1、 - 1 - 衢州市 2017 年 6 月高二年级教学质量检测试卷 数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设 是虚数单位，复数 的虚部是（ ） A. 1 B. C. -3 D. 【答案】 C 【解析】复数 的虚部是 -3,所以选 C. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题 .首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应 点为 、共轭为 2. 若实数 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不
2、必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 ; ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 ,选 A. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法 1定义法：直接判断 “ 若 则 ” 、 “ 若 则 ” 的真假并注意和图示相结合，例如 “ ? ”为真，则 是 的充分条件 2等价法：利用 ? 与非 ?非 ， ? 与非 ?非 ， ? 与非 ?非 的等价关系，对于条件或结论是否定式 的命题，一般运用等价法 3集合法：若 ? ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件 3. 已知集合 满足 ，则集合 的个数为（ ） A. 2 B.
3、 3 C. 4 D. 5 【答案】 C 【解析】集合 的个数为 选 C. 4. 如图，在正方体 中， 为线段 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设 BD 与 AC 交于 O,则四边形 DOB1E 为平行四边形 ,因此异面直线 与 所成角为,设正方体棱长为 1，则即 ，选 C. 5. 在等比数列 中，若 ，则此数列的前 5 项之积等于（ ） A. -15 B. 15 C. 243 D. -243 【答案】 D 【解析】 ， 选 D. 6. 已知 ，若 ，则 的最小值是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】 A
4、 【解析】 ,当且仅当 时取等号选A. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ”( 即条件要求中字母为正数 )、 “ 定 ”( 不等 式的另一边必须为定值 )、 “ 等 ”( 等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误 . 7. 已知 是 上的奇函数，当 时， ，则函数 的所有零- 3 - 点之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】当 时， ，所以当 时， ；由 得 ；由得 ，所以所有零点之和是 ，选 A. 8. 设双曲线 的下焦点为 ，直线 与圆 相切于点 ，与双曲线上支交于点 ，若 ( 是坐标原点 )
5、，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【 答案】 B 【解析】由题意得 ，由双曲线定义得 ，所以 ， 选 B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 . 9. 已知 是 的增函数，若 ，则 （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】 A . 因此 ， 选 A. 10. 数列 中， ，则 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】 D 【解析】由题意得 ， 因此 因此 （令 ）， 选- 4 -
6、 D. 二、填空题（本大题共 7 小题，多空每小题 6 分，单空每小题 4 分，共 36 分把正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 设函数 ，则函数 的最小正周期为 _，单调递增区间为_ 【答案】 (1). (2). 【解析】函数 的最小正周期为 ,由 得 ，即增区间为 12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _，表面 积为 _ 【答案】 (1). (2). 【解析】 所以体积为 ，表面积为 13. 若抛物线 的焦点 ，则 _；设 是抛物线 上的动点，则 的最小值为 _ - 5 - 【答案】 (1). 2 (2). 5 【解析】由 得 ；设 M,A 在准线上的射影为 M1，
7、A1 则 14. 对于任意两个正实数 ，定义 其中常数 ， “ ” 是实数乘法运算，若 ，则 _；若 ， 与 都是集合 中的元素，则_ 【答案】 (1). (2). 【解析】由 得 ，所以 15. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 为可行域内一点，可行域如图，所以的取值范围是 - 6 - 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围 . 16. 已知定义在 上 的函数 ，若对任意的 ，不等
8、式 恒成立，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 为单调递增奇函数 ,而不等式 等价于17. 在平面内， ，若动点 满足 ，则 的最小值是 _ 【答案】 2 【解析】由 得三角形 ABC 为等边三角形，且边长为 ， 以 AC 所在直线为 x 轴 ， AC 中点为坐标原点建系，则 ， 因此， 所以 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 已知函数 （ 1）求函数 的值域； （ 2） 中，角 的对 边分别为 ， ， 面积 ，求 的值 【答案】（ 1） （ 2） 2 - 7 - 【解析】试题分析：（ 1）先利用二倍角公式、配角公式将函数
9、化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求值域（ 2）先根据 求 B，再利用余弦定理得 ，利用三角形面积公式得 ，代入可得 的值 试题解析：（ 1） ， 的值域是 （ 2）由 由 19. 三棱锥 中， 是 的中点，且 （ 1）求证： ； （ 2）若二面角 的余弦值为 ，求 与平面 所成角的正切值 【答案】（ 1）见解析（ 2） 【解析】试题分 析：（ 1）取 的中点为 ，由等腰三角形性质得 ，由勾股定理以及三角形中位线性质可得 ，再由线面垂直判定定理得 面 ，因此可证 （ 2）由线面角定义得 就是 与平面 所成的角，由二面角定义得 就是二面角的平面角，解三角形可得 与平面 所成角的正切值 试题
10、解析：（ 1）简证：设 的中点为 ，易得 面 - 8 - （ 2）简解： ， ， 又 面 就是 与平面 所成的角 20. 已知函数 （ 1）当 时，）求函数 在 处的切线方程； （ 2）求函数 在 时的最大值 【答案】（ 1） （ 2） 【解析 】试题分析：（ 1）由导数几何意义得切线斜率为 ，再根据点斜式可得切线方程；（ 2）先研究导函数符号变化规律：当 时，为正；当 时，先正后负；当 时，为负，对应确定单调性，进而确定函数最值 试题解析：解：（ 1）当 时， ，即 已知切点为 切线的方程为： （ 2） 当 时， 在 恒成立 在 单调递增 当 时， 在 单调递增 当 时， 在 单调递增，在
11、单调递减 - 9 - 当 时， 在 单调递减 综上所述 21. 已知椭圆 的长轴长为 ，左焦点 ，若过点 的直线与椭圆交于 两点 （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）求证： ； （ 3）求 面积 的最大值 【答案】（ 1） （ 2）见解析（ 3） 【解析】试题分析：（ 1）由椭圆几何意义得 ，解得 （ 2）即证： ，设 ， 直线方程为 ，即证 ，联立直线方程与椭圆方程，代入化简即证（ 3）利用三角形面积公式得 ，再利用 直线方程得，利用弦长公式可得一元函数 ，利用换元可化为一元二次函数：， ， 根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得最值 - 10 - 试题解析：解：（ 1） 椭圆 的长轴长
12、为 ，焦距为 2，即 ， 椭圆的标准方程为 （ 2） ，即证： 设 直线方程为 ，代入椭圆方程得： 其中 ，所以 设 ，则 ， （ 3） 令 则 当 （满足 ），所以 的最大值为 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 (或者多个 )变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 . 22. 数列 中， （ 1）证明： ； （ 2）证明： ； （ 3）设 ，证明： 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 【解析 】试题分析：（ 1）平方化简得 ，作差再根据项的符号可证（ 2）由得递推关系 ，再根据叠加法可证结果（ 3）由平方得递推关系 ，叠加可得 ，即得
