1、 第 1 页（共 31 页） 2020 年四川省内江市中考数学试卷年四川省内江市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1 （3 分） （2020内江）1 2的倒数是（ ） A2 B1 2 C 1 2 D2 2 （3 分） （2020内江）下列四个数中，最小的数是（ ） A0 B 1 2020 C5 D1 3 （3 分） （2020内江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心 对称图形的是
2、（ ） A B C D 4 （3 分） （2020内江）如图，已知直线 ab，150，则2 的度数为（ ） A140 B130 C50 D40 5 （3 分） （2020内江）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的 评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A80，90 B90，90 C90，85 D90，95 6 （3 分） （2020内江）将直线 y2x1 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函 数关系式为（ ） Ay2x5 By2x3 Cy2x+1 Dy2x+3 7 （3 分） （2020内江）如图，在ABC 中，D、E 分别是
3、 AB 和 AC 的中点，S四边形BCED 15，则 SABC（ ） 第 2 页（共 31 页） A30 B25 C22.5 D20 8 （3 分） （2020内江）如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC120，点 B 是 的中 点，则D 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 9 （3 分） （2020内江）如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一点，过点 A 作 ACx 轴， 垂足为点 C，D 为 AC 的中点，若AOD 的面积为 1，则 k 的值为（ ） A4 3 B8 3 C3 D4 10 （3 分） （2020内江）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：
4、“一 条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有 一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿， 就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺则符合题意的方程是（ ） A1 2x（x5）5 B1 2x（x+5）+5 C2x（x5）5 D2x（x+5）+5 11 （3 分） （2020内江）如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所 在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF已知 第 3 页（共 31 页） AB3，BC4，则 EF 的长为（ ） A3
5、 B5 C513 6 D13 12 （3 分） （2020内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点， 已知直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个 整点，则 t 的取值范围是（ ） A1 2 t2 B1 2 t1 C1t2 D1 2 t2 且 t1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） （2020内江）在函数 y= 1 24中，自变量 x 的取值范围是 14 （5 分） （2020内江）2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫
6、星发射中心用长征三 号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位 系统正式建成根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有 7 亿台，其中 7 亿用科 学记数法表示为 15 （5 分） （2020内江）已知关于 x 的一元二次方程（m1）2x2+3mx+30 有一实数根为 1，则该方程的另一个实数根为 16 （5 分） （2020内江）如图，在矩形 ABCD 中，BC10，ABD30，若点 M、N 分 别是线段 DB、AB 上的两个动点，则 AM+MN 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或
7、推演步骤）分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17 （7 分） （2020内江）计算： （ 1 2） 1|2|+4sin6012 +（3）0 18 （9 分） （2020内江）如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，点 A、D 在 BC 异侧，AB 第 4 页（共 31 页） CD，AEDF，AD （1）求证：ABCD； （2）若 ABCF，B40，求D 的度数 19 （9 分） （2020内江）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分 为 A、B、C、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请你 根据统计图解答下列问题 （1）成绩为“B 等级”的学生
