1、?（ ?） 到了欧几里得时代， 几何学已经成为一门相当完整的学科了欧几里得的名著 几何原本 ， 是世界数学史上最伟大的著 作之一时至今日， 我们在初中阶段学习的平面几何的大部分知识依然来源于古老的 几何原本继欧几里得之后， 古希腊伟 大的数学家、 物理学家阿基米德更是开创了希腊数学发展的黄金时代， 也就是数学史上著名的“ 亚历山大时期” 第章 专 题 拓 展 阅读理解题 题型特点 阅读理解型问题， 一般篇幅较长， 涉及内容丰富， 构思新颖 别致， 一般分为两个部分： 一是阅读材料， 二是考查内容它要求 学生根据阅读获取的信息回答问题提供的阅读材料主要包括： 一个新的数学概念的形成和应用过程，
2、或一个新的数学公式的 推导与应用； 二是提供新闻背景材料， 甚至是生活背景的一段对 话； 三是提供一份蕴涵丰富信息的图象或者统计图、 表格主要 要求学生通过阅读这些内容丰富的材料， 考查学生的观察能力、 读图能力、 数据收集能力以及获取信息并处理、 加工信息的能 力， 从而得到通过解题提高能力的目的中收集信息， 处理信息， 以解决现实问题图表信息题是指从图象、 图形、 统计图及统计 表中获取解题信息的问题根据实际问题中所提供的图表信息 的不同方式， 图表信息题大致有以下几种类型： 图象信息型、 图 形信息型、 统计表型等 命题趋势 阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题 型， 不仅考
3、查学生的阅读能力， 而且综合考查学生的数学意识和 数学综合应用能力， 尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和 创新意识， 此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过 程， 符合学生的认知规律， 其图文并茂， 清新悦目的形式也受学 生欢迎， 是中考的热点题目之一， 今后的中考试题有进一步加强 的趋势 【 例】（ 北京） 在平面直角坐标系狓 犗 狔中， 对于任意 两点犘（ 狓，狔） 与犘（狓，狔） 的“ 非常距离” ， 给出如下定义： 若狓 狓 狔狔， 则点犘与点犘的“ 非常距离” 为 狓狓； 若狓 狓 狔狔， 则点犘与点犘的“ 非常距离” 为 狔狔 例如： 点犘（ ，） ， 点犘（，） ， 因为
4、 ， 所以 点犘与点犘的“ 非常距离” 为 ， 也就是图（ ） 中线段 犘犙与线段犘犙长度的较大值（ 点犙为垂直于狔轴的直线犘犙 与垂直于狓轴的直线犘犙的交点） （ ） 已知点犃 ， （） ， 犅为狔轴上的一个动点， 若点犃与点犅的“ 非常距离” 为， 写出一个满足条件的 点犅的坐标； 直接写出点犃与点犅的“ 非常距离” 的最小值； （ ） 已知犆是直线狔 狓 上的一个动点， 如图（） ， 点犇的坐标是（，） ， 求点犆与点犇的“ 非常距 离” 的最小值及相应的点犆的坐标； 如图（） ，犈是以原点犗为圆心，为半径的圆上的一个动 点， 求点犆与点犈的“ 非常距离” 的最小值及相应的点犈和点犆 的
5、坐标 （） （） （） 【 命题意图分析】此题是第一次在代数题目中用到了定义 新运算， 题目很新颖知识点融合度较高需要同学们有较强的 阅读理解题目的能力和数形结合能力计算并不复杂， 关键在于 对于几何图形最值问题的探讨 【 解答】（ ）点犅的坐标是（，） 或（，）（ 写出一个 答案即可 ） ?（ ?） 阿基米德在数学方面的贡献远远超越了他所生活的时代， 因此被后人尊称为“ 数学之神”阿基米德设计出一种 “ 大数体系” ， 根据这个理论， 即使整个宇宙中都填满了细小的砂粒， 也可以毫不费力地计算出砂粒的总数目他还计算 出圆周率的值在 和 之间此外几何学中著名的“ 阿基米德螺线” ， 也是他发现的
