1、 内蒙古呼和浩特市开来中学 2019-2020 学年 高二下学期期末考试（理）试卷 一一选择题选择题(每题每题 5 分，共分，共 60 分分) 1.若复数z满足218 11zii,则4zi( ) A.13 B.15 C.13 D.15 2.设函数 f x在 R 上可导,其导函数 fx,且函数 f x在2x处取得极小值,则函数 yxfx 的图象可能是( ) A. B. C. D. 3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率都为 0.6,现有 4 颗子弹,则射击停止 后剩余子弹的数目X的期望值为( ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 4.六个人从左至右排成一行
2、,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 5.若 6 2 b ax x 的展开式中含 3 x项的系数为20?,则 22 ab的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 2 0,3N,从中随机取一件,其长度误差 落在区间(3,6)内的概率为( ) 附:随机变量服从正态分布 2 ,N ,则 68.26%P ， 2295.44%P 4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 7.某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正
3、确率为 3 5 ,若40分为分数线, 则该生被选中的概率是( ) A. 4 4 5 32 55 C B. 5 5 5 3 5 C C. 45 45 55 323 555 CC D. 32 3 5 32 1 55 C 8.已知随机变量X和Y,其中127YX,且 34E Y ,若X的分布列如表,则m的值为 ( ) X 1 2 3 4 P 1 4 m n 1 12 A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 9.由变量x与y相对应的一组数据 1 1,y、 2 5,y、 3 7,y、 4 13, y、 5 19, y得到的线 性回归方程为245yx,则y ( ) A.135 B.90 C.
4、67 D.63 10.已知点A是曲线2cos上任意一点,则点A到直线()4 6 sin 的距离的最小值 是( ) A. 1 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 11.已知直线( 3 : 2 xt lt yt 为参数),抛物线C的方程 2 2 ,yx l与C交于 12 ,P P则点 0,2A到 12 ,P P两点距离之和是( ) A. 43 B. 2(23) C. 4(23) D. 83 12.设实数0m,若对任意的xe,不等式 2 ln0 m x xxme恒成立,则 m的最大值是( ) A. 1 e B. 3 e C. 2e D. e 二、填空题二、填空题（每题（每题 5 分，共分，共
5、20 分）分） 13. 4 ()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a_. 14.实数, x y满足 22 3412xy,则23xy的最大值是_. 15.高二某班共有 60 名学生,其中女生有 20 名,三好学生占全班人数的 1 6 ,而且三好学生中女 生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下,选上 的是三好学生的概率为_. 16.在以O为极点的极坐标系中,圆4sin和直线sina相交于,A B两点.若 AOB是等边三角形,则a的值为_. 三、解答题三、解答题（17 题题 10 分，其他每题分，其他每题 12 分，共分，共 70 分）分）
6、 17.2018年俄罗斯世界杯激战正酣,某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时 间作了一次调查,得到如下频数分布表: 收看时间(单位:小时) 0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 收看人数 14 30 16 28 20 12 (1) 若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”,否则定义为“非球迷”, 请根据频数分布表补全2 2列联表: 男 女 合计 球迷 40 非球迷 30 合计 （2）并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关; 附表及公式: 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 2.072 2.706
7、 3.841 5.024 2 2 ()n adbc K abcdacbd 18.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得 到如下数据: 单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y (件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回归直线方程 ybxa,其中20b , a ybx; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从题(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使 工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 19.已知曲线 22 :1 49 xy C,直线 2 : 22 xt l yt (t为
8、参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求PA的最大值与最小值. 20.已知函数( )ln ()f xxax aR. (1).当2a时,求曲线( )yf x在点(1,(1)Af处的切线方程; (2).求函数( )yf x的极值. 21.已知曲线 1 C参数方程为 4 ( 31 xt t yt 为参数),当0t 时,曲线 1 C上对应的点为P.以原 点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 2 C的极坐标方程为 8cos . 1 cos2 (1).求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程; (
9、2).设曲线 1 C与 2 C的公共点为,A B,求PA PB的值. 22.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为 样本称出它们的质量(单位:克).质量的分组区间为490,495495,50051,0,515,由 此得到样本的频率分布直方图,如图. (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品的数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列和 期望. 【参考答案】 1.【答案】C 2.【答案】C 【解析】函数 f x在2x处取得极小值, 20f,且函数 f x在2x左侧附近为减函数,在2x右侧附近为增
