1、 1 2016-2017 学年度下学期省六校协作体期初考试 高二理科数学试题 时间： 120 分钟 满分： 150 分 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 UR? ， 集合 2 3 | 4 , | 0 ,1xA x x B x x ? ? ? ?则 ()UC A B 等于（ ） A | 2 1xx? ? ? B | 3 2xx? ? ? C | 2 2xx? ? ? D | 3 2xx? ? ? 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 ? ?0,? 上单调递增的是（ ） A. 1y x? B. 1y gx? C.
2、 cosyx? D. 2 2xyx? 3. 某校高三年级有 1000 名学生，随机编号为 0001,0002， 1000，现按系统抽样方法，从中抽出 200 人，若 0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A 0927 B 0834 C 0726 D 0116 4. 已知平面向量 a ， b 满足 ? ? 3a a b? ? ? ，且 2a? ， 1b? ，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为（ ） A 12? B 32? C 12 D 32 5. 若正数,xy满足3 5 ,x y xy?则34?的最小值是（ ） A.245B.285C.6D.56. 设 0.43a? ， 3log
3、0.4b? ， 30.4c? ， 则 a b c， ， 的 大小关系为 （ ） A a c b? B abc? C c a b? D c b a? 7. 一 个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示， 则该三棱锥的外接球表面积为 （ ） A 30? B 29? C 292?D 216? 8. 九章算术是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升 .问中间二节欲均容 各多少？”意思为 :今有竹九节，下三节容量和为 4 升，上四节2 容量之和为 3 升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列） .问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（
4、） A. 6766 B. 3733 C. 72 D. 1011 9. 设 m 、 n 是两条不同的直线 ， ? 、 ? 是两个不 重合 的平面 ， 给出下列四个命题 ： 若 m? ， /n? ， 则 mn? ；若 /mn， /n? ， 则 /m? ；若 /mn， n ? ， /m? ，则 ? ；若 m n A? ， /m? ， /m? ， /n? ， /n ? ， 则 /? 其中真命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10. 已知数列 ?na 为等比数列， nS 是它的前 n 项和，若 2 3 12a a a? ，且 4a 与 72a 的等差中项为 54 ，则 5S? （ ） A
5、 63 B 31 C 33 D 15 11. 已知函数 2 ( 4 3 ) 3 , 0()l o g ( 1 ) 1 , 0ax a x a xfx xx? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 0a? ，且 1a? ）在 R 上单调递减，且 函数( ) | ( ) | 2g x f x x? ? ?恰好有两个不 同 的 零点 ，则 a 的取值范围是（ ） A 2(0, 3 B 23 , 34 C 1 2 3 , 3 3 4 D 1 2 3 , ) 3 3 4 12. 如图，已知平面 ? ? 平面 ? ， ,AB是平面 ? 与 平面 ? 的交线上的两个定点， ,DA CB?， 且 , , 4 ,
6、8 , 6D A A B C B A B A D B C A B? ? ? ? ?，在平面? 上有一个动点 P ，使 APD BPC? ? ，则四棱锥 P ABCD? 体积的最大值是 （ ） A 243 B 16 C 144 D 48 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13. 如图， 输入 5n? 时，则输出的 S? _. 开始 是 否 输 入 n 1( 1)SSii?in? 1, 0iS? 1ii?PDCBA3 14. 设变量 ,xy满足约束条件 3 6 020xyxyya? ? ? ? ?， 且目标函数 2z y x? 的最小值为 7? ， 则实数 a 等于 _. 15.
7、函数22 sin ( ) 24()2 sin 12xfx x?的最大值为 M ， 最小值为 m ， 则 Mm? 等于 _. 16. 在 R 上定义运算 : (1 )x y x y? ? ? ?， 若存在 12( 1, 2, )ix i x x?， 21 ( 2 3 ) 1 4iik kx x? ? ? ? ? ?， 则实数 k 的取值范围为 _. 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 10 分） 在 ABC? 中，边 ,abc的 对角分别为 ,ABC ；且 4, 3bA?，面积 23S? （ 1）求 a 的值； （ 2）设 ? ? ? ?2 c o s s
8、in c o s c o sf x C x A x?，将 ? ?fx图象上所有点的横坐标变为原来的 12 （纵坐标不变）得到 ?gx的图象，求 ?gx的单调增区间 18.（本小题满分 12 分） 如图（ 1）所示，在直角梯形 ABCP 中， /BC AP ， AB BC? ， CD AP? ， 2AD DC PD? ? ?，4 E 、 F 、 G 分别为线段 PC 、 PD 、 BC 的中点，现将 PDC? 折起，使平面 PDC? 平面 ABCD （图（ 2） （ 1）求证：平面 /EFG 平面 PAB ； （ 2）若点 Q 是线段 PB 的中点，求证： PC? 平面 ADQ . （ 3）求三
9、棱锥 C EFG? 的体积 19.（ 本小题满分 12 分） 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 60 名同学将其成绩（百分制 ， 均为整数）分成 )50,40 ，)60,50 ， )70,60 ， )80,70 ， )90,80 ， 100,90 六 组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列 问题 ： （ 1） 求分数在 ? ?80,70 内的频率，并补全这个频率分布直方图； （ 2） 从频率分布直方图中，估计本次考试 成绩 的 中位数 ； （ 3）若从 第 1 组和第 6 组两组学生中，随机抽取 2 人，求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概率 20.（
