1、第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。引进惯性力的概念，进而应用静力学方法研究动引进惯性力的概念，进而应用静力学方法研究动力学问题力学问题.达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力动应力。54 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力 转子的静平衡和动平衡转子的静平衡和动平衡53 动
2、静法应用举例动静法应用举例52 惯性力系的简化惯性力系的简化51 达朗贝尔原理达朗贝尔原理第第五五章章达达朗朗贝贝尔尔 原原理理NFFam设质量为设质量为m的非自由质点的非自由质点M，在主动力，在主动力F和约束力和约束力FN作用下沿曲线运动，作用下沿曲线运动，ABMFFN0)(NaFFm 引入质点的惯性力引入质点的惯性力Fg=ma在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。0NgFFF一、质点达朗贝尔原理一、质点达朗贝尔原理ama5-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理Fg质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理的投影形式0NgFF
3、F000NNNxxgxyygyzzgzFFFFFFFFF0giNiiFFF),3,2,1(ni对于任一质点系中每个质点有：二、质点系达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点系的达朗这就是质点系的达朗贝尔贝尔原理。原理。对于一般质点系，有对于一般质点系，有n个形式如上式的平衡方程个形式如上式的平衡方程,根据静力学中空间任意力系的平衡条件，根据静力学中空间任意力系的平衡条件，N0FiigiFFN()()()0OiOiOgiMFMFMF考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进考虑到上式中的
4、求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅行，而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有有6 6个平衡方程，而是共有个平衡方程，而是共有3n个独立的平衡方程。同个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点对任一点O的主矩也等于零。的主矩也等于零。N0FiigiFFN()()()0OiOiOgiMFMFMF质点系达朗贝尔原理质点
5、系达朗贝尔原理 惯性力惯性力FaFgaFmg惯性力作用在使物体（小车）产生加速度的施力物体（推车人）FgFaFm动力学问题动力学问题gFF 0gmFFaF形式上的静力平衡形式上的静力平衡任何物体都将给予企图改变它运动状态的任何其他物体以阻力.nddasAgF电机护环直径D，环截面面积A，材料密度（kg/m3），转子角速度=常数。护环截面张力。研究对象：xy四分之一护环gFd运动分析：运动分析：2n2Da sADd22dd422AD0cosd:0220gFFFx2222240sin2sin4ADADF2Av0sind:0120gFFFy2222140cos2cos4ADADF2AvF1F21.刚
6、体作平动刚体作平动 5-2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化iigim aFcim am2mnm1a1a2anFgnFg1Fg2C aCgRF合力大小：合力大小：CigigRm aFFCma位置：位置：CiigiOgROm arFMFM)()(ciimar ccmar ccmargRcFr 结论：结论：平动刚体的惯性力系可平动刚体的惯性力系可以简化为以简化为通过质心通过质心的合的合力，其大小等于刚体的力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。方向与加速度方向相反。主矢主矢向转轴向转轴O点简化点简化)(niiiiigimmaaaFiigRm aF22d