8、人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中 m 的值 为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出 2 名去参加市中学生知识 竞赛已知“A 等级”中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概 率 20 （9 分） （2020内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航 管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯 塔 P 在北偏东 30方向上 （1）求 B 处到灯塔 P 的
9、距离； （2）已知灯塔 P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 第 5 页（共 31 页） 21 （10 分） （2020内江）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过 点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE （1）求证：BE 是O 的切线； （2）设 OE 交O 于点 F，若 DF2，BC43，求线段 EF 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分 ）分 ） 22 （6 分） （2020内江）分解因式：b4b
10、212 23 （6 分） （2020内江）若数 a 使关于 x 的分式方程:2 ;1 + 1; =3 的解为非负数，且使 关于 y 的不等式组 3 4 +1 3 13 12 2( )0 的解集为 y0，则符合条件的所有整数 a 的积 为 24（6 分）（2020内江） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A （2， 0） ， 直线 l： y= 3 3 x+ 3 3 与 x 轴交 于点 B，以 AB 为边作等边ABA1，过点 A1作 A1B1x 轴，交直线 l 于点 B1，以 A1B1 为边作等边A1B1A2，过点 A2作 A2B2x 轴，交直线 l 于点 B2，以 A2B2为边作等边 A2B2A
11、3，以此类推，则点 A2020的纵坐标是 第 6 页（共 31 页） 25 （6 分） （2020内江）已知抛物线 y1x2+4x（如图）和直线 y22x+b我们规定：当 x 取任意一个值时， x 对应的函数值分别为 y1和 y2 若 y1y2， 取 y1和 y2中较大者为 M； 若 y1y2，记 My1y2当 x2 时，M 的最大值为 4；当 b3 时，使 My2 的 x 的取值范围是1x3；当 b5 时，使 M3 的 x 的值是 x11，x23； 当 b1 时，M 随 x 的增大而增大上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序 号） 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题
12、小题，每小题 12 分，共分，共 36 分）分） 26 （12 分） （2020内江）我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的分解：xmn （m，n 是正整数，且 mn） ，在 x 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值 最小，我们就称 mn 是 x 的最佳分解并规定：f（x）= 例如：18 可以分解成 118，29 或 36，因为 1819263，所以 36 是 18 的最佳分解，所以 f（18）= 3 6 = 1 2 （1）填空：f（6） ；f（9） ； （2）一个两位正整数 t（t10a+b，1ab9，a，b 为正整数） ，交换其个位上的数字 与十位上的数字得到的新数减
13、去原数所得的差为 54， 求出所有的两位正整数； 并求 f （t） 的最大值； （3）填空： 第 7 页（共 31 页） f （22357） ； f （23357） ； f （24357） ； f（25357） 27 （12 分） （2020内江）如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A、 C 重合） ，连结 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延 长线与边 AD 交于点 F （1）连结 CQ，求证：APCQ； （2）若 AP= 1 4AC，求 CE：BC 的值； （3）求证：PFEQ 28 （12 分） （2
14、020内江）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（4，0） 、C（0， 2）三点，点 D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点 （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当BCD 的面积为 3 时，求点 D 的坐标； （3）过点 D 作 DEBC，垂足为点 E，是否存在点 D，使得CDE 中的某个角等于 ABC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 第 8 页（共 31 页） 2020 年四川省内江市中考数学试卷年四川省内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小
15、题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1 （3 分） （2020内江）1 2的倒数是（ ） A2 B1 2 C 1 2 D2 【解答】解：1 2 21， 1 2的倒数是 2， 故选：A 2 （3 分） （2020内江）下列四个数中，最小的数是（ ） A0 B 1 2020 C5 D1 【解答】解：| 1 2020|1|， 1 2020 1， 50 1 2020 1， 因此最小的是1， 故选：D 3 （3 分） （2020内江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心 对称
