1、第六章 连续时间系统的复频域分析5-1 引言从FT到LT一、 FT的优点和不足优点：1、 避免微分方程求解和卷积计算，简化了系统响应求解过程；2、 物理意义明确。如：谐波，频响，带宽，等。不足：1、 只能处理满足收敛条件的信号，对某些不满足条件的信号必须引入奇异函数解决，不方便；2、 必须计算广义积分：，有时计算比较困难；3、 只能求系统的零状态响应。二、 拉普拉斯变换（LT）的优点：1、 可以自动引入初始条件，求系统的全响应；2、 变方程的微积分运算为乘除运算，变卷积运算为乘法运算，计算过程简化；3、 对信号的适应性比FT强，不用引入奇异函数；拉普拉斯变换在电路分析课程中已经有所涉及，在本课
2、程中，将对拉普拉斯变换进行更加深入的研究。5-2 拉普拉斯变换一、 拉普拉斯变换的推导途径：1、 从数学角度：通过积分变换进行函数到函数的变换，将微分方程变为代数方程。2、 从物理意义推导：本质上依然是将信号分解为多个正交的子信号的和（积分），或可以从FT推广出。从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，可以更加清晰地解释其物理含义，并且可以将两种变换紧密地联系起来。二、 从FT到LT FT存在的条件是其积分结果收敛。 如果不收敛，可以考虑用收敛因子将原信号乘以强行使其收敛，再进行FT。例1：原信号：， 新信号： 只要足够大，使，总能收敛。例2：原信号：，新信号：当时，负半边收敛，正半边发散。只要，一定收
3、敛。 通过乘以收敛因子，可以使原来不收敛的信号收敛，从而可以用FT加以处理。 假设原信号为，通过乘以收敛因子后，新的收敛的信号为，其FT为：或记作：这就导出了拉普拉斯变换。 将其与傅里叶变换式相比较: 可见，从公式的形式上看,将FT中的纯虚数推广为复数，就可以导出LT；反之，令LT中的复变量的实部为零，就可以得到FT。可以这样认为：FT是LT的一个特例，LT是FT的推广。三、 拉普拉斯变换可以由的IFT求出：或记作：反变换积分线S平面至此可得到拉普拉斯变换对：F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换，f(t)称为F(s)的原函数。 从两种变换的历史上讲，拉普拉斯变换并不是由傅里叶变换导出的。Pier
4、re Simon Laplace，（17491827），法国数学家、天文学家、物理学家。1812年在其概率论的解析理论中提出了拉普拉斯变换；Jean Baptiste Joseph Fourier，（17681830），法国数学家、物理学家。1807年提出傅里叶变换，但是直到1822年在其著名的热的解析一书中才得以确认；四、 单边和双边拉普拉斯变换 上面讨论的信号，在和时都可能有非零值，是双边信号，相应的变换称为双边拉普拉斯变换，用和表示。实际电路中的信号往往是有始信号，这时的拉普拉斯变换称为单边拉普拉斯变换，记作：如果没有特别说明，一般的LT均指单边LT。五、 LT的物理意义 比较拉普拉斯反
5、变换和傅里叶反变换公式可以看出:与FT一样，LT也可以看成是将信号分解为多个子信号的和。FT中：子信号为，的频率分量相加，得到一个（幅度不变的）正弦波；LT中：子信号为，的频率分量（或共轭的和）相加，得到幅度变化的正弦波。 s是复数，可以用复平面中的一点表示，该复平面称为s平面。LT实际上是利用了s平面上的所有实部为固定值的点对应的子信号构成正交子信号集，用来表示任意信号。S平面图： 对于实信号f(t)，其LT同样满足共轭对称性，即（正如FT中LT也可以用来处理复数信号。5-3 LT的收敛区间一、函数的LT存在的条件： 函数的LT存在与否与的取值有关。如果的值合适收敛存在存在。所以，的LT存在