6、 点犃与点犅的“ 非常距离” 的最小值是 （ ）过点犆作狓轴的垂线， 过点犇作狔轴的垂线， 两条垂 线交于点犕， 连接犆 犇如图（ ） ， 当点犆在点犇的左上方且使 犆 犕犇是等腰直角三角形时， 点犆与点犇的“ 非常距离” 最小 理由如下： 记此时点犆所在位置的坐标为狓 ， 狓 （） 当点 犆的横坐标大于狓时， 线段犆 犕的长度变大， 由于点犆与点犇 的“ 非常距离” 是线段犆 犕与线段犕犇长度的较大值， 所以点犆 与点犇的“ 非常距离” 变大； 当点犆的横坐标小于狓时， 线段 犕犇的长度变大， 点犆与点犇的“ 非常距离” 变大所以当点犆的 横坐标等于狓 时， 点犆与点犇的“ 非常距离” 最小
7、 犆 犕 狓 ，犕犇狓，犆 犕犕犇， 狓 狓 解得狓 点犆的坐标是 ， （） 犆 犕犕犇 当点犆的坐标是 ， （） 时， 点犆与点犇的“ 非常 距离” 最小， 最小值是 （） （） 如图（） ， 对于犗上的每一个给定的点犈， 过点犈作狔 轴的垂线， 过点犆作狓轴的垂线， 两条垂线交于点犖， 连接犆 犈 由可知， 当点犆运动到点犈的左上方且使犆 犖 犈是等腰直角 三角形时， 点犆与点犈的“ 非常距离” 最小当点犈在犗上运动 时， 求这些最小“ 非常距离” 中的最小值， 只需使犆 犈的长度最小 因此， 将直线狔 狓 沿图中所示由点犆到点犈的方向平移 到第一次与犗有公共点， 即与犗在第二象限内相切的
8、位置 时， 切点即为所求点犈 作犈 犘狓轴于点犘设直线狔 狓 与狓轴， 狔轴分别交 于点犎、 犌可求得犎犗 ，犌 犗 ，犌犎 可证犗 犈 犘犌犎犗 犗 犘 犌 犗 犈 犘 犎犗 犗 犈 犌犎 犗 犘 犈 犘 犗 犘 ， 犈 犘 点犈的坐标是 ， （） 设点犆的坐标为狓 犆， 狓 犆（） 犆 犖 狓 犆 ， 犖 犈 狓犆， 狓 犆 狓犆 解得狓 犆 点犆的坐标是 ， （） 犆 犖犖 犈 当 点犆 的 坐 标 是 ， （） ，点犈的 坐 标 是 ， （） 时， 点犆与点犈的“ 非常距离” 最小， 最小值是 【 方法点拨】本题的考点： 平面直角坐标系、 一次函数图象 与坐标轴的交点、 相似形， 发现
9、这一点对于同学们更好的理解题 意十分重要 【 误区警示】定义没有弄清楚， 尤其是“ 非常距离” 的定义 要分情况进行讨论对数形结合解题不够熟练也是一大难点本 题关键在于对几何图形最值问题的探讨对“ 水平距、 铅垂高” 的 对比分析应用 一、选择题 （ 甘肃兰州） 如果一个扇形的弧长等于它的半径， 那么 此扇形称为“ 等边扇形” ， 则半径为的“ 等边扇形” 的面积为 （） （ 山东菏泽） 将个数排成行、列， 两边各加一条竖 直线记成 犪犫 犮犱 ， 定义 犪犫 犮犱 犪 犱犫 犮， 上述记号就叫做二 阶行列式若 狓 狓 狓狓 ， 则狓的值是（） （ 山东滨州） 求 的值， 可令犛 ， 则 犛
10、， 因此 犛犛 仿照以上推理， 计算出 的值为（ ） ?（ ?） 在阿基米德之后， 古希腊的数学研究更加侧重于应用几位著名的天文学家喜帕恰斯、 梅尼劳斯和托勒玫创立的三角 学， 使数学的发展迈上了一个新台阶尼可马修斯完成了数学史上第一部专门的数论典籍 算术入门丢番都则系统 地研究了各种方程， 特别是各种不定方程这样， 初等数学的各个分支 算术、 数论、 代数、 几何、 三角等学科， 全部都由古 希腊人建立起来了 （ 第题） （ 安徽安庆） 如图所示， 顶角为 的等腰 三角形， 其底边与腰之比等于犽， 这样的三角形 叫黄金三角形，犅 犆 犇为第二个黄金三角形， 犆 犇 犈为第三个黄金三角形， 以
11、此类推， 第 个黄金三角形的周长为（） 犽 犽 犽 犽 犽 （ 犽） 二、填空题 （ 湖南常德） 规定用符号犿 表示一个实数犿的整数部 分， 例如： ， 按此规定 槡 的值为 （ 四川自贡） 若狓是不等于的实数， 我们把 狓称为 狓的差倒数 獉獉獉 ， 如的差倒数是 ，的差倒数为 （ ） ， 现已知狓 ， 狓是狓的差倒数，狓是 狓的差倒数，狓是狓的差倒数， ， 依次类推， 则狓 （ 浙江台州） 请你规定一种适合任意非零实数犪，犫的新 运算“ 犪?犫” ， 使得下列算式成立： ? ?， （） ?（）（） ?（） ， （ ） ? ?（ ） ， 你规定的新运算犪?犫（ 用犪， 犫的一个代数式表 示）
