1、运用全等三角形证题的基本思路运用全等三角形证题的基本思路 运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何问题 那么如何证明两 个三角形全等呢？一般来说，应根据题设条件，结合图形寻求边或角相等，使之 逐步逼近某一判定公理或定理，其基本思路有： 一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相等一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相等 例例 1 已知：如图 1，ABAC，ADAE，12，求证：BDCE 分析 ： 要证明 BDCE，只要证明ABDACE因为已知条件已给出了有两 边对应相等，所以只需证明这两边的夹角也相等，即BADCAE而根据 图形和已知条件“12”，即可获证 证明：证明：12， 1
2、BAC2BAC，即BADCAE 在ABD 和ACE 中， ABDACE（SAS），故 BDCE 例例 2 已知：如图 2，ABDF，ACDE，BEFC，求证：ABDF 分析 ： 要证明 ABDF， 只要证明BF， 由于B、 F 分别在ABC 和DFE 中，这就要证明ABCDFE，因为已知条件给出了两边对应相等，所以可证 明两个三角形的第三条边对应相等，即 BCFE，而根据图形和已知条件“BE FC”，即可获证 证明：证明：BEFC， BEECFCCE，即 BCFE 在ABC 和DFE 中， ABCDFE（SSS）， BF，故 ABDF 二、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相等二、
3、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相等 例例 3 已知：如图 3，ABCD，ADBC求证：ABCD，ADBC 分析：要证明 ABCD，ADBC，只要连结 AC，证明ABCCDA，因为 已知条件告诉 ABCD，ADBC，这就等于告诉12，34，而 AC 又是它们的夹边，则问题获证 证明：证明：连结 AC，ABCD，ADBC， 12，34， 在ABC 和CDA 中， ABCCDA（ASA），故 ABCD，ADBC 例例 4 已知：如图 4，12，34，求证：BECD 分析：要证明 BECD，只要证明BCECBD，在这两个三角形中，1 2，34，而1 的对边是 BC，2 的 对边是 CB
4、，且有 BCCB，则问题获证 证明：在BCE 和CBD 中， BCECBD（AAS） 故 BECD 三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等 例例 5 已知：如图 5，ABC 中，BAC90，ABAC，直线 MN 经过点 A， BDMN，CEMN，垂足为 D、E求证：BDAE 分析 ： 要证明 BDAE，只要证明ABDCAE，现有条件是一边和该边的对 角对应相等，则还需再证明另一角对应相等，而不难发现1290，2 390，所以13，则问题获证 证明：BDMN，CEMN， ADBCEA90， 而BAC90，1290 2390 13
5、在ADB 和CEA 中， ADBCEA（AAS），故 BDAE 四、有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一四、有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一 角对应相等角对应相等 例例 6 已知：如图 6，ABC 中，ACB90，CBA45，E 是 AC 上一点， 延长 BC 到 D，使 CDCE求证：BFAD 分析 ： 要证明 BFAD只要证明1290，这时AFE90，又34 90，23，那么只需证明14，这时只要证明ACDBCE，在 这两个三角形中，已知有一边和该边的邻角对应相等，只要证明 CACB，此时 条件中有CBA45，可得到 CACB，则
6、问题获证 证明：ACB90，CBA45， CACB 在ACD 和BCE 中， ACDBCE（SAS） 14 4390，32 1290，故 BFAD 例例 7 已知：如图 7，ABAC，BC，12，求证：ADAE 分析：要证明 ADAE，只要证明ABDACE，由已知条件知，有一边和 该边的邻角对应相等， 只要再证明另一角对应相等， 此时有12， 可得BAD CAE，则问题获证 证明：12 1BAE2BAE， BADCAE， 在ABD 和ACE 中， ABDACE（ASA），故 ADAE 五、对于直角三角形来讲，则优先考虑运用五、对于直角三角形来讲，则优先考虑运用“斜边、直角边公理斜边、直角边公理
7、”，当此路不通，当此路不通 时，再回到上述思路中去时，再回到上述思路中去 例例 8 已知：如图 8，ADDB，BCCC，ACBD，求证：ADBC 分析：要证明 ADBC，只要证明ADBBCA，而这两个三角形是直角三 角形，可考虑运用“斜边、直角边公理”证明，此时由题设条件 ACBD，结合图 形 ABBA，则问题获证 证明：ADDB，BCCA， ADB 和BCA 都是直角三角形， 在 RtADB 和 RtBCA 中， RtADBRtBCA（HL），故 ADBC 六、对于运用全等三角形证明的结论一次不到位时，则可反复运用上述思路进六、对于运用全等三角形证明的结论一次不到位时，则可反复运用上述思路进
8、 行证明行证明 例例 9 已知：如图 9，ABDE，AFCD，EFBC，AD，求证：BFCE 分析：要证明 BFCE，只要考虑证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角 互补”，这需要根据已知条件和图形特点，先进行比较，再作选择，由于图中没 有现成的“同位角”和“内错角”，但添加辅助线后易得“内错角”（连结 BE 或 CF） ； 另一方面，若考虑“同旁内角”，则要证“互补”，而由已知条件较易证得 ABFDEC，估计进而证明角“相等”比证明角“互补”容易，所以可优先考虑 证明“内错角相等”，即连结 BE，设法证明FBECEB，这又需证明 BEFEBC，这样问题就解决了，请读者完成这一证明 例例 10 已知：如图 10，在ABC 和DBC 中，12，34，P 是 BC 上任意一点求证：PAPD 分析：要证明 PAPD，只要证明ABPDBP，在这两个三角形中，由条件 才知道一边和该边的邻角对应相等，由图形知，还必须证明 ABBD，这又需证 明ABCDBC，而由12，34，BCBC，则问题解决了，请读 者完成这一证明 综上数例所述，运用全等三角形处理几何证明问题，要灵活运用题设条件，结合 待证结论，对照图形，从不同角度去试探，不要怕碰壁，要善于分析，总结规律， 辅之适量练习，才能不断提高运用全等三角形的证题能力 全国最大最齐全的教学课件资源网：
