1、 - 1 - 相似三角形 课前热身课前热身 1如图，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是（ ） A ADBC DFCE B BCDF CEAD C CDBC EFBE D CDAD EFAF 2.如图所示，给出下列条件： BACD ； ADCACB； ACAB CDBC ； 2 ACAD AB 其中单独能够判定ABCACD的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 3.已知ABCDEF，且 AB：DE=1：2，则ABC 的面积与DEF 的面积之比为（ ） A1：2 B1：4 C2：1 D4：1 4.如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，
2、 （2）CDECAB， （3）CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4. 其中正确的有： （ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【参考答案】【参考答案】 1.1. A A 2.2. C C 3.3. B B 4.4. D D A B D C E F 1 题 A C D B （第 2 题图） - 2 - 考点聚焦考点聚焦 1了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质 2 探索并掌握三角形相似的性质及条件， 并能利用相似三角形的性质解决简单的实际 问题 3掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小 4掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据
3、坐标描出点的位置 或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置 备考兵法备考兵法 1证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基 本图形的应用，如“A 型” “X 型” “母子型”等 2用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学 问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目 的解一定要符合题意 3用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较 为常见的考法，要注意训练 考点链接考点链接 一、相似三角形的定义一、相似三角形的定义 三边对应成_，三个角对应_的两个三角
4、形叫做相似三角形 二、相似三角形的判定方法二、相似三角形的判定方法 1. 若 DEBC（A 型和 X 型）则_ 2. 射影定理：若 CD 为 RtABC 斜边上的高（双直角图形） 则 RtABCRtACDRtCBD 且 AC 2=_，CD2=_，BC2=_ _ E A D CB E A D C B AD C B 3. 两个角对应相等的两个三角形_ 4. 两边对应成_且夹角相等的两个三角形相似 5. 三边对应成比例的两个三角形_ 三、相似三角形的性质三、相似三角形的性质 - 3 - 1. 相似三角形的对应边_，对应角_ 2. 相似三角形的对应边的比叫做_，一般用 k 表示 3. 相似三角形的对应
5、角平分线，对应边的_线，对应边上的_线的比等于 _比，周长之比也等于_比，面积比等于_ 典例精析典例精析 例例 1 1（山西太原）（山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是 30 米，一天晚上，当小华走到距路灯乙 底部 5 米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部已知小华的身高为 1.5 米，那么路灯甲的高为 米 【答案】9. 【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x米，由相似得 1.55 30 x ，解得9x ，所以路灯甲的高为 9 米，故填 9. 例例 2 2（浙江丽水浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的 44 正方形方格纸中，划格点三角形（三 角形的三个顶点都是
6、小正方形的顶点） ，若以格点 P，A，B 为顶点的三角形与ABC 相似（全 等除外） ，则格点 P 的坐标是_ 【答案】 P1（1，4） ，P2（3，4） 点拨点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性 拓展变式拓展变式 在 RtABC 中，斜边 AC 上有一动点 D（不与点 A，C 重合） ，过 D 点作直线 截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，则满足这样条件的直线共有_条 【答案】 3 例例 3 3 如图，已知平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，DE 交 AC 于点 F，AC，DE 把平行四 边形 ABCD 分成的四部分的面积分别为 S1，
7、S2，S3，S4下面结论：只有一对相似三角形； 甲 小华乙 - 4 - EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正确的结论是（ ） A B C D 【答案】 B 【解析】 ABDC， AEFCDF， 但本题还有一对相似三角形是ABCCDA （全等是相似的特例） 是错的 1 2 AEEF CDDF ，EF：ED=1：2 是错的 SAEF：SCDF =1：4，SAEF：SADF =1：2 S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，正确 点拨点拨 利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比； （共底三角形的 面积之比等于高之比） 和全等三角形一样， 中考试题往往把需要证
8、明的两个相似三角形置于其他图形 （如等 边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充 分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相 似三角形 拓展变式拓展变式 点 E 是ABCD 的边 BC 延长线上的一点，AE 与 CD 相交于点 G，则图中相似三角形共有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【答案】 C 迎考精迎考精练练 一、一、选择题选择题 1.（江苏省）（江苏省）如图，在5 5方格纸中，将图中的三角形甲平移到图 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ） A先向下平移 3
9、格，再向右平移 1 格 B先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 C先向下平移 2 格，再向右平移 2 格 - 5 - D先向下平移 3 格，再向右平移 2 格 2.（浙江浙江杭州）杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角 形边长分别是 3 和 4 及x，那么x的值（ ） A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无数个 3.3.（浙江宁波（浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的 中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） AAOM和AON都是等边三角形 B四边形MBON和四边形