6、的（充分）条件，是存在是，使满足Direchlet 条件。二、收敛区的定义：使满足绝对可积条件的的取值区间称为的LT的收敛区，应该满足的条件称为收敛条件。在这个区间内，的LT存在；在区间外，的LT不存在。三、 单边LT的收敛区 单边LT只处理右边信号; 对于右边信号，如果存在，使收敛，则对于任意一个大于的， 一定收敛。所以，单边信号的收敛区间的右边界一定为一定为，一般形式为，或收敛条件为。其中称为收敛坐标，s平面上的垂线称为收敛边界（或收敛轴）。收敛区收敛轴S平面 单边LT的收敛区间一定是一个左开区间，不包含收敛轴。 上面关于右边信号的收敛区的讨论得到的结论可以推广到任意一个有始（右边）信号。
7、 例1：单边指数信号的收敛区间为的右半平面，即。 是使信号收敛的因子，它是否可以为负值？例2：阶跃信号的收敛区间为的整个右半平面，即。例3：单个脉冲信号（有限时间信号），收敛区间为整个s平面，。四、 双边LT的收敛区1、 右边（有终）信号的收敛区右边信号的收敛区与单边LT相同，是一个具有左边界的右半平面。2、 左边（有终）信号的收敛区 左边信号的收敛区为具有右边界的左半平面。例：的收敛区间为的左半平面，或记为3、 双边信号的收敛区双边信号可以看成两个单边信号的和：其双边LT存在的条件是两个基本单边信号都收敛，应该是两个单边信号的收敛区的公共部分。如果其公共部分不存在，则其LT不存在。例如：1，
8、cos(t),sin(t)等信号的LT不存在。例：求的收敛区间将分为两个单边信号之和。其中：右边信号，收敛区；左边信号，收敛区。1） 当时，其收敛区间为。2） 当时，其收敛区间不存在。4、 信号的傅里叶变换与收敛区的关系 如果信号的FT存在可以为零在s平面的虚轴上的LT存在收敛区为包含虚轴的右半平面； 如果信号的LT的收敛区不包含虚轴的FT不存在。5-4 常见信号的LT 工程中常见的信号有两类：指数类和幂类。如果信号的FT存在。求LT可以直接采用FT的结果，只要将其中的换成s。一、 指数类信号的LT，收敛区由此可以导出其它指数类信号的LT。信号FTLT收敛区.可见，LT结果比FT简单的多。二、
9、 t 的正幂类函数的LT1）收敛区：2）收敛区：推导方法：（1） 分步积分；（2）用LT时域积分性质。3）收敛区：4）收敛区：三、 冲击函数1）收敛区：2）收敛区：其它变换结果见书上表格。 可见，很多信号的F(s)都能表示成有理函数形式。记住这些常用LT结果，不仅能够方便LT计算，而且对求LT反变换有很大帮助作用。5-5 单边拉普拉斯反变换在计算出信号的LT以后，通过反变换，可以将信号还原为其原函数。计算一般不用其定义公式直接求解，因为F（s）是一个复函数，且s是一个复数，求其（二维）积分比较麻烦。一般采用部分分式展开法或留数法求解。一、 部分分式展开法（Haviside展开法）这种方法的基本
10、思想是根据LT的线性特性，将复杂的F(s)展开为多个简单的部分的和，通过一些已知的LT结果，得到F(s)的原函数。假设F(s)可以表示成有理函数形式：可以将其通过部分分式展开，表示为多个简单的有利分式之和。这里分几种情况讨论：1、 m 常数的求法：1） 系数平衡法；2）3）特例：如果D(s)=0有复根，则复根一定共轭出现（假设是实数）。假设是一个复根，则一定也是方程的根。且与之相关的系数和满足：将中有关两项统一考虑，可得：结果依然是一个实信号。所以，对与两个共轭复根，可以将其统一考虑。2、 m=n时，先通过长除，将其变为一个关于s的真分式和多项式的和： 然后在用1、2方法求解。其中要用到：二、
11、 留数法1、留数法的基本思想，是设法将复平面中的线积分问题，转化为围线积分，从而可以用复变函数中的留数定理直接求得结果，避免求积分。原问题：如果另外增加一条曲线，使其变为沿一个闭合曲线的积分，且延该曲线的积分为零。则就变成一个计算围线积分。利用留数定理，可以有：AS平面RBCB问题是：是否有这样的曲线存在？怎样取?2、根据约当辅助定理，当满足：1）；2）中的实部满足；时，有或显然，根据条件2），有： 当t0时，； 当t0的情况，所以积分曲线应该在增加ABC。所以，这时候只要考虑积分线左半平面中的所有极点的留数。即：的极点就是的极点。留数计算：假设是的一阶极点，则其留数为：假设是的n阶极点，则其