7、dtiira cma主矩主矩)(giOgOMMF)()(ngiOgiOMMFF)(giOMF2iirmiiiramzJiira 2iizrmJngRgRFF2.刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动刚体有对称面，且转轴与对称面垂直。向质心向质心C点简化点简化iigRgRm aFF()gCgOcgRMMMF()gOcMMgRF)(CgRzrFJ)(2CzmrJ 2CzmrJCJcma结论结论：刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯性：刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯性力系可以简化为对称面内的力系可以简化为对称面内的一个力和一个力一个力和一个力偶偶。该力等于。该力等于mac，方向与，方向与ac方向相反，作用方
8、向相反，作用在轴在轴(质心质心)上；该力偶的矩等于上；该力偶的矩等于Jz (JC )，方向与方向与 相反。相反。例：图示均质杆AB质量为m，长为l，绕O点作定轴转动，角速度为，角加速度为，计算杆上惯性力系向O点和质心C简化的结果。解：运动分析242mlmaFCgR2laC22lanC242laC向向O点简化点简化231mlJMOgO向质心向质心C简化简化2121mlJMCgC242mlmaFCgR242mlmaFCgR231mlJMOgO2121mlJMCgC242mlmaFCgR刚体有对称面，且平行与对称面运动)mmniCiCCiiigiaaaaF(向质心向质心C点简化点简化iigRm aF
9、cma)(giCgCMMF)()()(ngiCCgiCCgCCMMMFFF2iCirmiCiCiramCJCCCC)(giCCMF3.3.刚体作平面运动刚体作平面运动主矢主矢主矩主矩例：图示均质圆轮半径为r，质量为m，沿水平面作无滑动的滚动，角速度为，角加速度为，计算圆轮上惯性力系向圆心O简化的结果。解：运动分析raOmrmaFOgR向圆心向圆心O简化简化221mrJMOgOO惯性力惯性力系的主矩与刚体的运动形式系的主矩与刚体的运动形式有有关。关。惯性力惯性力系的主矢与刚体的运动形式系的主矢与刚体的运动形式无无关。关。CiigigmmaaFF惯性力系主矢：与简化中心选取无关与简化中心选取无关g
10、iOgOFMM惯性力系主矩：与简化中心选取有关与简化中心选取有关gCCzMJ 主矩主矩gcCm Fa主矢主矢()gCiiCmmFaa主矢主矢主矩主矩0gCM主矢主矢nt()goCCCmmFaaagozMJ 对转轴的主矩对转轴的主矩例题汽车连同货物的总质量是m，其质心C离前后轮的水平距离分别是b和c,离地面的高度是h。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。ABCcbh5-3 动静法应用举例动静法应用举例Ccbh研究对象研究对象:汽车连同货物汽车连同货物惯性力系合成惯性力系合成:Fg=ma 0,()0(1)N BgAMF hmgcFbc0,()0(2)gN
11、ABMF hmgbFbccbahgbmFcbahgcmFBA)()(NN汽车受到的外力：汽车受到的外力：重力重力 G，FNA、FNB 以及水平摩擦以及水平摩擦力力 FB (注意：前注意：前轮一般是被动轮，轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不其摩擦力可以不计计)。例题 如图所示，匀质滑轮的半径为r，质量为m，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1（A）和m2（B）的重物,且m1 m2。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度和轴承反力。OABrO解：系统为研究对象受力：重力受力：重力m1g，m2g，mg，轴承约束反力轴承约
12、束反力FN。OABry惯性力分别为：惯性力分别为：O11gmFa22gmFaOABryOMgO=JO =marramr21212惯性力偶矩：惯性力偶矩：N12g1g20Fmgm gm gFF,0yF(01g1g22gOm gFFm g)rM,0)(FOmgmmmmma21212102121NamamgmgmmgF例例 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁合重P，如图所示。绞盘与电机转子固结在一起，转动惯量为J。绞车以加速度a提升重物。已知重物质量为m，绞盘半径为R。求由于加速度提升重物而对支座A，B的附加压力。1l2lABRPa。AmgAFBFPgFgM解：以整体为研究对象，受力如
13、图所示，根据动静法：maFraJJMgg032221ggAMPlmgllFllF)(0)(FMB惯性力为惯性力为：0,0gBAyFPmgFFFB解得：a。mgAFBFPgFgMrJmlllalllPmglllFrJmlllaPlmglllFBA121321121221322111AB 由于加速度提升重物而对支座A，B的附加压力等于附加动反力附加动反力分别为：rJmlllaFrJmlllaFBA121221 例题 如图所示，匀质圆盘的半径为r，质量为m，可绕水平轴O转动。突然剪断绳，求圆盘的角加速度和轴承O处的反力。ABrOC解：圆盘定轴转动，惯性力向转轴O简化。ArOCyxxFgt=matC=