12、 （ 湖北黄石） 初三年级某班有 名学生， 所在教室有 行列座位， 用（犿，狀） 表示第犿行第狀列的座位， 新学期准 备调整座位， 设某个学生原来的座位为（犿， 狀） ， 如果调整后的 座位为（ 犻，犼） ， 则称该生作了平移犪，犫犿犻，狀犼 ， 并称 犪犫为该生的位置数若某生的位置数为 ， 则当犿狀取最 小值时，犿狀的最大值为 三、解答题 （ 福建厦门） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点犃（， ） 、犅（，） ， 连结犃 犅如果点犘在直线狔狓上， 且点犘 到直线犃 犅的距离小于， 那么称点犘是线段犃 犅的“ 邻近 点” （ ） 判断点犆 ， （） 是否是线段犃 犅的“ 邻近点” ， 并说
13、明理由； （ ） 若点犙（犿，狀） 是线段犃 犅的“ 邻近点” ， 求犿的取值范围 （ 第题） （ 湖北荆门） 新定义： 犪，犫 为一次函数狔犪 狓犫（犪 ，犪，犫为实数） 的“ 关联数”若“ 关联数” ，犿 的一次函 数是正比例函数， 求关于狓的方程 狓 犿 的解 在学习轴对称的时候， 老师让同学们思考课本中的探究题 如图（ ） ， 要在燃气管道犾上修建一个泵站， 分别向犃、犅两 镇供气泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最 短？你可以在犾上找几个点试一试， 能发现什么规律？ （） （） （ 第 题） 聪明的小华通过独立思考， 很快得出了解决这个问题的正确 办法他把管道犾看成一条直线
14、（ 图（ ） ） ， 问题就转化为， 要 在直线犾上找一点犘， 使犃 犘与犅 犘的和最小他的做法是这 样的： 作点犅关于直线犾的对称点犅 连结犃 犅 交直线犾于点犘， 则点犘为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在犃 犅 犆中， 点 犇、犈分别是犃 犅、犃 犆边的中点，犅 犆 ，犅 犆边上的高为， 请 你在犅 犆边上确定一点犘， 使犘 犇 犈的周长最小 （ ） 在图中作出点犘（ 保留作图痕迹， 不写作法） ； （ ） 请直接写出犘 犇 犈周长的最小值： （ 第 题） （ 浙江宁波） 邻边不相等的平行四边形纸片， 剪去一个 菱形， 余下一个四边形， 称为第一次操作； 在余下的四边形纸 片中再
15、剪去一个菱形， 又剩下一个四边形， 称为第二次操 作； 依此类推， 若第狀次操作余下的四边形是菱形， 则称 原平行四边形为狀阶准菱形如图（ ） ，犃 犅 犆 犇中， 若犃 犅 ，犅 犆 ， 则犃 犅 犆 犇为阶准菱形 （） （） （ 第 题 ） ?（ ?） 苏步青是我国著名数学家、 教育家， 历任复旦大学教授、 校长等职 年当选为中国科学院学部委员苏步青 的主要研究领域是微分几何学他又是优秀的数学教育家， 从事数学教育达 年， 培养了大批数学人才 一次在德国， 苏步青与一位有名的数学家同乘电车时， 这位数学家出了一道关于奔跑的狗的题目给苏教授解 答 （ ） 判断与推理： 邻边长分别为和的平行四
16、边形是阶准菱 形； 小明为了剪去一个菱形， 进行了如下操作： 如图（） ， 把 犃 犅 犆 犇沿犅 犈折叠（ 点犈在犃 犇上） ， 使点犃落在犅 犆 边上的点犉， 得到四边形犃 犅 犉 犈请证明四边形犃 犅 犉 犈 是菱形 （ ） 操作、 探究与计算： 已知犃 犅 犆 犇的邻边长分别为，犪（犪） ， 且是阶 准菱形， 请画出犃 犅 犆 犇及裁剪线的示意图， 并在图形 下方写出犪的值； 已知犃 犅 犆 犇的邻边长分别为犪，犫（犪犫） ， 满足犪犫 狉，犫 狉， 请写出犃 犅 犆 犇是几阶准菱形 （ 贵州铜仁） 如图， 定义： 在直角三角形犃 犅 犆中， 锐角 的邻边与对边的比叫做角的余切， 记作