12、留数为：注意：当F(s)不满足约当辅助定理条件1）时，不能用此方法求解。例如：F(s)=1,F(s)=s,当F(s)满足m=n时，不能用此方法求解！这时的解决方法：先用长除进行预处理！留数法与部分分式分解法比较：1） 部分分式分解法只能解决有理函数，而留数法不受有理函数的限制；2） 留数法不能解决m=n的情况，部分分式分解法可以；3） 留数法在数学上比部分分式分解法严密。4） 部分分式分解法涉及的基础知识比留数法简单。三、 极零点与极零图1、 F(s) 的极点和零点极点：使F(s)等于无穷大的s平面上的点， D(s)=0的根。零点：使F(s)等于零的s平面上的点， N(s)=0的根。2、 F(
13、s) 的极零图 在s平面上将F(s)的极点和零点全部标出后的图。3、 极零图的特性：1） F(s) 的极点决定了其原函数中各个子信号的基本模式（P.226）。2） F(s) 的极零图决定了原函数的波形形状（但是不能决定幅度）。但是mn时例外。3） F(s)的极点不可能出现在收敛区间内。5-6拉普拉斯变换性质一、 线性：收敛区间：一般为和的收敛区公共部分。适用范围：单边LT，双边LT二、 尺度变换特性如果，收敛区间，则：， 收敛区间：时， 时，适用范围：1）双边LT2）对于单边LT，要求a0与FT比较：三、 时延特性如果，收敛区间，则：，收敛区间不变。适用范围：1）双边LT2）对于单边LT，要求
14、与FT比较：例：单边周期信号信号按周期T在t0部分进行周期化后的信号的LT：假设的LT为F(s),则单边周期化后的信号为：本式对一些LT和的计算很有用。四、 复移频特性 如果，收敛区间，则：， 收敛区间：。适用范围：双边LT，单边LT与FT比较：例：已知： 收敛区： 则：，收敛区：五、 时域微分特性如果，收敛区间则： 对于系统或： 对于系统收敛区：可能增大，不会减小。适用范围：单边LT,或右边信号的双边LT。系统：从t=开始考虑系统激励和响应，响应LT为：；系统：从t=开始考虑系统激励和响应，响应LT为：； 系统LT和系统LT的差异在于是否考虑了t=0时的跃变，变换结果可能不同。 系统LT分析
15、可以自动引入系统的初始条件，所以一般都使用系统LT。 推广：如果系统的初始状态为0，则上式简化为：可以用于的求解与FT比较：六、 时域积分：如果，收敛区间则：收敛区：因为引入s=0处的极点，所以可能减少。适用范围：单边LT,或右边信号的双边LT。推广：与FT比较： 时域积分的另一个公式：如果是一个右边信号，则：七、 复频域微积分特性如果，收敛区间，则： 收敛区：复频域微分：可能增加； 复频域积分：可能减小。与FT比较： 八、 参量微积分特性设，收敛区间，则：收敛区：不变。九、 初值定理： 如果和存在，且的LT也存在，则：证明：利用时域微分特性。如果和中含有冲激函数（或其导数），或不存在，就不能
16、用上式直接求初值。这时可以先通过长除将F(s)变成一个真分式与一个关于s的多项式之和，然后将初值定理表示为：推广：或：或：十、 终值定理 如果和存在，的LT也存在，且F(s)的极点位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在单极点，则：十一、 卷积定理：与FT比较，结论相似。十二、 对偶特性：如果：则： 与FT比较：5-7线性系统的LT分析法一、 从数学角度看线性系统的LT分析1、对微分方程进行LT处理对于一般的线性系统，可以表示成微（积）分方程的形式。例如，对于某二阶系统，有：为求响应，将其两边同时求LT，有：然后，通过不难得到r(t)。2、对电路进行LT处理(复习电路分析中的内容)对于线性电路
17、系统，可以不要列出其微（积）分方程，只要1） 对其中各个电路元件和信号源直接求LT。例如，对于电感，有：所以，它可以LT域看成一个阻抗为的电阻与初始等效电压源串联。在时域可以看成一个零状态的电感和一个初始等效电压源串联。对于电容，有：所以，它可以LT域看成一个阻抗为的电阻与初始等效电压源串联。在时域可以看成一个零状态的电容和一个初始等效电压源串联。也可以通过等效转换转变为并联形式。这里的阻抗、和以前的复阻抗、和祘子阻抗、很相似，称为运算阻抗。2） 根据KCL或KVL方程列出方程组，求出响应的LT。3） 通过，得到r(t)。这种方法可以自动引入初始条件，直接得到全响应，对于系统响应的求解比较方便