14、m rtCanCaFgn=mr2=0gMgO=JO =232mr,0 xF FOx+Fgn=0,0yFFOy+Fgtmg=0,0)(FCM(0OygtgOFF)rM0)(FOM？0MgOmgr 惯性力系若向C点简化？ArOCyxtCanCa 讨论Fgt=matC=m rMgC=Jc =212mrFgn=mr2=00OygCF rM,0yF,0)(FCM FOx+Fgn=0,0 xFFOy+Fgtmg=0ArOCyxxtCanCagArOCyxtCanCaFgt=matC=m rMgO=JO =232mrFgn=mr2=0Fgt=matC=m rMgC=Jc =212mrFgn=mr2=0惯性力
15、系向转轴O和质心C简化结果对比“动静法动静法”解题步骤解题步骤1.选取研究对象2.对研究对象进行传统的受力分析，受力图3.运动分析，给研究对象施加惯性力4.列平衡方程5.求解思考：思考：动静法与动力学普遍定理求解动力学动静法与动力学普遍定理求解动力学问题相比，有何优缺点？问题相比，有何优缺点？优点优点：加惯性力，系统平衡，可充分应用静：加惯性力，系统平衡，可充分应用静力学各种平衡方程力学各种平衡方程,方程形式方程形式(矩心矩心)非常灵活非常灵活;涵盖了平面运动微分方程涵盖了平面运动微分方程.缺点：缺点：加速度分析；内力变外力；约束反力；加速度分析；内力变外力；约束反力；容易掩盖系统动力学特性。
16、容易掩盖系统动力学特性。例题 用长 l 的两根绳子AO和BO把长l，质量是 m 的匀质细杆悬在点O。当杆静止时，突然剪断绳子BO，试求刚剪断瞬时另一绳子AO 的拉力。OlllBACOBAC解：绳子剪断后，杆AB平面运动；杆AB上受绳子AO的拉力F和杆的重力mg.对杆作加速度分析对杆作加速度分析,质心质心C作基点作基点aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anACOxyBCyaCxaAtACatAaCyaCxa在绳剪断瞬时，杆的角速度在绳剪断瞬时，杆的角速度=0,角加速度角加速度 0。因此。因此anAC=AC 2=0atAC=l2把上式投影到点把上式投影到点AO上上t0cossinsi
17、nCxCyACaaa cos-sinsin02CxCylaaFgCx=maCx ,FgCy=maCyM gC=JCz根据运动分析，加惯性力和惯性力偶矩根据运动分析，加惯性力和惯性力偶矩0 sin2 ,0)(0 sin ,00 cos ,0lFJMFmgmaFFmaFzCCCyyCxxFmgmgF1332cossin4 sin22OBACFgCxFgCyM gC例题 半径为R，重量为W1的大圆轮，由绳索牵引，在重量为W2的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。解：考察整个系统，有4个未知约束力。如果直接采用动静法，需将系统如果直接采用动
18、静法，需将系统拆开。可以考虑先应用动能定理，求拆开。可以考虑先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。出加速度，再对大圆轮应用动静法。sWTRvRgWvgWvgW202212122)(21(2121211.1.应用动能定理。应用动能定理。sWTvgWgW20212)23(21sWTvgWgW20212)23(21vtsdd12223WWgWa两边对时间两边对时间t求导，且求导，且2.2.应用动静法应用动静法取轮子为研究对象取轮子为研究对象0 0,)(FRJMCCF将将 带入上式得带入上式得)23(212122WWWWRaJRJFCC2l2lABeC转子质量m=20kg，偏心距e=0.1
19、mm，转速n=12000r/min。当质心C转到最低位置时轴承所受的压力。研究对象:转子受力分析受力分析:如图示如图示FAFBmgFg运动分析运动分析:转动转动rad/s400602n2meFg 02:0lmgFlFMgABF 022:0lFlFMBACF22121:memgFFBA求得倍16 FF 1982NABFFmg静反力静反力 2115772ABFFmeN附加动反力附加动反力54 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力 转子的静平衡和动平衡转子的静平衡和动平衡两圆盘质量均为m，对称偏心距均为e，=常量。A、B轴承反力。研究对象:转子受力分析受力分析:如图示如图示运动分析运
