1、 1 2017-2018 学年河南省鲁山县第一高级中学高二 6 月月考 数学试卷（文科） 一、 选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 ? ?12z m m i? ? ? ? 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是（ ） A. ? ?1,2? B. ? ?2,1? C. ? ?1,? D. ? ?,2? 2.已知集合 2x | x 2 x 0A ? ? ?， x | x aB?，若 AB? ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 2a? B. 2a? C. 0a? D. 0a? 3.变量 X 与 Y
2、 相对应的一组数据为 (10,1)， (11.3,2)， (11.8,3)， (12.5,4)， (13,5)；变量U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5)， (11.3,4)， (11.8,3)， (12.5,2)， (13,1)， r1表示变量Y 与 X 之间的线性相关系数， r2表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则 ( ) A r2B” 是 “sin AsinB” 的充分条件，则下列命题是真 命题的是 ( ) A p 或 q B p 且 q C p 或 q D p 且 q 6.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说： “ 罪犯在乙、丙、丁三人
3、之中 ” ；乙说： “ 我没有作案，是丙偷的 ” ；丙说： “ 甲、乙两人中有一人是小偷 ” ；丁说： “ 乙说的是事实 ” 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ( ) A.乙 B.甲 C.丁 D.丙 7.“1 时，( ) 2logg x x= ，则函数 ( ) ( )f x g x 的大致图象为 二 . 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，若 c o s ( 2 ) c o sc a B a b A? ? ?，则ABC? 的形状是 _. 14
4、.已知向量 ? ?2,1?a ， ? ?0,3?b ，若向量 ba? 与 ? ?2,1?c 垂直 ，则实数 ? 等于 . 15.定义： , m in , , a a bab b a b? ? ?. 在区域 0206xy? ?内任取一点 ( , )Pxy ，则 x ， y 满足 ? ? 44,623m i n ? yxyxyx 的概率为 . 16.在平面直角坐标系 xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合已开 始 log( 1)kSS k? ? 是 结 束 S输 出 1kk?否2, 1kS?3 知点 ? ?,Pxy 是角 ? 终边上一点， ? ?0OP r r?，定义
5、? ? r yxf ? 对于下列说法： 函数 ?f ? 的值域是 2, 2?； 函数 ?f ? 的图象关于原点对称； 函数 ?f ? 的图象关于直线 34x ? 对称； 函数 ?f ? 是周期函数，其最小正周期为 2? ； 函数 ?f ? 的单调递减区间是 32 , 2 , .44k k k Z? ? ?其中正确的是 （填上 所有正确命题的序号） 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 17. 已知正项数列满足 24 ( 1)nnSa?。 （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设11nnnb aa?，求数列 nb 的前 n 项和 Tn。
6、18. （本题满分 12 分） 某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据 (单位：小时 ) （ ）应收集多少位女生的样本数据？ （ ）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运 动时间的频率分布直方图 (如图 14 所示 )，其中样本数据的分组区间为： 0， 2， (2， 4， (4， 6， (6， 8，(8， 10， (10， 12估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 () 在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动
7、时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为 “ 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 ” P(K2 k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7. 879 附： K2 n（ ad bc）2（ a b）（ c d）（ a c）（ b d） 4 19（本题满分 12 分） 如图，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1AA? 底面 ABCD ，底面 ABCD 是梯形， /AB DC ， 90BAD? ? ? ， 1 1.2AB AD CD? ? ? （ ）求证：平面 1BCC?