18、。但是，其物理概念不清晰，不利分析激励与响应之间的相互作用。二、 从信号分解角度看线性系统的LT分析 这里同样可以将系统的响应分为和。1、 的求解。当系统的初始状态都为零时，响应的LT求解过程可以简化。以二阶系统为例：将其两边同时求LT，有：其中，称为转移函数或系统函数。它确定了激励和响应的LT之间的关系。按R(s)和E(s)含义的不同，H(s)又可以有更具体的含义，如运算阻抗、运算导纳、运算电压传输函数、运算电流传输函数等。显然，如果求得了激励的LT （E(s)）和转移函数H(s)，就可以得到零状态响应的LT，然后不难得到。所以，LT法求解的步骤如下：1） 求激励信号e(t)的LTE(s)2
19、） 求系统的系统函数H(s)3） 求响应的LTR(s)=H(s)E(s)4） ，得到。H(s)可以有不同的得到方式，各种方式下有不同的物理解释1） 从微分方程得到H(s)线性系统可以用线性常系数微分方程表示：通过LT，可以得到：这种方法与转移算子在形式上非常相似，只要将其中s和p互换就可以了。只不过其含义不同。2） 从信号分解的角度得到H(s) 和FT中一样，H(s)也可以看成反映系统对复频域中某信号的幅度和相位影响的函数。 对于电感而言，对激励电流信号，其电压为：可见，其电压信号依然有形式，只不过幅度和相位会发生变化。这就是我们在前面提到的电感的运算阻抗。对于电容也可以得到相同的结论。所以，
20、也可以通过与“对电路进行LT处理”采用的方法，通过对电路各个元件进行LT处理，通过解KCL或KVL方程，得到H(s)。不过这里不用考虑初始条件。3） 从系统的冲激响应求H(s)根据近代时域法中的结论，有：两边取LT，有：这里的H(s)定义为冲激响应h(t)的LT，同时它又和上面提到的H(s)是一致的。所以可以通过系统的冲激响应h(t)的LT得到H(s)。反之，也可以通过系统的转移函数H(s)得到系统的冲激响应h(t)。2、 的求解。 对于，可以采用等效源的方法，将其转化为求的问题。但是，这里出现的是一个多激励的响应问题，其中的每一个激励都有其系统函数。根据网络分析理论，同一个电路的不同系统函数
21、有相同的分母多项式。所以，只要知道其中的一个，就可以知道。同样，只要知道了求解时的系统函数H(s)，同样也可以得到，从而确定中各个信号分量的形式，从而可以用待定系数法解。这样就不用求各个了。等效激励信号源都可以转化为冲激函数，其LT没有极点。响应R(s)=E(s)H(s)中的极点只决定于H(s)的分母D(s)，D(s)=0的根决定了响应中的各个信号分量的形式。D(s)=0称为系统的特征方程，其根称为特征根，或自然频率。这里，在求零输入响应的时候，H(s)中的零极点同样不能抵消。这是因为各个以及H(s)一般不会有共同的零点，在H(s)中能抵消并不意味着在其它各个中都会抵消。如果抵消，会损失一个自
22、然频率。三、 响应之间关系1、 系统的零状态响应R(s)=H(s)E(s)的极点有H(s)带来的，对应于系统的自然响应；也有E(s)带来的，对应于系统的受迫响应。2、 系统的零输入响应的极点只回由H(s)带来，属于自然响应。3、 极点的位置决定了响应的性质。如果极点处于s平面虚轴以左，信号随时间的推移而趋向于零，属于暂态响应；如果极点处于s平面虚轴上，信号的幅度不随时间的变化而变化，属于稳态响应；如果极点处于s平面虚轴以右，信号的幅度随时间的推移而增大，如果该极点是H(s)带来，则系统不稳定。5-8 RLC串联电路的阶跃响应分析目的：1）熟悉电路的LT分析法 2）讨论参数对响应的影响分析步骤：
