C的坐标为 08 516，. 5. 解： （1）0 ，3 （2）由题意，得 2240 xy， 1 120 2 yx 23180 xz， 2 60 3 zx （3）由题意，得 12 12060 23 Qxyzxxx 整理，得 1 180 6 Qx 由题意，得 1 120 2 2 60 3 x x 解得 x90 【注：事实上，0 x90 且x是 6 的整数倍】 x y B O A D C 图 x y B O B D C 图 x y B O B D C 图 - 20 - 由一次函数的性质可知，当x=90 时，Q最小此时按三种裁法分别裁 90 张、75 张、0 张