16、图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； 第 9 页（共 31 页） D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 4 （3 分） （2020内江）如图，已知直线 ab，150，则2 的度数为（ ） A140 B130 C50 D40 【解答】解：直线 ab， 3150 又2+3180， 2130 故选：B 5 （3 分） （2020内江）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的 评分分别为：90，8
17、5，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A80，90 B90，90 C90，85 D90，95 【解答】解：将数据重新排列为 80，85，90，90，95， 所以这组数据的中位数是 90，众数为 90， 故选：B 6 （3 分） （2020内江）将直线 y2x1 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函 数关系式为（ ） Ay2x5 By2x3 Cy2x+1 Dy2x+3 【解答】解：直线 y2x1 向上平移两个单位，所得的直线是 y2x+1， 故选：C 7 （3 分） （2020内江）如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点，S四边形BCED 15，则
18、SABC（ ） 第 10 页（共 31 页） A30 B25 C22.5 D20 【解答】解：D、E 分别是 AB、AC 边上的中点， DEBC，DE= 1 2BC， ADEABC， =（ ） 2=1 4， SADE：S四边形BCED1：3， 即 SADE：151：3， SADE5， SABC5+1520 故选：D 8 （3 分） （2020内江）如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC120，点 B 是 的中 点，则D 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 【解答】解：连接 OB，如图， 点 B 是 的中点， 第 11 页（共 31 页） AOBCOB= 1 2AOC= 1 2
19、12060， D= 1 2AOB30 故选：A 9 （3 分） （2020内江）如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一点，过点 A 作 ACx 轴， 垂足为点 C，D 为 AC 的中点，若AOD 的面积为 1，则 k 的值为（ ） A4 3 B8 3 C3 D4 【解答】解：ACx 轴，垂足为点 C，D 为 AC 的中点，若AOD 的面积为 1， AOC 的面积为 2， SAOC= 1 2|k|2，且反比例函数 y= 图象在第一象限， k4， 故选：D 10 （3 分） （2020内江）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一 条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，
20、却比竿子短一托 ”其大意为：现有 一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿， 就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺则符合题意的方程是（ ） A1 2x（x5）5 B1 2x（x+5）+5 C2x（x5）5 D2x（x+5）+5 【解答】解：设绳索长 x 尺，则竿长（x5）尺， 第 12 页（共 31 页） 依题意，得：1 2x（x5）5 故选：A 11 （3 分） （2020内江）如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所 在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF已知
21、AB3，BC4，则 EF 的长为（ ） A3 B5 C513 6 D13 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD3，ADBC4，ACEDF90， BD= 2+ 2= 32+ 42=5， 将矩形 ABCD 沿 BE 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处， AEEM，ABME90， EMD90， EDMADB， EDMBDA， = ， 设 DEx，则 AEEM4x， 5 = 4; 3 ， 解得 x= 5 2， DE= 5 2， 同理DNFDCB， = ， 设 DFy，则 CFNF3y， 第 13 页（共 31 页） 5 = 3; 4 ， 解得 y= 5 3 DF= 5 3
22、EF= 2+ 2=(5 2) 2+ (5 3) 2 = 513 6 故选：C 12 （3 分） （2020内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点， 已知直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个 整点，则 t 的取值范围是（ ） A1 2 t2 B1 2 t1 C1t2 D1 2 t2 且 t1 【解答】解：ytx+2t+2t（x+2）+2（t0） ， 直线 ytx+2t+2（t0）经过点（2，2） ，如图， 当直线经过（0，3）时，直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边 界）中有且只有四个整点， 则 32
23、t+2，解得 t= 1 2； 当直线经过（0，6）时，直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边 界）中有且只有四个整点， 则 62t+2，解得 t2； 当直线经过（0，4）时，直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边 界）中有且只有三个整点， 则 42t+2，解得 t1； 直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整 点，则 t 的取值范围是1 2 t2 且 t1， 故选：D 第 14 页（共 31 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分
