1、 【题型综述题型综述】 导数研究函数图象交点及零点问题导数研究函数图象交点及零点问题 利用导数来探讨函数)(xfy 的图象与函数)(xgy 的图象的交点问题，有以下几个步 骤： 构造函数)()()(xgxfxh； 求导)( xh； 研究函数)(xh的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况） ； 画出函数)(xh的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式； 解不等式得解. 探讨函数)(xfy 的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在 性定理求解. 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数 1 lnf xa x x ，aR （I）若曲线 yf x在点（1， 1f）处的切
2、线与直线20 xy垂直，求 a 的值； （II）当1a 时，试问曲线 yf x与直线23yx是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有， 请说明理由 【思路引导】 （1）根据导数的几何意义得到 112fa ，即1a ； （2）构造函数 1 ln23g xxx x ，研究 这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到 g x在（0，1）（1,）恒负， 10g，故只有 一个公共点 当1x 时， 0gx ， g x在（1,）单调递减； 当01x时， 0gx ， g x在（0，1）单调递增*网 又 10g，所以 g x在（0，1）（1,）恒负 因此，曲线 yf x与直线23yx仅有一个公共点，公共点为
3、（1，-1） 例 2已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数) （1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数m，使得对任意的 1 , 2 x 都有函数 m yf x x 的图象在函数 x e g x x 图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（ ln2 1.99 2 e ） 【思路引导】 （）函数 f x与 h x无公共点转化为方程 lnx a x 在0,无解，令 lnx t x x ，得出xe是唯一 的极大值点，进而得到 max t，即可求解实数a取值范围； （）由不等式ln x me x xx 对 1 , 2
4、x 恒成立，即ln x mex x对 1 , 2 x 恒成立， 令 ln x r xex x，则 ln1 x rxex，再令 ln1 x xex，转化为利用导数得到函数的单调性和 极值，即可得出结论. 当且仅当 1 a e 故实数a的取值范围为 1 , e 存在 0 1 x,1 2 ，使得 0 x0，即 0 x 0 1 e0 x ，则 00 xlnx ，9 分 当 0 1 x,x 2 时， x单调递减； 当 0 xx ,时， x单调递增， 则 x取到最小值 0 x 000 0 1 xelnx1x1 x 0 0 1 2 x110 x ， r x0，即 r x在区间 1 , 2 内单调递增 11
5、22 1111 mrelneln21.99525 2222 ， 存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1.*网 例 3已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1x3，xR (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 4ln f x g xx x 的零点个数 【思路引导】 （1）根据 f x是二次函数，且关于x的不等式 0f x 的解集为| 13,xxxR ，设出函数解析 式，利用函数 f x的最小值为4，可求函数 f x的解析式； （2）求导数，确定函数的单调性，可得当 03x时， 140g xg ， 555 5 3 20221 2290g ee
6、e ，结合单调性由此可 得结论 (2) 2 233 4ln4ln20 xx g xxxxx xx ， 22 1334 1 xx gx xxx ，令 0gx，得 1 1x ， 2 3x 当x变化时， gx， g x的取值变化情况如下： x 0,1 1 1,3 3 3, gx 0 0 g x 递增 极大值 递减 极小值 递增 当03x时， 140g xg ， 555 5 3 20221 2290g ee e ，又因为 g x在3,上单调递增，因而 g x在3, 上只有 1 个零点，故 g x在3,上仅有 1 个零点*网 点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的
7、端点值即为对应 二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根 据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数 例 4已知函数 lnf xxx， ln1g xxt x （）求证：当0 x 时， 0f x ； （）若函数 g x在（1，+）上有唯一零点，求实数t的取值范围 【思路引导】 （ ） 求 导 112 0 22 x fx xxx ， 得4x ， 分 析 单 调 性 得 当0 x 时 ， 4ln442 ln2 10f xf即得证； （） 1 gxt x 对 t 进行讨论0t ， g x在1， +)上是增函数， 所以当1x 时， 10g xg， 所以
8、 g x在(1， +)上没有零点， 若1t ， g x 在1，+)上是减函数，所以当1x 时， 10g xg，所以 g x在(1，+)上没有零点，若 0t1 时分析单调性借助于第一问，找到 2 2 1 114 2 t x t ，则当 1 xx时 2 0txxt ，即 1xt x成立；取 21 1 max,xx t ，则当 2 xx时， ln1xxt x，即 0g x ，说明存在 0 1 x t ，使得 0 0g x，即存在唯一零点 （） 1 gxt x 若0t ，则当1x 时， 1 0gxt x ，所以 g x在1，+)上是增函数， 所以当1x 时， 10g xg，所以 g x在(1，+)上没