10、本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 中， *111 , ( )3nn naa a n Na? ? ?5 （ 1）求证： 112na?是等比数列，并求 ?na 的通项公式 na ； （ 2）数列 ?nb 满足 (3 1) 2nnnnnba? ? ? ?，数列 ?nb 的前 n 项和为 nT ，若不等式1( 1) 2n n nnT? ? ? ?对一切 *nN? 恒成立，求 ? 的取值范围 21.（本小题满分 12 分） 已知圆 C 的圆心在坐标原点，且与直线 022:1 ? yxl 相切 （ 1）求直线 0534:2 ? yxl 被圆 C 所截得的弦 AB 的长； （ 2）过点 (1,3)G
11、 作两条与圆 C 相切的直线，切点分别为 ,MN求直线 MN 的方程； （ 3）若与直线 1l 垂直的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 ,PQ，若 POQ? 为钝角，求直线 l 在 y 轴上的截距 的取值范围 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 ()fx满足：对任意 ,xy R? ，都有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y f x f y? ? ? ? ?成立，且0x? 时， ( ) 2fx? ， （ 1）求 (0)f 的值，并证明：当 0x? 时， 1 ( ) 2fx? （ 2）判断 ()fx的单调性并加以证明 （ 3）若函数 ( ) | ( ) |
12、g x f x k? 在 ( ,0)? 上递减，求实数 k 的取值范围 6 2016-2017 学年度下学期省六校协作体期初考试 高二理科数学参考答案 一、选择题 二、填空题 13、 56 14、 3 15、 2 16、 53( , 124 三、解答题 17、 解：（ 1）在 ABC? 中 AbcS sin21? 2?c 22 12 c o s 1 6 4 2 4 2 2 3 ,2a b c b c A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 分 （ 2） 2 3 4, , s in 1 ,s in s in s in32ab BA B B? ? ? ?又 0 B ? 2B ? 6C ?
13、 ?( ) 2 c o s s i n c o s c o s ) 2 s i n ( )6f x C x A x x ? ? ? ?， 将 ()fx图象上所有点的横坐标变为原来的 12 ，得到 ( ) 2 sin(2 )6g x x ?， ?8 分 令 2 2 2 ,2 6 2k x k? ? ? ? ? ? ? 即 , ( )63k x k k Z? ? ? ? ?()gx的单调 增 区间为 , , ( )63k k k Z? ? ?10 分 18、 解：（ 1）证明： E 、 F 分别是 ,PCPD 的中点， /EF CD 又 /CD AB /EF AB EF? 平面 PAB ， AB?
14、 平面 PAB ， /EF 平面 PAB 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A D D A B A C B C D 7 同理， /EG 平面 PAB ， EF EG E? ， EF? 平面 EFG ， EG? 平面 EFG 平面 /EFG 平面 PAB . ?4 分 （ 2）解：连接 DE ， EQ ， E 、 Q 分别是 PC 、 PB 的中点， /EQ BC ，又 /BC AD /EQ AD 平面 PDC? 平面 ABCD ， PD DC? ， PD? 平面 ABCD PD AD? ， 又 AD DC? ， PD DC D? ， AD? 平面 PDC
15、 ， AD PC? 在 PDC? 中， PD CD? ， E 是 PC 的中点， DE PC? ， DE AD D? ， PC? 平面 ADEQ ，即 PC? 平面 ADQ ?8 分 （ 3） 1 1 1 1( 1 1 ) 1 .3 3 2 6C E F G G C E F C E FV V S G C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 分 19、解：（ 1） 设分数在 70， 80）内的频率为 x ，根据频率分布直方图，则有 110)005.0025.02015.001.0( ? x，可得 3.0?x ， ?2 分 所以频率分布直方图为： ?4 分 （ 2） 以中位数为准做一条垂
16、直于横轴的直线，这条直线把 频率分步直方图分成面积相等的两个部分，由频率分 布 直方图知，中位数要把最高的小长方形三等分， 中位数是 1 22070 10 33? ? ? 所以估计本次考试成绩的中位数为 2203 ?8 分 （ 3） 设所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 为事件 M ， 8 第 1 组学生数： 61.060 ? 人（设为 1， 2， 3， 4， 5， 6） 第 6 组学生数： 60 0.05 3?人（设为 A， B， C） 所有基本事件有： 12， 13， 14， 15， 16， 1A， 1B， 1C， 23， 24， 25， 26， 2A， 2B， 2C， 34， 35
17、， 36，3A， 3B， 3C， 45， 46， 4A， 4B， 4C， 56， 5A， 5B， 5C， 6A， 6B， 6C， AB， AC， BC 共有 36 种， 事件 M 包括的基本事件有： 1A， 1B， 1C， 2A， 2B， 2C， 3A， 3B， 3C， 4A， 4B， 4C， 5A， 5B， 5C， 6A，6B， 6C 共有 18 种 所以 18 1() 36 2PM ? 所以所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概率为 12 。 ?12 分 20、（ 1）证明：由1 ( * )3nn naa n Na? ?， 得11 3 3 1nn n naa a a? ? ?， 11 1 1 13 ( )22nnaa? ? ? ?所以数列 112na?是 以 3 为公比，以11 1 3()22a ?为首 项的 等比数列， 从而 11 1 3 232 2 3 1n n nn aa ? ? ? ? ? ?； ?6 分 （ 2）12n nnb ?0 1 2 2 11 1 1 1 11 2 3 ( 1 )