24、） 13 （5 分） （2020内江）在函数 y= 1 24中，自变量 x 的取值范围是 x2 【解答】解：根据题意得 2x40， 解得 x2； 自变量 x 的取值范围是 x2 14 （5 分） （2020内江）2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三 号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位 系统正式建成根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有 7 亿台，其中 7 亿用科 学记数法表示为 7108 【解答】解：7 亿7000000007108， 故答案为：7108 15 （5 分） （2020内江）已知关于 x 的
25、一元二次方程（m1）2x2+3mx+30 有一实数根为 1，则该方程的另一个实数根为 1 3 【解答】解：把 x1 代入原方程得， （m1）23m+30，即：m25m+40， 解得，m4，m1（不合题意舍去） ， 当 m4 时，原方程变为：9x2+12x+30，即，3x2+4x+10， 由根与系数的关系得：x1x2= 1 3，又 x11， 第 15 页（共 31 页） x2= 1 3 故答案为： 1 3 16 （5 分） （2020内江）如图，在矩形 ABCD 中，BC10，ABD30，若点 M、N 分 别是线段 DB、AB 上的两个动点，则 AM+MN 的最小值为 15 【解答】解：作点 A
26、 关于 BD 的对称点 A，连接 MA，BA，过点 AHAB 于 H BABA，ABDDBA30， ABA60， ABA是等边三角形， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC10， 在 RtABD 中，AB= 30 =103， AHAB， AHHB53， AH= 3AH15， AM+MNAM+MNAH， AM+MN15， AM+MN 的最小值为 15 故答案为 15 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17 （7 分） （2020内江）计算： （ 1 2） 1|2|+4sin601
27、2 +（3）0 第 16 页（共 31 页） 【解答】解：原式22+4 3 2 23 +1 22+23 23 +1 3 18 （9 分） （2020内江）如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，点 A、D 在 BC 异侧，AB CD，AEDF，AD （1）求证：ABCD； （2）若 ABCF，B40，求D 的度数 【解答】 （1）证明：ABCD， BC， 在ABE 和DCF 中， = = = ， ABEDCF（AAS） ， ABCD； （2）解：ABEDCF， ABCD，BECF，BC， B40， C40 ABCF， CFCD， DCFD= 1 2 （18040）70 19 （9 分） （20
28、20内江）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分 为 A、B、C、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请你 根据统计图解答下列问题 第 17 页（共 31 页） （1）成绩为“B 等级”的学生人数有 5 名； （2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 72 ，图中 m 的值为 40 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出 2 名去参加市中学生知识 竞赛已知“A 等级”中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概 率 【解答】解： （1）315%20（名） ，203845（名） ， 故答案为：5；
29、 （2）360 4 20 =72，82040%，即 m40， 故答案为：72，40； （3） “A 等级”2 男 1 女，从中选取 2 人，所有可能出现的结果如下： 共有 6 种可能出现的结果，其中女生被选中的有 4 种， P（女生被选中）= 4 6 = 2 3 20 （9 分） （2020内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航 管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯 塔 P 在北偏东 30方向上 （1）求 B 处到灯塔 P 的距离；
30、第 18 页（共 31 页） （2）已知灯塔 P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【解答】解： （1）PAB30，ABP120， APB180PABABP30， PBAB60 海里； （2）作 PHAB 于 H BAPBPA30， BABP60， 在 RtPBH 中，PHPBsin6060 3 2 =303， 30350， 海监船继续向正东方向航行是安全的 21 （10 分） （2020内江）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过 点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE （1）求证：BE 是O 的切线； （2）