17、 ， 即 邻边 对边 犃 犆 犅 犆， 根据上述角的余切定义， 解下列问题： （ ） ； （ ） 如图， 已知 犃 ， 其中 犃为锐角， 试求 犃的值 （ 第 题） （ 广东珠海） 观察下列等式： ， ， ， ， ， 以上每个等式中两边数字是分别对称的， 且每个等式中组成 两位数与三位数的数字之间具有相同规律， 我们称这类等式 为“ 数字对称等式” （ ） 根据上述各式反映的规律填空， 使式子为“ 数字对称等 式” ： ； （ ） 设这类等式左边两位数的十位数字为犪， 个位数字为犫， 且 犪犫 ， 写出表示“ 数字对称等式” 一般规律的式 子（ 含犪、 犫） ， 并证明 （ 湖北恩施州） 如图
18、， 用纸折出黄金分割点： 裁一张正 方的纸片犃 犅 犆 犇， 先折出犅 犆的中点犈， 再折出线段犃 犈， 然 后通过折叠使犈 犅落到线段犈 犃上， 折出点犅的新位置犅 ， 因而犈 犅 犈 犅类似地， 在犃 犅上折出点犅 ， 使犃 犅 犃 犅 这个点犅 就是犃 犅的黄金分割点请你证明这个结论 （ 第 题） （ 广东湛江） 先阅读理解下面的例题， 再按要求解答下 列问题： 例题： 解一元二次不等式狓 解：狓 （ 狓 ） （狓 ） ， 狓 可化为（ 狓 ） （狓 ） 由有理数的乘法法则“ 两数相乘， 同号得正” ， 得 狓 ， 狓 狓 ， 狓 ； 解不等式组， 得狓 ； 解不等式组， 得狓 （狓 ）
19、 （狓 ） 的解集为狓 或狓 即一元二次不等式狓 的解集为狓 或狓 （ ） 一元二次不等式狓 的解集为； （ ） 分式不等式 狓 狓 的解集为； （ ） 解一元二次不等式狓 狓 （ 福建泉州） 在犃 犅 犆中，犘是犃 犅上的动点（犘异于 点犃、犅） ， 过点犘的直线截犃 犅 犆， 使截得的三角形与 犃 犅 犆相似， 我们不妨称这种直线为过点犘的犃 犅 犆的相 似线， 简记为犘（ 犾狓） ， （狓为自然数） （ ） 如图（） ，犃 ，犅犆， 当犅 犘犘 犃时，犘（犾） 、 犘（犾） 都是 獉獉 过点犘的犃 犅 犆的相似线（ 其中犾 犅 犆，犾 犃 犆） ， 此外还有条 （ ） 如图（） ，犆 ，
20、犅 ， 当犅 犘 犅 犃时， 犘 （ 犾狓） 截得的三角形面积为犃 犅 犆面积的 ?（ ?） 这道题是： 甲、 乙两人同时从相距 千米的两地出发， 相向而行甲每小时走千米， 乙每小时走千米甲带了 一只狗和他同时出发， 狗以每小时 千米的速度向乙奔去， 遇到乙后立即回头向甲奔去； 遇到甲又回头向乙奔去， 直 到甲、 乙两人相遇时狗才停止问这只狗共跑了多少千米路？对这个问题， 苏步青教授略加思索， 就算出了正确的答 案请你也想一想， 该怎么解答？ （） （） （ 第 题） （ 湖北襄阳） 根据国家发改委实施“ 阶梯电价” 的有关 文件要求， 某市结合地方实际， 决定从 年月日起对 居民生活用电试行
21、“ 阶梯电价” 收费， 具体收费标准见下表： 一户居民一个月用 电量的范围 电费价格（ 单位： 元 千瓦时） 不超过 千瓦时 犪 超过 千瓦时但不超 过 千瓦时的部分 犫 超过 千瓦的部分 犪 年月份， 该市居民甲用电 千瓦时， 缴电费 元； 居民乙用电 千瓦时， 缴电费 元该市一户居民在 年月以后， 某月用电狓千瓦时， 当月缴电费狔元 （ ） 上表中，犪；犫； （ ） 请直接写出狔与狓之间的函数关系式； （ ） 试行“ 阶梯电价” 收费以后， 该市一户居民月用电多少千 瓦时时， 其当月的平均电价每千瓦时不超过 元？ （ 安徽安庆一模） 先阅读下列材料， 再解答后面的问题： 材料： 我们规定，
22、 若犪 狀 犫（犪 且犪，犫） ， 则狀叫做以 犪为底犫的对数， 记为 犪犫（ 即 犪犫狀）如 ， 则叫 做以为底 的对数， 记为 （ 即 ） 问题： （ ） 计算以下各对数的值： ， ， ； （ ） 观察上式， 判断 ， ， 之间有什么关系？ （ ） 猜想一般性的结论： 犪（犕犖）（犪且犪 ，犕 ，犖 ） ， 并根据幂的运算法则：犪 狀 犪 犿 犪 狀犿和 上述定义证明你的猜想 （ 四川凉山州） 如图， 抛物线与狓轴交于犃（狓，） 、 犅（狓，） 两点， 且狓狓， 与狔轴交于点犆（， ） ， 其中狓， 狓是方程狓 狓 的两个根 （ ） 求抛物线的解析式； （ ） 点犕是线段犃 犅上的一个动点