23、1）求系统的系统函数：特征方程：特征根：其中：，称为衰减系数；，称为谐振频率。 由此可得到H(s)的极零图。2）求激励的LT：3）求响应的LT：下面分四种情况讨论：1） 过阻尼：，即此时，特征根是两个不相等的实根，2） 临界阻尼：，即此时，特征根是，为二重根， 其在处达到最大值。3） 欠阻尼：，即此时，特征根，为不相等的共扼复根。其中，称为有阻尼自然频率。 4） 无阻尼：，即，此时，特征根，为在虚轴上的共扼复根。称为无阻尼自然频率。5-9 双边拉普拉斯变换双边LT对周期信号、平稳随机过程、非因果系统分析有很大的价值。一、 双边LT的定义：二、 双边LT的计算：如果信号是单边信号，其LT计算可以
24、按照定义求解。1、右边信号的双边LT例：信号的双边LT。解：右边信号的双边LT结果与其单边LT完全相同, 收敛区为： 2、左边信号的双边LT例：信号的双边LT。解：根据定义： 显然，上式仅仅在时成立，此时：收敛区为： 从上面的例题，可以看到：,收敛区 ,收敛区 可见：对于双边LT而言，可能会出现不同的原函数具有相同的F(s)。所以仅凭F(s)无法确定其原函数。所以，对于拉普拉斯变换，必须综合考虑其收敛区。 LT原函数的混淆只在左边信号和右边信号之间产生。如果事先可以确定信号是一个左边或右边信号，则不用考虑收敛区。所以，计算单边LT时不用考虑收敛区。 左边信号的LT的另外一种计算方法：左边信号的
25、LT可以根据右边信号的LT得到,这样可以利用单边LT的结果得到左边信号的LT。对于某左边信号，其LT为：可见，左边信号的LT可以看成是右边信号的LT结果中当s用(-s)代入时的结果。由此可以得到用右边信号LT（或单边LT）计算左边信号LT的方法如下：a、 将左边信号反褶后形成的右边信号；b、 求右边信号的单边LT极其收敛区： 这里为了以后叙述方便用p替代原LT中的复变量s。c、 将带入，得到及收敛区： 例如，对于上面的例题，计算方法为：1） 将左边信号反褶，得到 2） 计算的LT：,收敛区 注意这里用p替代了原来的s。3） 将s=-p代入，得到左边信号的LT为：收敛区，或：3、双边信号的双边L
26、T如果信号是一个双边信号，则其LT在计算时可以将左右部分分别计算。例：求信号的双边LT。解：这是一个双边信号，利用LT的线性特性，可以分别处理其左右边的LT： 根据上面的例题，有：,收敛区 ,收敛区对于双边变换而言，其变换存在的前题是其左右边信号的LT均存在。这时需要根据参数的具体情况分别讨论：1） 如果，则两者的收敛区存在公共部分，总信号收敛区为： 其LT变换为：其s平面极零点和收敛区图形为 有上图可以看出，双边F(s)中，收敛区左边的极点是信号的右边部分带来；收敛区右边的极点是信号的左边部分带来。这个规律对于下面的反变换计算及其重要。2） 如果，则两者的收敛区不存在公共部分，此时该信号的双
27、边LT不存在。例：求的LT 。解：1）2） , 3) , , ,4)双边LT结果为：a、 当时，双边LT不存在；b、 当时，收敛区：三、 双边和单边一样，单边也可以通过两种方法求解。1、 部分分式展开法（Haviside展开法）假设F(s)可以表示成有理函数形式：1） 通过部分分式展开，将其表示为多个简单的有利分式之和（假设m0时，； 当t0时的结果。3、 计算双边LT和必须考虑收敛区；计算单边LT和则不必考虑。五、 线性系统对双边信号的响应 线性系统对双边信号的响应分析应该用双边LT。其步骤同样分为以下几个部分：1） 求激励信号e(t)的LTE(s)极其收敛区。2） 求系统的系统函数H(s)
28、极其收敛区。这里因为H(s)是h(t)的LT，对于因果系统而言，h(t)一定是一个右边信号，其收敛区一定是大于给定值的右半平面。3） 如果E(s)和H(s)存在公共收敛区间，则响应的LT为R(s)=H(s)E(s)；如果E(s)和H(s)不存在公共收敛区间，则响应的LT不存在。4） 如果响应的LT 存在，通过双边，得到。 因为激励信号在零时刻以前就存在，所以这里不用考虑零输入响应。例:假设某因果系统的系统函数为,激励信号为。求系统响应。解：1） 因为系统是一个因果系统，所以其收敛区一定为：。2） 激励信号的拉普拉斯变换为：收敛区为：3） E(s)和H(s)的公共收敛区间为：其响应的LT为：4）