8、 平面 1BDC ； （ ）在线段 11CD上是否存在一点 P ，使 /AP 平面 1BDC . 若存在，请确定点 P的位置；若不存在，请说明理由 . 20. (本小题满分 12 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 34xy?相切 （ 1）求圆 O 的方程； （ 2）圆 O 与 x 轴相交于 AB， 两点，圆内的动点 P 使 PA PO PB， ， 成等比数列，求 PA PB? 的取值范围 21（本小题满分 14 分） 若存在实常数 k 和 b ，使得函数 ()fx和 ()gx对其定义域上的任意实数 x 分别满足： ()f x kx b?和 ()g x kx b?，则称
9、直线 :l y kx b?为 ()fx和 ()gx的 “ 隔离直线 ” 已知 2()hx x? ， ( ) 2 ln (x e x e? ? 为自然对数的底数 ) （ 1）求 ( ) ( ) ( )F x h x x?的极值； （ 2）函数 ()hx 和 ()x? 是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由 5 22.（本小题满分 10 分） 已知曲线 1C 的参数方程为 cossinxy ? ?（ ? 为参数），将曲线 1C 上所有点 的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标伸长到原来的 3 倍，得到曲线 2C . （ ）求曲线 2C 的普通方程； （ ）已知点 (1,1
10、)B ，曲线 2C 与 x 轴负半轴交于点 A ， P 为曲线 2C 上任意一点， 求22PA PB? 的最大值 . 文科数学学科试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D C A A D D C A D 二填空题： 13. 等腰或直角三角形 ； 14. 1; 15. 23 ; 16. 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 17. () 整理得 21 ? ?nn aa ? 4 分 又 11?a 得 12 ? nan ? 6 分 () 由（ 1）知 )12 112 1(21 ? nnbn? 8 分
11、 所以 12 ? nnTn? 12 分 18解： (1)300 450015 000 90，所以应收集 90 位女生的样本数据 . 3 分 (2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为 1 2(0.100 0.025) 0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. ?7分 6 D 1 C 1B 1A 1D CBA(3)由 (2)知， 300 位学生中有 3000.75 225(位 )的每周平均体育运动时间超过 4 小时， 75 人的每周平 均体育运动时间不超过 4 小时又因为样本数据中有 210 份是关于男生的， 90 份是关于女生的，
12、所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过 4 小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得 K2 300 （ 16530 4560 ）27522521090 10021 4.7623.841. 所以有 95%的把握认为 “ 该校学生的每周平均 体育运动时间与性别有关 ” ?12 分 19.证明：（ ）因为 1AA? 底面 ABCD ， 所以 1CC? 底面 ABCD ， 因为 BD? 底面 ABCD ， 所以 1 .CC BD? ?2 分 因为底面 ABCD 是梯形
13、， /AB DC ， 90BAD? ? ? ， 1 .2AB AD CD? 因为 1AB? ，所以 1AD? ， 2.CD? 所以 2BD? ， 2.BC? 所以在 BCD? 中， 2 2 2 .BD BC CD? 所以 90 .CBD? ? ? 所以 .BD BC? ?4 分 又因为 1 .CC BD? 所以 BD? 平面 1.BCC 因为 BD? 平面 1BDC ， 所以平面 1BCC? 平面 1.BDC ?6 分 （ ）存在点 P 是 11CD的中点，使 /AP 平面 1BDC ?8 分 证明如下：取线段 11CD的中点为点 P ，连结 AP , 所以 /1CP CD ，且 .1 12C
14、P CD?因为 /AB DC ， 1 .2AB CD? 所以 /1CP AB ，且 .1CP AB? 所以四边形 1ABCP 是平行四边形 . ?10 分 所以 / .1AP BC 又因为 1BC? 平面 1BDC ， AP? 平面 1BDC ， 7 所以 /AP 平面 .1BDC ?12 分 20（ 1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 34xy?的距离， 即 4 213r ? 得圆 O 的方程为 224xy? -6 分 （ 2）不妨设 1 2 1 2( 0 ) ( 0 )A x B x x x?， ， ， ，由 2 4x? 即得 ( 2 0) (2 0)AB? ， ， ，
15、设 ()Px y， ，由 PA PO PB， ， 成等比数列，得 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x y x y x y? ? ? ? ? ? ? 即222xy? -8分 ( 2 . ) ( 2 . )P A P B x y x y? ? ? ? ? ? ? ? 224xy? ? ? 22( 1).y?-10 分 由于点 P 在圆 O 内，故 222242.xyxy? ?， 由此得 2 1y? 所以 PAPB 的取值范围为 20)?， -12 分 21 解 (1) ( ) ( ) ( )F x h x x? ? ?2 2 ln ( 0)x e x x?， 2 2 ( ) ( )(
16、) 2 e x e x eF x x xx? ? ? ? ? 2 分 当 xe? 时， ( ) 0Fx? ? ?3 分 ?当 0 xe? 时 ， ( ) 0Fx? ? ，此时函数 ()Fx递减； 当 xe? 时， ( ) 0Fx? ? ，此时函数 ()Fx递增； 当 xe? 时， ()Fx取极小值，其极小值为 0 ?6 分 8 (2)解法一：由（ 1）可知函数 )(xh 和 )(x? 的图象在 ex? 处有公共点，因此若存在 )(xh和 )(x? 的隔离直线，则该直线过这个公共点 设隔离直线的斜率为 k ，则直线方程为 )( exkey ? ，即 ekekxy ? ?8 分 由 )()( Rxekekxxh ? ，可得 02 ? ekekxx 当 Rx? 时恒成立 2)2( ek ? ，
