1、 一、极值点偏移的判定定理一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数( )yf x=， 在区间( , )a b上只有一个极大（小） 值点 0 x， 方程( )0f x =的解分别为 12 ,x x， 且 12 axxb， （1）若 102 ( )(2)f xfxx-，则 12 0 ( ) 2 xx x + ，即函数( )yf x=在区间 12 ( ,)x x上极（小）大值点 0 x 右（左）偏；#网 （2）若 102 ( )(2)f xfxx-，则 12 0 ( ) 2 xx x + ，即函数( )yf x=在区间 12 ( ,)x x上极（小）大值点 0 x 右（左）偏. 证明： （1）因为对于
2、可导函数( )yf x=，在区间( , )a b上只有一个极大（小）值点 0 x，则函数( )f x的 单调递增（减）区间为 0 ( ,)a x，单调递减（增）区间为 0 (, )x b，由于 12 axxb，有 10 xx，且 020 2xxx-，又 102 ( )(2)f xfxx-，故 102 ( )2xxx-，所以 12 0 ( ) 2 xx x + ，即函数极（小）大值点 0 x右（左）偏； （2）证明略. 左左快右慢（极值点左偏快右慢（极值点左偏 12 2 xx m + ?） 左慢右快（极值点右偏左慢右快（极值点右偏 12 2 xx m + ?） 左快右慢（极值点左偏左快右慢（极值
3、点左偏 12 2 xx m + ?） 左慢右快（极值点右左慢右快（极值点右 偏偏 12 2 xx m + ?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数( )f x的极值点 0 x； （2）构造一元差函数 00 ( )()()F xf xxf xx=+-； （3）确定函数( )F x的单调性； （4）结合(0)0F=，判断( )F x的符号，从而确定 0 ()f xx+、 0 ()f xx-的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单
4、调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数( )f x满足 12 ( )()f xf x=， 0 x为函数( )f x的极值点，求证： 120 2xxx+=-=，从而得 到： 0 xx时， 00 ()()f xxf xx+-. （4）不妨设 102 xxx时 ， 00 ()()f xxf xx+-且 102 xxx-=-， 又因为 10 xx， 020 2xxx-且( )f x 在 0 (,)x-?上单调递减，从而得到 102 2xxx-，从而 120 2xxx+得证. （5）若要证明 12 ()0 2 xx f + ，还需进一步讨论 12 2 xx+ 与 0 x的大小，得出 12 2 x
5、x+ 所在的单调区间，从而 得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为 120 2xxx+，故 12 0 2 xx x + ，由于( )f x在 0 (,)x-?上单调递减，故 12 ()0 2 xx f + .*网 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求( )f x的单调性、极值点，证明 0 ()f xx+与 0 ()f xx-（或( )f x与 0 (2)fxx-）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 120 2xxx+或 12 ()0 2 xx f + . 2
6、1x ， 2 1x ，( )f x在(,1)-?上单调递增， 12 2xx -， 12 2xx+. 函数 43 4 ( ) 3 f xxx=- 与直线 1 () 3 ya a=- 交于 1 ( , )A x a、 2 (, )B x a两点. 证明： 12 2xx+. 【解析】由函数 2 ( )lnf xx x =+单调性可知：若 12 ( )()f xf x=，则必有 12 2xx，#网 而 1111 11 22 ()(4)lnln(4) 4 f xfxxx xx -=+-+- - ， 令 22 ( )lnln(4) 4 h xxx xx =-+- - ，则 2222 2222 2 22 2
7、2112(4)2(4)(4) ( ) (4)4(4) 8(2) 0 (4) xxxxxx h x xxxxxx x xx -+-+- =-+= - - =-=， 所以 11 ( )(4)0f xfx-即 11 ( )(4)f xfx-，所以 22 ()(4)f xfx-，所以 12 4xx+. 已知函数 ( )()() 2 21 x fxxea x=-+-有两个零点.设 12 ,x x是 ( ) fx的两个零点，证明： 12 2xx+. 五五、招式演练、招式演练 已知函数 ( ) 2 2 x a g xex=+，其中,2.71828aR e?为自然对数的底数， ( ) fx是 ( ) g x的
8、导函数. （）求 ( ) fx的极值； （）若1a =-，证明：当 12 xx，且 ( )( )12 f xf x=时， 12 0 xx+. 【答案】 (1) 当0a时， ( ) fx无极值; 当0a在 () ,x?时成立 ( ) f x 在( ) ,-?上单调递增， ( ) fx无极值. 当0a时， ( ) 0 x fxea= + =解得 () lnxa=-&网 由 ( ) 0fx 得 () lnxa 得 () lnxa-来源: 所以 ( ) fx在 ()() ,lna-?上单调递减，在 ()() ln,a-+?上单调递增， 故 ( ) fx有极小值 ()()() lnlnfaaaa-=-+
9、-. （）当1a =-时， ( ) x f xex=-的定义域为( ) ,-?， ( ) 1 x fxe =-， 由 ( ) 10 x fxe= -=，解得0 x =.当x变化时， ( ) fx ， ( ) fx变化情况如下表： x () ,0-? 0 () 0,+? ( ) fx - 0 + ( ) fx 单调递减 极小值 单调递增 12 xx，且 ( )( )12 f xf x=，则 12 0 xx（不妨设 12 xx）来源:ZXXK 已知函数 ( ) 2 lnf xxax=-，其中aR （1）若函数 ( ) fx有两个零点，求a的取值范围；来源:ZXXK （2）若函数 ( ) fx有极大
10、值为 1 2 -，且方程 ( ) f xm=的两根为 12 ,x x，且 12 xx. 【答案】 （1） 1 0 2 a e 函数 ( ) fx在( ) 0,+?上单调递增，不可能有两个零点 （2）当0a时， ( ) 1 0, 2 fxx a = = x 1 0, 2a 骣 琪 琪 桫 1 2a 1 , 2a 骣 琪 +? 琪 桫 ( ) fx + 0 - ( ) fx 极大值 ( ) fx的极大值为 111 ln 222 f aa 骣骣 琪琪 =- 琪琪 桫桫 ，由 11 ln0 22a 骣 琪 - 琪 桫 得 1 0 2 a e ； 因为 ()() 22 ln0 aaaa f eeaeaae - =-=-， 所以 ( ) fx在 1 , 2 a e a - 骣 琪 琪 桫 必存在一个零点； 显然当x ?时， ( ) 0fx ， 所以 ( ) fx在 1 , 2a 骣 琪 +? 琪 桫 上必存在一个零点； 来源:Zxxk. 来源:163文库 来源:Z,X,X,K