10、MODN都是菱形 C四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 4.( (浙江浙江义乌义乌) )在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。 已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ） A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 5.（湖南湖南娄底）娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要 使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致 使准星 A 偏离到 A，若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA=0.0015
11、 米，则小明射击到的点 B偏 离目标点 B 的长度 BB为 （ ） A3 米 B0.3 米 C0.03 米 D0.2 米 6.6.（甘肃白银甘肃白银）如图，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿， 使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相 距 22m，则旗杆的高为（ ） D B C A N M O - 6 - A12m B10m C8m D7m 7. （天津市）（天津市） 在ABC和DEF中，22ABDEACDFAD ， 如果ABC 的周长是 16，面积是 12，那么DEF的周长、面积依次为（ ） A8，3 B8，6 C4，3
12、 D，6 二、二、填空题填空题 1. ( (山东山东滨州滨州) )在平面直角坐标系中，ABC顶点A的坐标为(2 3)，若以原点O为位似中 心，画ABC的位似图形ABC ，使ABC与ABC 的相似比等于 1 2 ，则点 A 的 坐标为 2.( (黑龙江黑龙江牡丹江牡丹江) )如图，RtABC中，90ACB ，直线EFBD，交AB于点E，交 AC于点G，交AD于点F，若 1 3 AEGEBCG SS 四边形 ，则 CF AD 3.（湖北湖北孝感）孝感）如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形 成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49则ABC
13、的 面积是 4.4.（山东山东日照）日照）将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为 点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF的长度是 A E F D G C B 第 2 题 - 7 - 5.（福建福建莆田）莆田）如图，AB、两处被池塘隔开，为了测量AB、两处的距离，在AB外选一 适当的点C，连接ACBC、，并分别取线段ACBC、的中点EF、，测得EF=20m，则 AB=_m 三、三、解答题解答题 1.（湖南郴州湖南郴州）如图，在DABC中，已知DEBC，AD=4，DB=8，DE=3， （1）求 AD AB 的值，
14、（2）求BC的长 2.（湖南湖南常德常德）如图，ABC内接于O，AD是ABC的边BC上的高，AE是O的直径，连 接BE，ABE与ADC相似吗？请证明你的结论 3.( (湖北湖北武汉武汉) )如图 1， 在RtABC中，90BAC，ADBC于点D， 点O是AC边 上一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC边于点E （1）求证：ABFCOE； （2）当O为AC边中点，2 AC AB 时，如图 2，求 OF OE 的值； A E C F B 第 5 题图 E （第 4 题图） A B C F B A C B D E - 8 - （3）当O为AC边中点， AC n AB 时，请直接写出 OF OE 的
15、值 4.（安徽）（安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交 AC于F，ME交BC于G （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG，如果45，AB4 2，AF3，求FG的长 B B A A C O E D D E C O F 图 1 图 2 F A B M F G D E C 第第 4 题图题图 - 9 - 5.（吉林省）（吉林省）如图，O中，弦ABCD、相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F， 使DFAD，连接BC、BF （1）求证：CBEAFB； （2）当 5 8 BE FB 时，求 CB AD 的值 6.( (广东广东梅州梅州) )如
16、图，梯形ABCD中，ABCD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交 于点G （1）求证：CDFBGF； （2） 当点F是BC的中点时， 过F作EFCD交AD于点E， 若6 c m4 c mA BE F， 求CD的长 第 5 题图 O F D A E B C D C F E A B G 6 题 - 10 - 【参考答案】【参考答案】 选择题选择题 1.1. D D 2.2. B B 3.3. C C 4.4. A A 5.5. B B 6.6. A A 7.7. A A 填空题填空题 1.1. （4，6） 2.2. 1 2 3.3. 144 4.4. 7 12 或 2; 5.5. 40 解答题解
17、答题 1.1. 解： （1）48ADDB=， 4812ABADDB=+=+= 41 123 AD AB = （2）DEBC，所以ADEABC DEAD BCAB = 3DE= 31 3BC = 9BC= 2.2. ABE 与ADC相似理由如下： 在ABE与ADC中 AE是O的直径， ABE=90 o， AD是ABC的边BC上的高， - 11 - ADC=90 o， ABE=ADC 又同弧所对的圆周角相等， BEA=DCA ABE ADC 3.3. 解： （1）ADBC，90DACC 90BACBAFC ， 90OEOBBOACOE， 90BOAABF，ABFCOE ABFCOE ； （2）解法
18、一：作OGAC，交AD的延长线于G 2ACAB，O是AC边的中点，ABOCOA 由（1）有ABFCOE，ABFCOE ， BFOE 90BADDAC，90DABABDDACABD ， 又90BACAOG，ABOA ABCOAG ，2OGACAB OGOA，ABOG，ABFGOF ， OFOG BFAB ，2 OFOFOG OEBFAB 解法二：902BACACABADBC ，于D， B A D E C O F B A D E C O F G - 12 - RtRtBADBCA2 ADAC BDAB 设1AB ，则252ACBCBO， 211 55 525 ADBDAD， 90BDFBOEBDF
19、BOE ， BDBO DFOE 由（1）知BFOE，设OEBFx， 1 5 2 5 DFx ，10 xDF 在DFB中 22 11 510 xx， 2 3 x 24 222 33 OFOBBF 4 2 3 2 2 2 3 OF OE （3） OF n OE 4.4. （1）证：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM（写出两对即可）以下证明AMF BGM AFMDMEEAEBMG，AB AMFBGM （2）解：当45时，可得ACBC且ACBC M为AB的中点，AMBM2 2 又AMFBGM， AFBM AMBG 2 22 28 33 AM BM BG AF 又4 2cos454ACBC， 84
20、 4 33 CG ，431CF 2222 45 1( ) 33 FGCFCG 5.5. （1）证明：,AEEB ADDF ED是ABF的中位线， - 13 - ED,BF ,CEBABF 又,CA ,CBEAFB （2）解：由（1）知， CBEAFB, 5 . 8 CBBE AFFB 又2,AFAD 5 4 CB AD 6.6. （1）证明：梯形ABCD，ABCD， CDFFGBDCFGBF， CDFBGF （2） 由（1）CDFBGF， 又F是BC的中点，BFFC CDFBGF， DFFGCDBG， 又EFCD，ABCD， EFAG，得2EFBGABBG 22 4 62BGEFAB ， 2cmCDBG D C F E A B G 6 题图