31、设 OE 交O 于点 F，若 DF2，BC43，求线段 EF 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 第 19 页（共 31 页） 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， CE 为切线， OCCE， OCE90， ODBC， CDBD， 即 OD 垂直平分 BC， ECEB， 在OCE 和OBE 中 = = = ， OCEOBE（SSS） ， OBEOCE90， OBBE， BE 与O 相切； （2）解：设O 的半径为 x，则 ODOFDFx2，OBx， 在 RtOBD 中，BD= 1 2BC23， 第 20 页（共 31 页） OD2+BD2OB2， （x2）2+（23）2x2，
32、解得 x4， OD2，OB4， OBD30， BOD60， OE2OB8， EFOEOF844 （3）BOE60，OBE90， 在 RtOBE 中，BE= 3OB43， S阴影S四边形OBECS扇形OBC 2 1 2 443 12042 360 ， 163 16 3 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分 ）分 ） 22 （6 分） （2020内江）分解因式：b4b212 （b+2） （b2） （b2+3） 【解答】解：b4b212（b24） （b2+3）（b+2） （b2） （b2+3） ， 故答案为： （b+2） （b2） （b2
33、+3） 23 （6 分） （2020内江）若数 a 使关于 x 的分式方程:2 ;1 + 1; =3 的解为非负数，且使 关于 y 的不等式组 3 4 +1 3 13 12 2( )0 的解集为 y0，则符合条件的所有整数 a 的积为 40 【解答】解：去分母，得：x+2a3（x1） ， 解得：x= 5 2 ， 分式方程的解为非负数， 5; 2 0，且5; 2 1， 解得 a5 且 a3， 解不等式;3 4 :1 3 13 12，得：y0， 解不等式 2（ya）0，得：ya， 不等式组的解集为 y0， 第 21 页（共 31 页） a0， 0a5， 则整数 a 的值为 1、2、4、5， 符合条
34、件的所有整数 a 的积为 124540， 故答案为：40 24（6 分）（2020内江） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A （2， 0） ， 直线 l： y= 3 3 x+ 3 3 与 x 轴交 于点 B，以 AB 为边作等边ABA1，过点 A1作 A1B1x 轴，交直线 l 于点 B1，以 A1B1 为边作等边A1B1A2，过点 A2作 A2B2x 轴，交直线 l 于点 B2，以 A2B2为边作等边 A2B2A3，以此类推，则点 A2020的纵坐标是 22020;1 2 3 【解答】解：直线 l：y= 3 3 x+ 3 3 与 x 轴交于点 B， B（1，0） ， OB1， A（2，0）
35、 ， OA2， AB1， ABA1是等边三角形， A1（ 3 2， 3 2 ） ， 把 y= 3 2 代入 y= 3 3 x+ 3 3 ，求得 x= 1 2， B1（1 2， 3 2 ） ， A1B12， 第 22 页（共 31 页） A2（ 1 2， 3 2 + 3 2 2） ，即 A2（ 1 2， 33 2 ） ， 把 y= 33 2 代入 y= 3 3 x+ 3 3 ，求得 x= 7 2， B2（7 2， 33 2 ） ， A2B24， A3（3，33 2 + 3 2 4） ，即 A3（3，73 2 ） ， ， An的纵坐标为2 ;1 2 3， 点 A2020的纵坐标是2 2020;1
36、2 3， 故答案为2 2020;1 2 3 25 （6 分） （2020内江）已知抛物线 y1x2+4x（如图）和直线 y22x+b我们规定：当 x 取任意一个值时， x 对应的函数值分别为 y1和 y2 若 y1y2， 取 y1和 y2中较大者为 M； 若 y1y2，记 My1y2当 x2 时，M 的最大值为 4；当 b3 时，使 My2 的 x 的取值范围是1x3；当 b5 时，使 M3 的 x 的值是 x11，x23； 当 b1 时，M 随 x 的增大而增大上述结论正确的是 （填写所有正确结论 的序号） 【解答】解：当 x2 时，y14，y24+b，无法判断 4 与 4+b 的大小，故错
37、误 如图 1 中，b3 时， 第 23 页（共 31 页） 由 = 2 + 4 = 2 3 ，解得 = 1 = 5或 = 3 = 3， 两个函数图象的交点坐标为（1，5）和（3，3） ， 观察图象可知，使 My2的 x 的取值范围是1x3，故正确， 如图 2 中，b5 时，图象如图所示， M3 时，y13， x2+4x3， 解得 x1 或 3，故正确， 当 b1 时，由 = 2 + 1 = 2+ 4，消去 y 得到，x 22x+10， 0， 此时直线 y2x+1 与抛物线只有一个交点， 第 24 页（共 31 页） b1 时，直线 y2x+b 与抛物线没有交点， M 随 x 的增大而增大，故正
38、确 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 36 分）分） 26 （12 分） （2020内江）我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的分解：xmn （m，n 是正整数，且 mn） ，在 x 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值 最小，我们就称 mn 是 x 的最佳分解并规定：f（x）= 例如：18 可以分解成 118，29 或 36，因为 1819263，所以 36 是 18 的最佳分解，所以 f（18）= 3 6 = 1 2 （1）填空：f（6） 2 3 ；f（9） 1 ； （2）一个两位正整数 t（t10a+b，1a
39、b9，a，b 为正整数） ，交换其个位上的数字 与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为 54， 求出所有的两位正整数； 并求 f （t） 的最大值； （3）填空： f（22357） 20 21 ；f（2 3357） 24 35 ；f（2 4357） 35 48 ；f（2 5357） 24 35 【解答】解： （1）6 可分解成 16，23， 6132， 23 是 6 的最佳分解， f（6）= 2 3， 9 可分解成 19，33， 9133， 33 是 9 的最佳分解， f（9）= 3 3 =1， 故答案为：2 3；1； （2）设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t，则 t10b
