1、试卷代号：1076 座位号 国家开放大学(中央广播电视大学)2015年春季学期“开放本科”期末考试常微分方程 试题(半开卷)2015年7月题号二三四五总 分分数得 分评卷人一 、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.一阶变量可分离微分方程 M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0 的积分因子是( ).C. 2. 方程 的奇解是( ),A.y=1 B.y=1C.y=- 1 D. 不存在的3.若 A(x),F(x)0 在 ( -o,+o) 上连续，那么线性非齐次方程组Y=(yi,ya) 的任一非零解( ),A. 与 y 轴相交 B. 不与x 轴相交C. 与 x 轴相交 D. 无法确定4.
2、用待定系数法求方程y”-6y+5y=-3e+5x 的非齐次解 yi 的形式应设为( ).A.y=Axe+BxB.yi=Ae+Bx+Cx+DC.y=Ae+BxD.y=Axe+Bx+Cx+D331得 分二、填空题(每小题3分，本题共15分)得 分三、计算题(每小题8分，本题共40分)得 分四、计算题(本题共15分)5.相平面上的一条轨线对应平面自治系统的( )积分曲线。A. 无穷条 B. 一条C.二条 D.三条评卷人6.方程(y+1)dx+(x+1)dy=0 所有常数解是 7.方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是 8.二阶方程 y+f(x)y+g(x)y=0 的等价方程组是 9.二阶线性方程 y
3、+2y+y=0 的基本解组是 10.平面系统的奇点类型是 评卷人11.求可分离变量方程(1+x)ydx+(1-y)xdy=0 的通积分，12.求一阶线性非齐次方程 的通解。13.求全微分方程(ycosx+2xe)dx+(sinx+xe+2)dy=0的通积分。14.求克莱洛方程y=xy+y-y 的通解.15.求恰当导数方程yy-y+ycosx=0 的通积分.评卷人16.求二阶常系数线性非齐次方程x+x=sint 的通解。332评卷人得 分五、证明题(本题共15分)17.设 P(x) 一个多项式函数，证明：方程所有解的存在区间必为(-o,+o).333试卷代号：1076国家开放大学(中央广播电视大
4、学)2015年春季学期“开放本科”期末考试常微分方程 试题答案及评分标准(半开卷)334(供参考)一 、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.B 2.A 3.C 4.D二 、填空题(每小题3分，本题共15分)6.y=- 1,x=- 17.全平面8.9.e*,xe10. 鞍点三 、计算题(每小题8分，本题共40分)11.解 将方程改写为积分得 y-ln |y |=x+1n |x |+C即通积分为 y-x-In|xy|=C12.解 齐次方程的通解为 设原方程的通解为 代入原方程，得 所以，原方程的通解为 注用通解公式求解正确参照给分.5.A2015年7月( 4 分 )(8分)(4分)(8分)1
5、3.解 方程是全微分方程，取(xo,yo)=(0,0) (3分)原方程的通积分为( 6 分 )即 ysinx+xe+2y=C ( 8 分 )14.解 克莱洛方程，通解为：y=Cx+C-C (8分)15.解 方程改写成或 ( (4分)积分得原方程通积分为 In|yl-cosx=Cix+C (8分)四、计算题(本题共15分)16.解 对应齐次方程的特征方程是 +1=0特征根为1,2=i, 齐次方程的通解为x=Ccost+Csint (6分)因为i=i是一重特征根.故非齐次方程有形如x(t)=t(Acost+Bsint)的特解，代入原方程，得 ,B=0 (12分)故原方程的通解为 (15分)五、证明题(本题共15分)17.证明 因为P(x) 在( -o,+m) 上连续，cosy 及(cosy)=-siny 在( -o,+o) 上连续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理. (6分)又显然 ,士1,士2, 是方程的常数解。 (9分)现设 y=y(x) 是方程的任一解，若其初值在常数解 上，则由解的惟一性，y(x)的存在区间必为(一o,+o). 若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一 性和解的延展定理，y=y(x) 可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其存在区间必为(-o,+o). (15分)335