20、动分析:转动转动211eaaCCgggFmeFF2210:0BxAxxFFF 0:0bFlFMgAxBF2:melbFlbFgAx求得2melbFFAxBx附加动反力附加动反力mgFBy2静反力静反力02:0mgFFByylbABC2C1xyFAxFBxFByFg1Fg2mgmg当刚体作定轴转动时，惯性力一当刚体作定轴转动时，惯性力一般要在轴承上引起附加动压力般要在轴承上引起附加动压力.,tzra 2nzra 刚体上任意点刚体上任意点D的加速度分别是的加速度分别是定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力ODo1rrzyxAz atan OxDatxy anyrzD点点D的加速度在各
21、坐标轴的投影分别是的加速度在各坐标轴的投影分别是sin cossincos2tnzzxrraaayx2cos sincossin2tnzzyrraaaxy20zayxax2xyay2ODo1rrzyxAz atan()gxiixFm a22iiiiCCm xm ymxmy()gyiiyFm a22iiiiCCm ym xmymx0gzF22()iiiiiJJgoxiiyyzzxMm a zmyx z 22()iiiiiiiJJgoyxzxyzMm a zmxy z 2tiiii iJgozzzzMm a rm r yzii iJmyz刚体对刚体对y、z轴的惯性积轴的惯性积xziiiJm x z
22、 刚体对刚体对x、z轴的惯性积轴的惯性积FRx、FRy、FRz分别为主动力系主矢在坐标轴上分别为主动力系主矢在坐标轴上的投影，的投影，MOx、MOy、MOz分别为主动力系对点分别为主动力系对点O O的主矩在各坐标轴上的投影。的主矩在各坐标轴上的投影。根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，,0 xF0gxFFFFxRBxAx,0yF0gyFFFFyRByAy,0zF0RzAzFF,0)(FxM()()0 xAyyByoxgoxMMMMFF,0)(FyM()()0yAxyBxoygoyMMMMFF,0)(FzM0ozgozMMODo1rrzyxAz atan OB
23、FMOBFMAB1FgxgoyRxoyBx OBFMOBFMAB1FgygoxRyoxBy OAFMOAFMAB1FgxgoxRxoyAx OAFMOAFMAB1FgygoxRyoxAyRzAzFF求得定轴转动刚体轴承处的求得定轴转动刚体轴承处的反力反力。该反力由两部。该反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的分组成：一部分为主动力系所引起的静反力静反力；另；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的附加反附加反动力动力。与此对应，轴承所受的压力也可分为。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压静压力力和和附加动压力附加动压力。消除附加动压力的条件 静平衡和动平衡
24、 在转动刚体的轴承上可能因惯性力而产生的巨大的在转动刚体的轴承上可能因惯性力而产生的巨大的附加动压力，以致使机器坏损或引起剧烈的振动。附加动压力，以致使机器坏损或引起剧烈的振动。要使定轴转动刚体的轴承不受附加动压力的作用，要使定轴转动刚体的轴承不受附加动压力的作用，必须也只须转动轴是刚体的一个中心惯性主轴。必须也只须转动轴是刚体的一个中心惯性主轴。刚体的静平衡和动平衡刚体的静平衡和动平衡动平衡动平衡 当刚体绕任何一个中心惯性主轴作匀速转动时，当刚体绕任何一个中心惯性主轴作匀速转动时，其惯性力自成平衡，这种现象称为其惯性力自成平衡，这种现象称为动平衡动平衡。静平衡静平衡质心在转动轴线上的情况称为
25、质心在转动轴线上的情况称为静平衡静平衡。静平衡的检查静平衡的检查 静静平平衡的刚体转动时，惯性力的主矢必等于零。因衡的刚体转动时，惯性力的主矢必等于零。因此，如果这刚体不是动此，如果这刚体不是动平平衡的，那么它的惯性力只衡的，那么它的惯性力只能合成为一个力偶。能合成为一个力偶。动平衡的检查动平衡的检查 附加质量以附加质量以改变改变整个转子的整个转子的质量分布质量分布，使转轴，使转轴成为中心惯性主轴成为中心惯性主轴.本章小结本章小结1质点的惯性力惯性力定义为aFmg2质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束力及假想的惯性力构成平衡力系。0gNFFF 如果在质点系的每个质点上都加上假想的惯性力，则质点系处于平衡，这就是质系的达朗伯原理质系的达朗伯原理。3根据达朗伯原理，可通过加惯性力将动力学问题转化为静力学问题求解。这就是动静法动静法。用这种方法解题的优点是可以充分利用静力学中的解题方法及技巧。4刚体的惯性力是分布力系，向固定点简化的结果是CgRmaFdtdOgOLM定轴转动时zgzJM平面运动时CgRmaFCgCJM
