1、 - 1 - x y O A C yx? 2yx?(1,1) B 下学期高二数学 4 月月考试题 06 一、选择题（以下题目从 4项答案中选出一项，每小题 5分，共 40 分） 1. 已知实数cba,满足, 0,c b a ac? ? ?且那么 ( ) 22A . B . ( ) 0C . D . ( ) 0ab ac c b ac b ab ac a c? ? ? ? ? 2. 如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（） A. 324 B 354 C. 334 D 332 3
2、. 从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 ( , )Mxy ，则点M取自阴影部分的概率为 ( ) A 12 B 13 C 14 D 16 4. 设函 数 sin cosy x x x?的图象上的点 00( , )xy 处的切线的斜率为 k，若 0()k g x? ，则函数 0()k g x? 的图象大致为（ ） 5. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有 *( 1, )n n n N? 个点，相应的图案中总的点数记为 na ，则239aa +349aa +459aa +?+2012 20139aa =( ) A 20102011 B 20112012 C 20
3、122013 D 20132012 6. 函数 ( ) lnf x x ax?有 小 于 1的极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ? ?0,1 B ? ?,1? C ? ?1,0? D ? ? ? ?, 1 0,? ? ? 7. 已知函数 2 2( ) lnf x x a x x? ? ?在（ 1， 4）上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 36a? B 36a? C263?aD 263?a 8. 已知集合 ? ? ? ? ?M x, y | y f x?，若对于任意 ? ?11x,y M? ，存在 ? ?22x ,y M? ，使得- 2 - 1 2 1 2 0x x y
4、y?成立，则称集合 M是 “ 垂直对点集 ” 给出下列四个集合： ? ? 1M x,y | yx?； ? ? ?1M x , y | y sin x? ? ?； ? ? ?2M x, y | y log x?； ( , ) 2xM x y y e? ? ? 其中是 “ 垂直对点集 ” 的序号是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9. ? ?1 20 2x x x dx? ? ? ? 10. 函数 2( ) 2xf x e x? ? ?在区间 ? ?2,1? 内零点的个数为 11. 若直线 2y x m?是曲线 lny x x? 的切线，则实数 m 的值为
5、. 12. 函数 ? ? 2ln 2 1y x x? ? ?的单调递增区间是 13. 若关于 x 的不等式 12a x x? ? ? ?存在 实数解，则实数 a 的取值范围是 14. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 24a 类比到空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 三、解答题（共 6题，共 80分） 15. （本题 12分）已知函数 ( ) sin( )4f x A x ?（其中 x?R ， 0A? ， 0? ）的最大值
6、为 2，最小正周期为 8 . （ 1）求函数 ()fx的解析式； （ 2）若函数 ()fx图象上的两点 ,PQ的横坐标依次为 2,4 ， O 为坐标原点，求 cos? POQ 的值 . 16. （本题 12分）数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 ? ?21 1 , 1 , 1 , 2 ,2 nna S n a n n n? ? ? ? ? ?（ 1）写出 nS 与 1nS? 的递推关系式 ? ?2n? ，并求 2S , 3S , 4S 的值； （ 2）猜想 nS 关于 n 的表达式，并用数学归纳法证明 - 3 - 17. （本题 14 分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位
7、：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 380? 立方米，且rl 2? 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为 )3( ?cc 千元，设该容器的建造费用为 y 千元 （ 1）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域 ； （ 2）求该容器的建造费用最小时的 r 18. （本题 14 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， 。60? DB FDA B ，且FCFA? . （ 1）求证： BDEFAC 平面? ； （ 2）求证： EADFC 平面/ ； （ 3）求二面角
8、 BFCA ? 的余弦值 - 4 - 19. （本题 14 分）已知椭圆 1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 1( 2,0)F? ， 2F ? ?20, ，点 (2,3)A 在椭圆 1C 上，过点 A 的直线 L 与抛物线 22 :4C x y? 交于 BC, 两点，抛物线2C 在点 BC, 处的切线分别为 12ll, ，且 1l 与 2l 交于点 P . (1) 求椭圆 1C 的方程； (2) 是否存在满足 1 2 1 2P F P F A F A F? ? ?的点 P ? 若存在，指出这样的点 P 有几个（不必求出点 P 的坐标） ; 若不存在，说明理由 . 20. 已知 )0()(
9、? axaxxf ， ( ) 2lng x x? ， （ 1）若对 ),1? 内的一切实数 x ，不等式 )()( xgxf ? 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 1?a 时，求最大的正整数 k ，使得对 3,e （ 2.71828e? ?是自然对数的底数）内的任意 k 个实数 kxxx , 21 ? 都有 )(16)()()( 121 kk xgxfxfxf ? ?成立； （ 3）求证： )12ln(14 41 2 ? ni ini )( *Nn? - 5 - 答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A B B D D 二、 填空题 9 142