23、， 过点犕作犕犖犅 犆， 交 犃 犆于点犖， 连结犆 犕， 当犆 犕犖的面积最大时， 求点犕 的坐标； （ ） 点犇（，犽） 在（） 中抛物线上， 点犈为抛物线上一动点， 在 狓轴上是否存在点犉， 使以犃、犇、犈、犉为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在， 求出所有满足条件的点犉的坐 标； 若不存在， 请说明理由 （ 第 题） （ 江苏苏州） 如图（） ， 小慧同学把一个正三角形纸片 （ 即犗 犃 犅） 放在直线犾 上， 边犗 犃与直线犾重合， 然后将三 角形纸片绕着顶点犃按顺时针方向旋转 ， 此时点犗运 动到了点犗处， 点犅运动到了点犅处； 小慧又将三角形纸 片犃 犗犅绕点犅按顺时针方向旋转
24、 ， 点犃运动到了 点犃处， 点犗运动到了点犗处（ 即顶点犗经过上述两次 旋转到达犗处） 小慧还发现： 三角形纸片在上述两次旋转过程中， 顶点犗运 动所形成的图形是两段圆弧， 即弧犗 犗和弧犗犗， 顶点犗 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和， 并且这两段圆弧与 直线犾 围成的图形面积等于扇形犃 犗 犗的面积、犃 犗犅 的面积和扇形犅犗犗的面积之和 小慧进行类比研究： 如图（ ） ， 她把边长为的正方形纸片 犗 犃 犅 犆放在直线犾上， 边犗 犃与直线犾重合， 然后将正方形 纸片绕着顶点犃按顺时针方向旋转 ， 此时点犗运动到了 点犗处（ 即点犅处） ， 点犆运动到了点犆处， 点犅运动到了 点犅处
25、； 小慧又将正方形纸片犃 犗犆犅绕点犅按顺时针 方向旋转 按上述方法经过若干次旋转后， 她提出了 如下问题： 问题（ ） ： 若正方形纸片犗 犃 犅 犆按上述方法经过次旋转， 求顶点犗经过的路程， 并求顶点犗在此运动过程中所形成 的图形与直线犾 围成图形的面积； 若正方形犗 犃 犅 犆按上述 方法经过次旋转， 求顶点犗经过的路程； 问题（ ） ： 正方形纸片犗 犃 犅 犆按上述方法经过多少次旋转， 顶点犗经过的路程是 槡 ？ 请你解答上述两个问题 （） （） （ 第 题 ） ?（ ?） 有一位阿拉伯商人， 临终前将他的三个儿子叫到身边， 对他们说： “ 我不久就要离开你们了， 我死后财产将全部
26、分 配给你们兄弟三人， 我已将分配方法写入遗嘱， 我死后， 你们有困难可以去找我的朋友数学家锡克” 老人说完最后一 句话， 就安详地离开了人世三兄弟十分悲痛， 处理完老人的后事， 接下来， 分家产之事就提上了日程， 三兄弟小心翼 翼地打开保险柜， 只见保险柜内还有一个小保险箱， 上面附着一张公文纸， 只见纸上写着： “ 将马厩中的 匹良马分 给三个儿子， 老大得总数的 、 老二得总数的 、 小儿子得总数的 ， 但分时不许把马杀掉 （ 江西） 如图所示， 电工李师傅借助梯子安装天花板上 距地面 的顶灯已知梯子由两个相同的矩形面组成， 每个矩形面的长都被六条踏板七等分， 使用时梯脚的固定跨 度为矩
27、形面与地面所成的角为 李师傅的身高为 ， 当他攀升到头顶距天花板 时， 安装起 来比较方便他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上， 请你 通过计算判断他安装是否比较方便？ （ 参考数据： ， ， ） （ 第 题） （ 广东佛山） 我们经常通过认识一个事物的局部或其 特殊类型， 来逐步认识这个事物比如我们通过学习两类特 殊的四边形， 即平行四边形和梯形（ 继续学习它们的特殊类 型如矩形、 等腰梯形等） 来逐步认识四边形 我们对课本里特殊四边形的学习， 一般先学习图形的定义， 再探索发现其性质和判定方法， 然后通过解决简单的问题巩 固所学知识 请解决以下问题： 如图， 我们把满足犃 犅犃 犇、 犆 犅