40、+a， 根据题意得，tt（10b+a）（10a+b）9（ba）54， ba+6， 第 25 页（共 31 页） 1ab9，a，b 为正整数， 满足条件的 t 为：17，28，39； F（17）= 1 17，F（28）= 4 7，F（39）= 1 39， 4 7 1 17 1 39， F（t）的最大值为4 7； （3）22357 的是最佳分解为 2021， f（22357）= 20 21， 故答案为：20 21； 23357 的最佳分解为 2435， f（23357）= 24 35， 故答案为24 35； 24357 的最佳分解是 3548， f（24357）= 35 48， 故答案为：35 4
41、8； 25357 的最佳分解是 4870， f（25357）= 48 70 = 24 35， 故答案为：24 35 27 （12 分） （2020内江）如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A、 C 重合） ，连结 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延 长线与边 AD 交于点 F （1）连结 CQ，求证：APCQ； （2）若 AP= 1 4AC，求 CE：BC 的值； （3）求证：PFEQ 第 26 页（共 31 页） 【解答】 （1）证明：如图 1，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BQ， B
42、PBQ，PBQ90 四边形 ABCD 是正方形， BABC，ABC90 ABCPBQ ABCPBCPBQPBC，即ABPCBQ 在BAP 和BCQ 中， = = = ， BAPBCQ（SAS） CQAP （2）解：过点 C 作 CHPQ 于 H，过点 B 作 BTPQ 于 T AP= 1 4AC， 可以假设 APCQa，则 PC3a， 四边形 ABCD 是正方形， BACACB45， ABPCBQ， BCQBAP45， PCQ90， PQ= 2+ 2= (3)2+ 2= 10a， CHPQ， CH= = 310 10 a， BPBQ，BTPQ， 第 27 页（共 31 页） PTTQ， PBQ
43、90， BT= 1 2PQ= 10 2 a， CHBT， = = 310 10 10 2 = 3 5， = 3 8 （3）解：结论：PFEQ，理由是： 如图 2，当 F 在边 AD 上时，过 P 作 PGFQ，交 AB 于 G，则GPF90， BPQ45， GPB45， GPBPQB45， PBBQ，ABPCBQ， PGBQEB， EQPG， BAD90， F、A、G、P 四点共圆， 连接 FG， FGPFAP45， FPG 是等腰直角三角形， PFPG， PFEQ 第 28 页（共 31 页） 28 （12 分） （2020内江）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（4
44、，0） 、C（0， 2）三点，点 D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点 （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当BCD 的面积为 3 时，求点 D 的坐标； （3）过点 D 作 DEBC，垂足为点 E，是否存在点 D，使得CDE 中的某个角等于 ABC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 【解答】 解：（1） 将 A （1， 0） 、 B （4， 0） 、 C （0， 2） 代入 yax2+bx+c 得： + = 0 16 + 4 + = 0 = 2 ， 解得： = 1 2 = 3 2 = 2 故抛物线的解析式为 y= 1 2x 2+3 2x+2 第 29
45、页（共 31 页） （2）如图 2，设点 M 的坐标为（0，m） ，使得BCM 的面积为 3， 3241.5， 则 m2+1.5= 7 2， M（0，7 2） 点 B（4，0） ，C（0，2） ， 直线 BC 的解析式为 y= 1 2x+2， DM 的解析式为 y= 1 2x+ 7 2， 联立抛物线解析式 = 1 2 + 7 2 = 1 2 2+ 3 2 + 2 ， 解得1 = 3 1= 2， 2= 1 2= 3 点 D 的坐标为（3，2）或（1，3） （3）分两种情况考虑： 当DCE2ABC 时，取点 F（0，2） ，连接 BF，如图 3 所示 OCOF，OBCF， ABCABF， CBF2
46、ABC DCB2ABC， DCBCBF， CDBF 点 B（4，0） ，F（0，2） ， 直线 BF 的解析式为 y= 1 2x2， 直线 CD 的解析式为 y= 1 2x+2 联立直线 CD 及抛物线的解析式成方程组得： = 1 2 + 2 = 1 2 2+ 3 2 + 2 ， 解得：1 = 0 1= 2（舍去） ， 2= 2 2= 3， 点 D 的坐标为（2，3） ； 当CDE2ABC 时，过点 C 作 CNBF 于点 N，交 OB 于 H作点 N 关于 BC 的对 第 30 页（共 31 页） 称点 P，连接 NP 交 BC 于点 Q，如图 4 所示 OCH90OHC，OBF90BHN，
47、 OHCBHN， OCHOBF 在OCH 与OBF 中 = = 90 = ， OCHOBF， = ，即 2 = 2 4， OH1，H（1，0） 设直线 CN 的解析式为 ykx+n（k0） ， C（0，2） ，H（1，0） ， = 2 + = 0，解得 = 2 = 2 ， 直线 CN 的解析式为 y2x+2 连接直线 BF 及直线 CN 成方程组得： = 1 2 2 = 2 + 2 ， 解得： = 8 5 = 6 5 ， 点 N 的坐标为（8 5， 6 5） 点 B（4，0） ，C（0，2） ， 直线 BC 的解析式为 y= 1 2x+2 NPBC，且点 N（8 5， 6 5） ， 直线 NP 的解析式为 y2x 22 5 联立直线 BC 及直线 NP 成方程组得： = 1 2 + 2