29、 求R(s)的反拉普拉斯变换。根据R(s)及其收敛区间，可以得到其原函数为： l 如果系统的，这时E(s)和H(s)就不存在公共的收敛区间，R(s)就不存在，这时就不能用拉普拉斯变换求系统响应。 用LT法求系统对双边信号的响应未必适用。在E(s)和H(s)都存在的条件下，其响应的LT不一定存在，这时候有可能无法用LT法求解。 而对于单边（有始）信号，其拉普拉斯变换E(s)的收敛区一定是一个右半平面；而如果系统同时是一个因果系统，其冲激响应h(t)一定是一个右边信号，其拉普拉斯变换H(s)的收敛区间一定也是一个右半平面。这时，E(s)与H(s)的收敛区一定会有公共部分。所以，在E(s)和H(s)
30、都存在的条件下，其响应的LT一定存在，一定能用LT求解。5-10 线性系统模拟系统的四种表示方法：1、 微分方程2、 系统函数3、 框图或流图4、 状态方程一、 概述 模拟框图通过基本运算单元的组合，实现（高阶）微分方程所表示的线性系统，为物理模拟实现该系统提供基础。模拟框图是数学意义上的模拟，但必须是物理可实现的。模拟框图可以用时域关系表示，相应的框图称为时域模拟框图；也可以用复频域中的关系表示，相应的框图称为频域模拟框图。一、 基本运算单元1、 加法器：时域：，频域： 2、 标量乘法器：时域：，频域：3、 积分器：1） 初始条件为零：时域：，频域：2） 初始条件不为零：时域：，频域：l 实
31、际电路中，积分器本身有一定的初始状态，可以根据需要预置。所以，只要用1）中的框图就可以了。二、 微分方程的模拟框图1、 一阶微分方程模拟框图2、 二阶微分方程模拟框图3、 任意n阶微分方程三、 一般微分方程的模拟框图1、 二阶微分方程假设：代入方程，可以得到：2、 一般n阶微分方程的假设：代入方程，可以得到：由此可以得到时域模型：拉普拉斯变换域：四、 系统的串并联1. 系统串联 2. 系统并联u 很多系统都可以用一阶电路的串联或并联的形式表示。u 一个微分方程描述的系统，可以有不同的模拟框图实现形式；不同的模拟框图，可能模拟同一个微分方程。5-11 信号流图一、 概述 信号流图：模拟框图的一种
32、简化表达形式。信号流图：用于对系统进行化简，得到最终的数学模型（微分方程或系统函数），避免求解线性方程组。二、流图的构成1、 构成流图的基本单位：1） 结点：表示一个变量，等效于加法器，有多个输入，一个输出，输出值为所有输入值的和。2） 支路：连接各个结点、表示结点之间的联系和相互因果关系的有向线段。3） 支路传输值：表示支路因果变量系统函数。 进一步细化：4） 源结点：仅有出支路（输出）的结点；5） 汇结点：仅有入支路（输入）的结点；6） 闭环：信号流通的闭合路径。7） 自环：仅含有一个支路的闭环。8） 前向路径：由源结点到汇结点的一条不包含任何环路的流通路径。三、流图的作法：1、 根据框图
33、求流图流图与框图对应关系结点：框图中的加法器以及输入输出点；支路：框图中的标量乘法器、积分器；例如，框图：流图为：其中两者的相互对应关系十分明显。2、 根据微分方程求流图步骤：先求框图，再求流图。3、 直接根据KCL或KVL方程作流图提取电路数学模型的另一种方法。例：P269四、 根据流图求系统函数（或微分方程）流图的一个很重要的作用是用于推导系统的系统函数。方法主要有三个：1、 针对各个结点列出方程组，通过消元得到系统函数。但是这种方法并不能体现流图的优点。2、 通过化简，将流图简化为只包含源结点、汇结点和一个连接支路，直接写出方程。1） 流图化简法则：2） 流图化简步骤：a、 简化其中的所有串并联支路；b、 消除一个结点；可能导致自环c、 消除自环；d、 回b，继续消除结点，直至流图只包含源结点、汇结点和一个连接支路；e、 直接写出系统函数。例：P2753、 梅森公式 梅森公式法根据流图结构，直接导出系统函数。这种方法适合计算机处理。但要记住一些规则。其中 称为图行列式，定义为：式中：为第i个环路的传输值；为所有环路的传输值的和；为所有相互不接触的两个环路的传输值的乘积的和；为所有相互不接触的三个环路的传输值的乘积的和； 为第k个正向传输路径的传输值； 为与不相接触的子图部分的值，又被称为第k个前向路径的路径因子。例：P272
