1、试卷代号：1076 座位号工 国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试 常微分方程试题（半开卷）2016年7月 题号 四 五 总分 分数 得分 评卷人 1.徽分方程xy=1的通解为y一 A.C十mix?B.C一in.,C.Cln.r?D.xlii.,一dy一 z.力性石V1一y十以 A有奇解y一士1 C无奇解 B有奇解 D有奇解 y一1 一、单项选择题（每小题3分本题共15分 3方程组干F(x,Y),xQR,YQR3 的任何一个解的图像是4维空间中的（AC 一族曲面一个曲面 B一族曲线 D一条曲线 4一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（A是非齐次徽分方程组
2、的通解 B是其对应齐次微分方程组的解 C是非齐次微分方程组的解 D不是其对应齐次微分方程组的解 5.纯量方程dxdt一中，当。时，其，解是（）的 A正定 C渐进稳定 B.D.负定 不稳定 332=2x+y 的奇点0(0,0)的类型是 二3x十4ji 三、计算题（每小题8分，本题共40分）二、境空题【每小题3分，本题共15分）微分方程x2+Xdy，一。是阶微分方程 方程dyax一，满足解的存在惟一性定理条件的区域是 8向量函数组Yi(x),Y2(x),Y。(x）线性相关的条件是它们的朗斯基行列式 W(x)巴0.9二阶线性方程犷十，一。的基本解组是 1。一dxdt10.flffidydt 蜜圈、.
3、一一、.dy、一、，一，、11.不Ui分禺哭重万栏石y妙一l少倒遇税万。_.,_，、dy厂一石丁 1z.不-p)r软任介仄万程二刃一对I一、丁）-U工VJ 兰的通积分。13求全微分方程e一 dx一2y+xe一，)dy一。的通积分。14求克莱洛方程y=x了了，的通解。15.求恰当导数方程y犷+(了)2+312二。的通积分。医夔四牌黝题共5分 16求下列常系数线性微分方程组的通解：山 1r=x十y dy!二一性x州卜V tcit 333 得分 评卷人 五、证明题【本题共15分）17试证明：对任意I。及满足条件。Yol的yo，方程 dy)（夕一1)1+x2+y2 的满足条件y(xo)一y。的解y=y
4、4:x）在（一00，十二）上存在 334 试卷代号：1076 国家开放大学中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试 常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）（供参考）2016年7月 一、单项选择题（每小题3分本题共15分）l.A?2.C?3.D 二、坟空题（每小题3分，本题共15分）6。二 7全平面 8必要 9.cosx,sinx 10不稳定结点 三、计算厄（每小题8分本题共40分）11解当y(y-1)护。时，分离变量，得 1(1)d，一dx 积分，得丁忌侧，一Jdx十C(3分）(5分）一I)dy一dx+C1 yJ in I，一ii一in!y=x+Cx 通积分为 y-1 y=C
5、ex(8分）12.解令，一，则会一二会，代人原方程，得 二dudx一了不了 分离变量，取不定积分，得 I duJt一丁dxx十mnid.?(C,0)(3分）(6分）原方程的通积分为：aresin兰一lnCx?(8分）4.B?S.C 或J(1y-1 335 17证明由于f(x,y)一 y(y一1)1+x2+y2 f,(x,y)=(2y一1)(1+x2+y2）一夕（夕一1)2y(l+x2+y2)2 13解 aM ay M&,y)一e,NCr,y)一（2y+xe)aN 一“一了-ax 因此，原方程是全微分方程 取（x0,y0)=(O,O)，原方程的通积分为 1 Cdx.10一L2yd，一C 即Xe一
6、，一y2=C 14.解克莱洛方程，通解为 y=Cx+C2 15解原方程是恰当导数方程，可写成(yy+x3)=0 即yy+x3=C1 分离变量解此方程，通积分为(3分）(6分）(8分）(8分）(4分）夕2=CI一，X十C,?(8分）四、计算题【本题共15分）16解特征方程为A-AEI=特征根A1一3,A2=一1 A1一 3对应”特征向量为（;人：一1对应的特征向量为 原方程组的通解为（I）一c,y/五、证明题（本题共15分）l队潺 一 14)：一 =0一3)0+1）二0(5分）2e一t (7分）(12分）(15分）在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件(7分）又显然y=o,y=1是方程的两个特解(1。分）现任取x0Q(一oo，十co),yoE(0,l)，记y=y(x）为过（Xq Yo）的解，那么这个解可以惟 一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越y一I，下不能穿越y=o，因此它的存在区间必为(-oo,+oo).?(15分）336