28、犆 犇且犃 犅犅 犆的四边形 犃 犅 犆 犇叫做“ 筝形” （ ） 写出筝形的两个性质（ 定义除外） ； （ ） 写出筝形的两个判定方法（ 定义除外） 并选出一个进行证明 （ 第 题）（ 备用图） （ 江苏常州） 已知： 如图（） ， 图形满足：犃 犇犃 犅， 犕犇犕 犅，犃 ，犕 图形与图形恰好拼 成一个菱形（ 如图（ ） ）记犃 犅的长度为犪，犅犕的长度为犫 （ ） 图中犅度， 图中犈度； （ ） 小明有两种纸片各若干张， 其中一种纸片的形状及大小 与图形相同， 这种纸片称为“ 风筝一号” ； 另一种纸片的 形状及大小与图形相同， 这种纸片称为“ 飞镖一号” 小明仅用“ 风筝一号” 纸片拼
29、成一个边长为犫的正十边 形， 需要这种纸片张； 小明用若干张“ 风筝一号” 和 “ 飞镖一号” 纸片拼成一 个“ 大风筝” （ 如图（ ） ） ， 其中犘 ，犙 ，犘 犐 犘 犑犪犫，犐 犙犑 犙请你在图中画出拼接线并保留 画图痕迹（ 本题中均为无重叠、 无缝隙拼接） （） （） （） （ 第 题） （ 江苏盐城） 利民商店经销甲、 乙两种商品， 现有如下 信息： 信息： 甲、 乙两种商品的进货单价之和是元； 信息： 甲商品零售单价比进货单价多元， 乙商品零售 单价比进货单价的倍少元 请根据以上信息， 解答下列问题： （ ） 甲、 乙两种商品的进货单价各多少元？ （ ） 该商店平均每天卖出甲商
30、品 件和乙商品 件经 调查发现， 甲、 乙两种商品零售单价分别每降 元， 这 两种商品每天可各多销售 件为了使每天获取更大 的利润， 商店决定把甲、 乙两种商品的零售单价都下降犿 元在不考虑其他因素的条件下， 当犿定为多少时， 才能 使商店每天销售甲、 乙两种商品获取的利润最大？每天 的最大利润是多少 ？ ?（ ?） 读完遗嘱， 三人来到马厩前， 望着 匹膘肥体壮的良马， 准备按遗嘱的规定分马看似简单的问题， 实际上分起 来不那么容易三兄弟分来分去总不能找到一种合理的方法， 因为他们无论如何也分不出整数马匹来， 不由地埋怨起 老父亲来， 老二说： “ 这是一份根本无法执行的遗嘱！ ” “ 谁说
31、遗嘱无法执行啊？ ” 随着说话声， 锡克先生牵着一匹枣红马 走进院子里来三兄弟见到锡克先生就像见到救兵一样， 老大说： “ 您是数学家， 按照遗嘱分马只能拜托您了” 锡克先 生将马缰绳交给老大说： “ 这样吧， 我把我的马借给你们按照遗嘱分马， 分完后再还给我就是了” （ 江苏无锡） 十一届全国人大常委会第二十次会议审 议的个人所得税法修正案草案（ 简称“ 个税法草案” ） ， 拟将现 行个人所得税的起征点由每月 元提高到 元， 并 将级超额累进税率修改为级， 两种征税方法的级 税率情况见下表： 税 级 现行征税方法 月应纳 税额狓 税率 速算 扣除数 草案征税方法 月应纳 税额狓 税率 速算
32、 扣除数 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 注： “ 月应纳税额” 为个人每月收入中超出起征点应该纳税部 分的金额 “ 速算扣除数” 是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一 个数 例如： 按现行个人所得税法的规定， 某人今年月的应纳税额为 元， 他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算： 方法一： 按 级超额累进税率计算， 即 （ 元） ； 方法二： 用“ 月应纳税额适用税率速算扣除数” 计算， 即 （ 元） （ ） 请把表中空缺的“ 速算扣除数” 填写完整； （ ） 甲今年月缴了个人所得税 元， 若按“ 个税法草 案” 计算， 则他应缴税款多少元？ （ ） 乙今年月缴了个人所得税千多元，