10、函数, 即当2x时, 0fx ,当2x时, 0fx , 从而当2x时, 0yxfx, 当20 x 时, 0yxfx, 对照选项可知只有 C 符合题意. 3.【答案】C 4.【答案】B 【解析】若最左端排甲,其他位置共有 5 5 120A (种)排法;若最左端排乙,最右端共有 4 种排 法,其余 4 个位置有 4 4 24A (种)排法,所以共有120 4 24 216 (种)排法。 5.【答案】C 【解析】 6 2 b ax x 的展开式的通项为 r 6-r r2r6-rr12-3r r+166 b TCaxCabx x ,令 12 33r,解得3r ,所以 36 33 6 20Cab ,即1
11、ab ,所以 22 22abab,当且仅当 1ab 时取等号，即 22 ab的最小值为 2，故选 C 6.【答案】B 【解析】由题意3368.27%P ,6695.45%P ,所以 1 3695.45%68.27%13.59% 2 P.故选 B. 7.【答案】C 【解析】依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，学生必须答对 4 个题或者 5 个题才能够被选上，答对 4 个题的概率为 4 4 5 32 55 C ，答对 5 个题的概率为 5 5 5 3 5 C ,故所 求概率为 45 45 55 323 555 PCC . 8.【答案】A 9.【答案】D 10.【答案】C 【解析】曲线2c
12、os,即 2 2 11,xy表示圆心在1,0 ,半径等于 1 的圆,直线 ()4 6 sin ,即380 xy,圆心1,0到直线的距离等于 |108|7 22 ,所以点 A到直线()4 6 sin 的距离的最小值是 75 1. 22 11.【答案】C 【解析】将直线l参数方程化为 3 2 ( 1 2 2 xt t yt 为参数),代入 2 2 ,yx得 2 4 23 160,tt设其两根为 12 ,tt, 则 1212 4 23 , 160.ttt t 由此知在 l 上两点 12 ,P P都在0,2A的下方,则 121212 4 23 .APAPtttt 答案 C 12.【答案】D 13.【答
13、案】3 【解析】 4 (1)x的展开式的通项公式 14 rr r TC x ,0,1,2,3,4r , 则 4 ()(1)axx展开式中x的奇数次幂项的系数之和为: 13024 44444 8832aCaCCCCa,解得3a . 14.【答案】5 【解析】因为实数, x y满足 22 3412xy,所以设2,3xcosysin,则 23435xycossinsin,其中 43 , 55 sincos.当1sin时, 23xy有最大值为5. 15.【答案】 1 8 【解析】设事件A表示“任选一名学生是男生”;事件B表示“任选一名学生为三好学生”, 则所求概率为|P B A.依题意得 402 60
14、3 P A , 51 6012 P AB .故 1 1 12 | 2 8 3 P AB P B A P A . 16.【答案】3 【解析】方法一:由4sin可得 2 4 sin,所以 22 4xyy.所以圆的直角坐标方 程为 22 4xyy,其圆心为0,2 ?C,半径2r ;由sina,得直线的直角坐标方程为 ya,由于AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心,若设AB的中点为 D (如图).则 1 sin3021 2 CDCB ,即21a,所以3a . 方法二:圆的直角坐标方程为 22 4xyy,直线的直角坐标方程为ya,因为AOB为等 边三角形,则, 3 a Aa ,代入圆的
15、方程得 2 2 4 3 a aa,故 3a . 17.【解】1.由题意得下表: 男 女 合计 球迷 40 20 60 非球迷 30 30 60 合计 70 50 120 2 K 的观测值为 2 120120060024 2.706 70 50 60 607 . 所以有90%的把握认为该校教职工是球迷与性别有关 2. 由题意知抽取的6名“球迷”中有4名男职工, 2名女职工, 所以的可能取值为0,1,2. 且 2112 4422 222 666 6281 0,1,2 1551515 CC CC PPP CCC , 所以的分布列为 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 281102 012 5
16、1515153 E 18.【解】(1)由于 123456 1 8.5 6 xxxxxxx , 123456 1 80 6 yyyyyyy. 所以8020 8 .5250 a ybx, 从而回归直线方程为20250 y x. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 20250420250Lxxx 2 203301000 xx 2 33 20361.25 4 x . 当且仅当8.25x 时,L 取得最大值. 故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润. 19.【解】(1)曲线C的参数方程为 2cos , 3sin , x y (为参数). 直线l的普通方程为2 60 xy (2)曲线C上任意
17、一点 (2cos ,3sin )P 到l的距离 5 4cos3sin6 5 d . 则 2 5 5sin()6 sin305 d PA ,其中为锐角,且 4 tan 3 . 当sin( )1 时, PA 取得最大值,最大值为 22 5 5 . 当sin( )1 时, PA 取得最小值,最小值为 2 5 5 . 20.【解】1.函数( )f x的定义域为(0,),( )1 a fx x , 当2a时, 2 ( )2ln ,( )1(0)f xxx fxx x , (1)1,(1)1f f ( )yf x在点(1,(1)Af处的切线方程为1(1)yx , 即20 xy 2.由( )1 axa fx
18、 xx ,0 x可知: 当0a时, ( )0fx,函数( )f x(0,)上的增函数,函数( )f x无极值; 当0a时,由( )0fx,解得xa, (0, )xa时, ( )0fx,( ,)xa时, ( )0fx ( )f x在xa处取得极小值,且极小值为( )lnf aaaa,无极大值. 综上:当0a时,函数( )f x无极值. 当0a时,函数( )f x在xa处取得极小值lnaaa,无极大值. 21.【解】1.因为曲线 1 C的参数方程为 4 ( 31 xt t yt 为参数), 所以曲线 1 C的普通方程为3440 xy, 又曲线 2 C的极坐标方程为 8cos 1 cos2 , 所以
19、曲线 2 C的直角坐标方程为 2 4yx; 2.当0t 时, 0,1xy 所以点0, 1P 由1知曲线 1 C是经过点P的直线, 设它的倾斜角为,则 3 tan 4 ,所以 34 sin,cos 55 , 所以曲线 1 C的参数方程为 4 5 ( 3 1 5 xT T yT 为参数), 将上式代入 2 4yx得 2 9110250TT, 所以 1 2 25 9 PA PBTT. 22.【解】1.由频率分布直方图,知质量超过505克的产品数为0.01 0.0554012 2. 依题意,得Y的所有可能取值为0,1,2. 2112 28281212 222 404040 632811 0,1,2 13065130 CC CC P YP YP Y CCC Y的分布列为 Y 0 1 2 P 63 130 28 65 11 130 3.利用样本估计总体,该流水线上产品质量超过505克的概率为0.3. 令为任取的5件产品中质量超过505克的产品数量,则5,0.3B, 故所求概率 23 2 5 20.30.70.3087PC.
