1、 1 高二下学期第三次质量检测数学试卷 一、 选择题 1.已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|（ x 1）（ x+2） 0，则 A B=（ ） A 1， 0 B 0， 1 C 1， 0， 1 D 0， 1， 2 2.已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 5 B 5+4i C 3 D 3 4i 3.右图中，小方格是边长为 1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ) A 48 3? B 8? C 28 3? D 18 3? 4.执行如图所示的程序框图， 如果输入 n=4，则输出的 S=（ ） A B C D 5.已知向量 =（ ， ）， =（ ，
2、 ），则 ABC=（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 6.已知 a， b R，则使不等式 |a+b| |a|+|b|一定成立的条件是（ ） A a+b 0 B a+b 0 C ab 0 D ab 0 7.若直线 l1： x+ay+6=0与 l2：（ a 2） x+3y+2a=0平行，则 l1与 l2间的距离为（ ） A B C D 8.已知双曲线 的右焦点与抛物线 y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A B C D 9. ABC，角 A， B， C对应边分别为 a， b， c，已知条件 p： = ，条件 q： a=b，则 p是 q成立的（ ） 2 A充要条件
3、B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既非充分也非必要 条件 10.已知 a 2， 0， 1， 3， 4， b 1， 2，则函数 f（ x） =（ a2 2） x+b为增函数的概率是（ ） A B C D 11.函数 的图象大致是（ ） A B C D 12.已知 O是坐标原点，点 A（ 1， 1），若点 M（ x， y）为平面区域 内的一个动点，则 ?的取值范围是（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D 0， 2 二、 填空题 13.函数 y=cos2x+ sinxcosx的最小值为 14.（理） 在二项式（ x2 ） 5的展开式中，含 x4的项的系数是 a，则 x 1dx= (
4、文） 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1=1， an+1=2Sn，则数列 an的通项公式为 15.已知双曲线 C： 的右焦点为 F， P是双曲线 C的左支上一点， M（ 0， 2），则 PFM周长最小值为 16.若实数 yx, 满足不等式?02240yxyxy ，则11?xy? 的取值范围是 三、 解答题 17.已知 f（ x） = cos2x+2sin（ +x） sin（ x）， x R 3 （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间 （ 2）已知锐角 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 f（ A） = ， a=3，求 ABC面积的最大值 18.心理学家分析
5、发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30，女 20），给所选的同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一题进行解答，选题情况如表（单位：人） （ 1）能否据此判断有 97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 （ 2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 5 7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在 6 8分钟，现甲乙解同一道几何题，求乙比甲先解答完成的概率 （理科做） （ 3）现从选择做几何题的 8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学
6、期 E（ X） 附表及公式 P（ k2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 k2= 19.（理） 如图，四棱锥 P ABCD中， ABC= BAD=90 ， BC=2AD， PAB与 PAD都是等边三角形（ 1）证明： PB CD； （ 2）求二面角 A PD B的余弦值 几何体 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 4 19.（文） 如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，侧面 AA1D1D 为矩形，
7、AB 平面 AA1D1D， CD 平面 AA1D1D，E、 F分别为 A1B1、 CC1的中点，且 AA1=CD=2， AB=AD=1 （ 1）求证： EF 平面 A1BC； （ 2） 求 D1到平面 A1BC1的距离 20.已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点为（ 1， 0），且右焦点到上顶点的距离为 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）过点 P（ 2， 2）的动直线交椭圆 C于 A， B两点， （ i）若 |PA|PB|= ，求直线 AB的斜率； （理科做） （ ii）点 Q在线段 AB 上，且满足 + = ，求点 Q的轨迹方程 21.已知函数 f（ x） =ex x2+a， x