33、 若按“ 个税法草 案” 计算， 他应缴纳的税款恰好不变， 那么乙今年月所 缴税款的具体数额为多少元？ （ 湖北十堰） 请阅读下列材料： 问题： 已知方程狓 狓 ， 求一个一元二次方程， 使它的 根分别是已知方程根的倍 解： 设所求方程的根为狔， 则狔 狓， 所以狓狔 把狓狔 代入已知方程， 得（ 狔 ） 狔 化简， 得狔 狔 这种利用方程根的代换法求新方程的方法， 我们称为“ 换根 法” 请用阅读材料提供的“ 换根法” 求新方程： （ 要求： 把所求方程 化为一般形式） （ ） 已知方程狓 狓 ， 求一个一元二次方程， 使它的根 分别是已知方程根的相反数， 则所求方程为； （ ） 已知关于狓
34、的一元二次方程犪 狓 犫 狓犮 （犪 ） 有两 个不等于零的实数根， 求一个一元二次方程， 使它的根分 别是已知方程根的倒数 第章专 题 拓 展 阅读理解题 解析 设扇形的半径为狉， 根据弧长公式得犛 狉 犾 解析 根据题意化简 狓 狓 狓 狓 ， 得（狓） （ 狓） 整理得狓 狓（狓狓 ） ， 即 狓 解得狓 解析 设犛 ， 则 犛 ， 因此 犛犛 ， 犛 解析 依题意犃 犅犃 犆 ， 则犅 犆犽， 此时犃 犅 犆周 长为犽 又犇 犆 犅 犆 犽， 得犇 犆犽 ， 此时犅 犆 犇周长为犽 犽又犇 犈 犆 犇 犽， 得犇 犈犽 ， 此时犆 犇 犈周长为犽 犽 ， 依此类推， 知第 个黄金三角形
35、周长为犽 （ 犽） 解析 先确定 槡 的近似值， 然后确定槡 的整 数部分 解析 狓 ，狓，狓 ， 规律是按的倍 数循环 犪 犫 犪 犫 解析 给出的三个特例均符合 犪 犫 犪 犫 ， 可由特殊 总结一般性 解析 依题意知犿狀（ 犻犼） ， 又犻，犼均为正整 数， 所以犿狀的最小值为 又犿狀槡犿 狀， 得犿 狀 犿狀 （） （） 点犆 ， （） 是线段犃 犅的“ 邻近点” ， 点犆 ， （） 在直线狔狓 上 点犃的纵坐标与点犅的纵坐标相同， 犃 犅狓轴 犆 ， （） 到线段犃 犅的距离是 ， 犆 ， （） 是线段犃 犅的“ 邻近点” （）点犙（犿， 狀） 是线段犃 犅的“ 邻近点” ， 点犙（
36、犿，狀） 在直线狔狓 上 狀犿 ， 狀犿 又犃 犅狓轴， 此时点犙（犿， 狀） 到线段犃 犅的距离是狀 狀 犿 当犿 时， 有狀犿 又犃 犅狓轴， 此时点犙（犿， 狀） 到线段犃 犅的距离是 狀 狀 犿 综上所述， 犿 根据题意， 可得狔狓犿 ， “ 关联数” ，犿 的一次函数是正比例函数， 犿 ， 解得犿 故关于狓的方程 狓 犿 可变为 狓 ， 解得狓 检验： 把狓 代入最简公分母（狓 ） ， 故狓 是原分式方程的解 （） 如图所示（ 注： 也可作点犈关于犅 犆的对称点） ： （ 第 题） （） （）利用邻边长分别为和的平行四边形经过两次 操作， 所剩四边形是边长为的菱形， 故邻边长分别为和
37、的平行四边形是阶准菱形； 故 答案为 由折叠知：犃 犅 犈犉 犅 犈，犃 犅犅 犉， 四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 犃 犈犅 犉 犃 犈 犅犉 犅 犈 犃 犈 犅犃 犅 犈 犃 犈犃 犅 犃 犈犅 犉 四边形犃 犅 犉 犈是平行四边形 四边形犃 犅 犉 犈是菱形 （）如图（） 所示： （ 第 题（） ） 犪 犫狉，犫 狉， 犪 狉狉 狉 如图（） 所示： （ 第 题（） ） 故犃 犅 犆 犇是 阶准菱形 （）槡 （） 犃 ， 设犅 犆 ，犃 犆 ， 则犃 犅 犃犃 犆 犅 犆 （） （） （ 犪犫） 犫 （犪犫）犪 犪 （犪犫） 犫 （ 犫犪） 证明： 左 边（ 犪犫） （ 犫 犪） （
38、 犪犫） （ 犫犪） ， 右边（ 犪 犫） （ 犫犪） （ 犪犫） （ 犫犪） ， 所以左边右边 设正方形犃 犅 犆 犇的边长为 犈为犅 犆的中点， 犅 犈 犃 犈犃 犅 犅 犈 槡 槡 又犅 犈犅 犈 ， 犃 犅 犃 犈犅 犈 槡 犃 犅 犃 犅 ， 犃 犅 犃 犅（ 槡 ） 点犅 是线段犃 犅的黄金分割点 （）狓 或狓 （）狓 或狓 （） 狓 狓狓（狓 ） ， 狓 狓 可化为狓（狓 ） 由有理数的乘法法则“ 两数相乘， 同号得正” ， 得 狓 ， 狓 ； 或 狓 ， 狓 解不等式组， 得 狓 ； 解不等式组， 无解 不等式狓 狓 的解集为 狓 （） （） 槡 （） （） 当狓 时， 狔 狓