10、? 10 2 11 e? 12 11,22?13 ? ? ? ?, 3 3,? ? ? 14 83a 三、解答题 15（ 1）解： ()fx的最大值为 2，且 0A? ， 2A? . ?1 分 ()fx的最小正周期为 8 ， 2 8T ?，得 4? . ?3 分 ( ) 2 sin( )44f x x?. ?4 分 （ 2）解法 1： ( 2 ) 2 s in 2 c o s 22 4 4f ? ? ? ? ? ?， ?5 分 ( 4 ) 2 s in 2 s in 244f ? ? ? ? ? ?， ?6 分 (2, 2 ), (4, 2 )PQ?. ?7 分 6 , 2 3 , 3 2O
11、P P Q O Q? ? ?. ?10 分 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 6 3 2 2 3 3c o s23 2 6 3 2O P O Q P QP O QO P O Q? ? ? ?12 分 解法 2： ( 2 ) 2 s in 2 c o s 22 4 4f ? ? ? ? ? ?， ?5 分 ( 4 ) 2 s in 2 s in 244f ? ? ? ? ? ?， ?6 分 (2, 2 ), (4, 2 )PQ?. ?8 分 (2 , 2 ), (4 , 2 )O P O Q? ? ?. ?10 分 63c o s c o s ,36 3 2O P O QP O Q O
12、 P O Q O P O Q? ? ? ? ? ? ?.?12 分 16解：（ 1）由 ? ?2 1nnS n a n n? ? ? ?2n? 得： ? ?2 1( ) 1n n nS n S S n n? ? ? ?， 即 ? ?22 1( 1) 1nnn S n S n n? ? ? ?， 2122 11nnnnn S S ? ? ? ?时 ,. 1112Sa?由可得2 4 1 2 4 ,3 2 3 3S ? ? ? ? 3 9 4 3 9 ,8 3 4 4S ? ? ? ? 4 16 9 4 16 .15 4 5 5S ? ? ? ?（ 2）由（ 1）可猜想 21n nS n? ?，下面
13、用数学归纳法证明： - 6 - (i) 当 1n? 时， 211 112 1 1Sa? ? ? ?,猜想成立 (ii)假设 当 nk? 时， 21k kS k? ?成立， 则当 1nk?时， ? ? ? 21 21 1211kkk kSS kk? ? ? ? ? 2 221 11211k kkk? ? ? ? ?1 122kk k? ? ? ?22 12122kkkkk? 故当 1nk?时， ? ?21 12k kS k? ? ?，猜想成立 . 由（ i） (ii)可得， 21n nS n? ?对一切正整数 n 都成立 . ? nS 关于 n 的表达式为21n nS n? ?. 17解 : （
14、 I）设容器的容积为 V ，由题意知 32 34 rlrV ? ? ，又 380?V ， 故 )20(3434380342223rrrrr rVl ? ? ? ，由于 rl 2? ，因此 20 ?r 所以建造费用 20,160)2(44)20(34646 2222 ? rrrccrrrrcrrly ? （ II）由（ I）得 20),220()2(8160)2(8 322 ? rcrrcrrcy ?由于 3?c ，所以 02?c ，令 0?y ，得 3220? cr（ 1）当 22200 3 ? c即 29?c 时， 所以 3220? cr是函数的极小值点，也是最小值点 （ 2）当 22203
15、 ?c即 293 ?c 时，函数单调递减， 所以 2?r 是函数的最小值点， 综上所述，当 293 ?c 时，建造费用最小时 2?r ；当 29?c 时，建造费用最小时3 220? cr 18解：（ ）证 明：设 AC 与 BD 相交于点 O，连结 FO. 因为四边形 ABCD为菱形，所以 BDAC? ，且 O为 AC 中点 . 又 FA=FC，所以 FOAC? . ?2 分 因为 B D E FBDB D E FFOOBDFO 平面，平面 ? , ， 所以 BDEFAC 平面? . ?3 分 - 7 - （ ）证明：因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， 所以 / / , / / ,
16、AD BC DE BF 因为 ,A D F B C D E?平 面 平 面 FBC 所以 / F B C ,D E / F B CAD 平 面 平 面 又 A D E A D D E E A DA D D E D? ? ? ?， 平 面 ， 平 面， 所以平面 /FBC EAD平 面 又 FC FBC?平 面 所以 /FC EAD平 面 . ?6 分 （ ）解：因为四边形 BDEF为菱形，且 60DBF?。 ，所以 DBF? 为等边三角形 因为 O 为 BD 中点，所以 .FO BD? 由（ ）知 ,F O A C A C B D O? ? ?，故 FO ABCD? 平 面 . 由 ,OAOB
17、OF 两两垂直，建立如图所 示的空间直角坐标系 Oxyz . 设 AB=2因为四边形 ABCD为菱形， 60DAB?。 ，则 BD=2，所以 OB=1， 3OA OF?. 所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0( FCBAO ?.?8 分 所以 C F ( 3 , 0, 3 ), C B ( 3 ,1 , 0 )?. 设平面 BFC 的法向量为 n (x,y,z),? 则有 n CF 0,n CB 0.? ? ?所以 3x 3z 0,3x y 0.? ? 取 x1? ，得 n (1, 3, 1)? ? ? . ?12 分 易知平面 AFC 的法向量为 v (0,1,0)? . 由二面角 A-FC-B是锐角，得 | n v | 1 5| co s n , v | | n | | v | 5? ? ? ?. 所以二面角 A-FC-B 的余弦值为 155.?14 分 19 (1)解法 1：设椭圆 1C 的方程为 221xyab? ?0ab?, 依题意 : 222222231,4.abab? ?解得 : 2216,12.ab? ? ?2 分 椭圆 1C 的方程为 22116 12xy?