8、R，曲线 y=f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=bx （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）当 x R时，求证： f（ x） x2+x； （理科做） （ 3）若 f（ x） kx 对任意的 x （ 0， + ）恒成立，求实数 k的取值范围 22.选修 4-4（ 10 分） 在直角坐标系 xOy中，以原点 O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的参数方程为 （ t为参数）， P点的极坐标为（ 2， ），曲线 C的极坐标方程为 cos 2=sin （ ）试将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线 C的焦点坐标； （ ）设直线 l与曲线 C相交于两点
9、 A， B，点 M为 AB 的中点，求 |PM|的值 5 23.选修 4-5（ 10 分） 设函数 f（ x） =|x+2|+|x 2|， x R （ ）求不等式 f（ x） 6 的解集； （ ）若关于 x的方程 f（ x） =a|x 1|恰有两个不同的实数根，求 a的取值范围 6 高二下学期第三次质量检测 数学试卷 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D D A D B A A B D D 13. 14.（理） ln10（文） 15. 16.-21 ,2) 17.【解答】解：（ 1） f（ x） = cos2x+2sin（ +x） sin（ x）
10、= cos2x 2cosxsinx= cos2x sin2x= 2sin ， 由 +2k 2x +2k ，解得 k + x +k ， 因此函数 f（ x）的单调递增区间为： k + ， +k ， k Z （ 2） f（ A） = ，可得 sin = ， ， ， = 解得 A= 由余弦定理可得： 2bc bc=bc，可得 bc 9，当且仅当 b=c=3时取等号 S ABC= sinA 当且仅当 a=b=c=3时， ABC面积取得最大值 18.【解答】解：（ 1）由表中数据，得： k2= = ， 据此判 断有 97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 （ 2）设甲、乙解答同一道题的时间分别为 x，
11、 y分钟， 则基 本事件满足区域为 ，如图所示： 设事件 A 为 “ 乙比甲先做完此题 ” ，则满足的区域还要满足 x y， 7 由几何概型得乙比甲先解答完成的概率 P（ A） = = （ 3）由题意知在 8名女生中任意抽取 2人，抽取 方法有 种， 其中甲、乙两人没有一个人被抽取有 种， 恰有一人被抽到有 种，两人都被抽到有 种， X的可能取值有 0， 1， 2， P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， X的分布列为： X 0 1 2 P E（ X） = = 19.（理） 【解答】解：（ 1）证明：取 BC的中点 E，连接 DE，则 ADEB为正方形， 过 P
12、作 PO 平面 ABCD，垂足为 O， 连接 OA， OB， OE， OD， ? 由 PAB和 PAD都是等边三角形可知 PA=PB=PD， 所以 OA=OB=OD， 即点 O为正方形 ADEB对角线的交点 ? 故 OE BD，从而 OE 平面 PBD，所以 OE PB， 因为 O是 BD 的中点， E是 BC的中点， 所以 OE CD，因此 PB CD? （ 2）由（ 1）可知， OE， OB， OP两两垂直 以 O为 原点， OE 方向为 x轴正方向， OB方向为 y轴正方向， OP 方向为 z轴正方向， 建立如图所示的直角坐标系 O xyz， ? 设 |AB|=2，则 ， ， ， ， ?
13、 8 设平面 PAD的法向量 ， ， ， 取 x=1，得 y=1， z= 1，即 ， ? 因为 OE 平面 PBD，设平面 PBD的法向量为 ，取 ， 由图象可知二面角 A PD B的大小为锐角， ? 所以二面角 A PD B的余弦值为 ? 19（文 )【解答】（ 1）证明：取 A1B的中点 O，连接 OE， OC，则 OE平行且等于 BB1， F为 CC1的中点， CF 平行且等于 CC1， OE平行且等于 CF， 四边形 OECF是平行四边形， EF OC， EF?平面 A1BC， OC?平 面 A1BC， EF 平面 A1BC； （ 2）解： A1BC1中， A1B=A1C1= ， BC
14、1= ， 面积为 = 设 D1到平面 A1BC1的距离为 h，则 h= h= 即 D1到平面 A1BC1的距离为 20【解答】解：（ ）由题意得： c=1， a= ， b2=a2 c2=1， +y2=1； （ ）（ i）设直线 AB： y=k（ x 2） +2， 9 点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 由 ， 得：（ 1+2k2） x2+4k（ 2 2k） x+2（ 2 2k） 2 2=0（ *）， x1+x2= ， x1x2= ， |PA|PB|= |2 x1|? |2 x2| =（ 1+k2） 4 2（ x1+x2） +x1x2 = = ， 解得： k2=1，即 k=1或
15、1； （ ii）设点 Q（ x0， y0），由点 Q在直线 AB 上， 得 y0=k（ x0 2） +2，（ *）， 又 + = ，得 + = ， + = ， 2 x0=2 =2 （ 2+ ） = ， k= ， 把它带入（ *）式，得 y0=k（ x0 2） +2= （ x0 2） +2= x0+ ， 即点 Q的轨迹方程是： x+2y 1=0，（ x ） 21.【解答】解：（ 1） f（ x） =ex x2+a， f（ x） =ex 2x 由已知 ? ， f（ x） =ex x2 1 ? （ 2）令 （ x） =f（ x） +x2 x=ex x 1， （ x） =ex 1，由 （ x） =0，得 x=0， 当 x （ ， 0）时， （ x） 0， （ x）单调递减； 当 x （ 0， + ）时， （ x） 0， （ x）单调递增 10 （ x） min= （ 0） =0，从而 f（ x） x2+x （ 3） f（ x） kx 对任意的 x （ 0， + ）恒成立 ? k对任意的 x （ 0， + ）恒成立， 令 g（ x） = ， x 0， g （ x） = ， 由（ 2）可知当 x （ 0， + ）时， ex x 1 0恒成立，令 g（ x） 0，得 x 1； g（ x） 0，得0 x 1 g（ x）的增区间为（ 1， + ），减区间为