39、； 当 狓 时， 狔 狓 ； 当狓 时， 狔 狓 （） 当居民月用电量狓 时， 狓 狓， 故狓 当居民月用电量狓满足 狓 时， 狓 狓， 解得狓 当居民月用电量狓满足狓 时， 狓 狓， 解得狓 综上所述， 试行“ 阶梯电价” 后， 该市一户居民月用电量不 超过 千瓦时时， 其月平均电价每千瓦时不超过 元 （） （） （） 犪（犕犖） 犪犕 犪犖 证明： 设 犪犕犫， 犪犖犫 则犪 犫 犕，犪 犫 犖 犕犖犪 犫 犪 犫 犪 犫 犫 犫犫 犪（ 犕犖） ， 即 犪犕 犪犖 犪（犕犖） （）狓 狓 ， 狓 ，狓 犃（ ，） ，犅（ ，） 又抛物线过点犃、犅、犆， 故设抛物线的解析式为狔犪（狓 ）
40、（狓 ） 将点犆的坐标代入， 求得犪 抛物线的解析式为狔 狓 狓 （） 设点犕的坐标为（犿，） ， 过点犖作犖犎狓轴于点 犎（ 如图（） ） （ 第 题（） ） 点犃的坐标为（ ， ） ， 点犅的坐标为（，） ， 犃 犅 ，犃犕犿 犕犖犅 犆， 犃犕犖犃 犅 犆 犖犎 犆 犗 犃犕 犃 犅 犖犎 犿 犖犎犿 犛犆 犕犖犛犃 犆 犕犛犃 犕犖 犃犕犆 犗 犃犕犖犎 （犿 ） 犿 （） 犿 犿 （犿 ） 当犿 时， 犛犆 犕犖有最大值， 此时， 点犕的坐标为（，） （）点犇（， 犽） 在抛物线狔 狓 狓 上， （ 第 题（） ） 当狓 时， 犽 点犇的坐标是（ ， ） 如图（） ， 当犃 犉为平行
41、四边形 的边时，犃 犉瓛犇 犈 犇（， ） ， 犈（， ） ，犇 犈 犉（ ，） ， 犉（，） 如图（） ， 当犃 犉为平行四边形 的对角线时， 设犉（ 狀，） ， （ 第 题（） ） 则平行四边形的对称中心为 狀 ， （） 犈 的坐标为（ 狀 ，） 把犈 （ 狀 ，） 代入狔 狓 狓 ， 得狀 狀 解得狀 槡 犉（槡 ， ） ，犉（槡 ，） 问题（） ： 如图， 正方形纸片犗 犃 犅 犆经过次旋转， 顶点犗 运动所形成的图形是三段弧， 即弧犗 犗、 弧犗犗以及弧 犗犗 （ 第 题） 顶点犗运动过程中经过的路程为 槡 槡 （） 顶点犗在此运动过程中所形成的图形与直线犾围成图 形的面积为 （槡
42、） 正方形犗 犃 犅 犆经过次旋转， 顶点犗经过的路程为 槡 槡 （） 问题（） ：正方形犗 犃 犅 犆经过次旋转， 顶点犗经过 的路程为 槡 槡 （） ， 槡 槡 （ ） 正方形纸片犗 犃 犅 犆经过了 次旋转 过点犃作犃 犈犅 犆于点犈， 过点犇作犇 犉犅 犆于点犉 犃 犅犃 犆， 犆 犈犅 犈 在 犃 犈 犆和 犇 犉 犆中， 犃 犈 犈 犆， 犃 犈犈 犆 又 犃 犈 犃 犆 犇 犉 犇 犆， 犇 犉犇 犆 犃 犆犃 犈 犃 犈 李师傅站在第三级踏板上时， 头顶距地面高度约为： （ 第 题） 头顶与天花板的距离约为： ， 他安装比较方便 （） 性质有如下参考选项： 性质： 只有一组对角
43、相等（ 或者犅犇，犃犆） ； 性质： 只有一条对角线平分对角； 性质： 两条对角线互相垂直， 其中只有一条被另一条平分； 性质： 两组对边都不平行 （） 判定方法的条件有多种， 给出如下参考选项： 判定方法： 只有一条对角线平分对角的四边形是筝形； 判定方法： 两条对角线互相垂直且只有一条被平分的 四边形是筝形； 判断方法的证明： 已知： 四边形犃 犅 犆 犇中， 对角线犃 犆平分犃和犆， 对角 线犅 犇不平分犅和犇求证： 四边形犃 犅 犆 犇为筝形 证明：犅 犃 犆犇 犃 犆，犅 犆 犃犇 犆 犃，犃 犆犃 犆 犃 犆 犇犃 犆 犅 犃 犅犃 犇，犆 犇犆 犅 易知犃 犆犅 犇 又犃 犅 犇犆 犅 犇， 犅 犃 犆犅 犆 犃 犃 犅犅 犆 由知四边形犃 犅 犆