9、有零点，所以0t 不满足条件 若1t ，则当1x 时， 1 0gxt x ，所以 g x在1，+)上是减函数，*网 所以当1x 时， 10g xg，所以 g x在(1，+)上没有零点，所以1t 不满足条件 点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理 0t1 时，注意前后问间 的联系，找到 0 1 x t ，使得 0 0g x，根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在； 【新题展示新题展示】 1 【2019 黑龙江大庆二模】已知函数. （）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线 距离的最小值； （）讨论函数零点的个数，并说明理由. 【思路引
10、导】 （1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得 到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可； （2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数. 【解析】 （）法一： （1）当时，在上是增函数. .当时， ，又，故恰有一个零点. （2）当时，得（舍去） ，所以没有零点. （3）当时，令，得或（舍去）. 当时，当时，. 在上是减函数，在上是增函数，. 当，即时，恰有 1 个零点. 当，即时，没有零点. 当，即时，. 令，则，. 令， 在上单调递增， ，. ，有 2 个零点. 综上，函数当或时，有 1 个零点；当时
11、，有 2 个零点；当时，没有零点. 2 【2019 北京房山区上学期期末】已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）若对恒成立，求 的取值范围； （）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点. 【思路引导】 （）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程； （）若对恒成立， 即为对恒成立，设，求得导数和单调性、极大值即最大值，可得 的范围； （）若存 在零点，即关于 的方程有解，可得有解，由的单调性，即可得证 【解析】 （）当时， 所以， 所以切线方程为 （）对恒成立 等价于，即恒成立 设，则 由解得 与在区间上的情况如下 0 增 极大 减 所以函数的单调增区间是，单调减区间是.
12、 函数在处取得极大值（也是最大值） 所以，即 的取值范围是 3 【2019 浙江名校新高考研究联盟联考】设，已知函数， 若恒成立，求 的范围 证明：存在实数 ，使得有唯一零点 【思路引导】 先求导， 根据导数和函数的单调性的关系可得时，在单调递增， 由此； 设的零点为 ，有，则，构造函数，再求导，设 在上存在零点，设为 ， 取，代入到中，根据导数和函数最值的关系，即可求出 【解析】 设的零点为 ，有， 则， 令， 则， 在上存在零点，设为 ， 取，则， ， ， 4 【2019 甘肃、青海、宁夏上学期期末】已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的零点个数. 【思路
13、引导】 （1）由题意，求得函数的导数，求得的值，即可求解曲线在点处的切线方 程； （2）求得函数的导数 ，可得时，函数无零点；当时，利用导数求得函数的 单调性和极值，借助图象即可判定函数的零点个数，得到答案。 【解析】 （1）因为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2） ， 当时，无零点； 当时，由，得. 当时，； 当时，所以. 来源:Z|xx|k.Com ，当时，；当时，. 所以当，即时，函数有两个零点； 所以当，即时，函数有一个零点； 当，即时，函数没有零点. 综上，当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；当时，函数没有 零点. 5 【2019 安徽芜湖上学期期末】已知函数
14、，. （1）求的极值点； （2）若函数在区间内无零点，求 的取值范围. 【思路引导】 （1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对 分成两类，讨论函数的单调区间，进而求得函 数的极值点.（2）先求得函数的导数，对 分成三类，讨论函数的单调区间，结合零点 的存在性定理，求得 的取值范围. 【解析】 （2）， ，则. 当时，则在上单调递增，所以无零点，满足条件； 当时，则在上单调递减，所以无零点，满足条件； 当时，存在，使得， 即时，单调递减；时，单调递增. 又， 故在上一定存在零点，不符合条件. 综上所述，或. 6 【2019 山东济南上学期期末】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个
15、零点，求 的取值范围. 【思路引导】 （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得 f（x）单调性； （2）对 a 分类讨论，结合（1）中的单调性，研究函数的图象的变化趋势从而得到 的取值范围. 【解析】 （1）， （）若，恒成立， 在上为增函数； （）若， 当时，为增函数； 当时，为减函数； 当时，为增函数； （）若， 当时，为增函数； 当时，为减函数； 当，为增函数； 综上所述：当，在上为减函数， 在上为增函数； 当时，在上为增函数； 当时，在上为增函数， 在上为减函数， 在上为增函数； 当时，在上为增函数， 在上为减函数， 在上为增函数. 当时， 取，则， 所以，当时，有
16、1 个零点； 所以，当时，有 2 个零点，符合题意； （）当时，在上为增函数， 不可能有两个零点，不合题意； （）当时，在上为增函数， 在上为减函数， 在上为增函数； 因为， 此时，最多有 1 个零点，不合题意； 综上所述，若有两个零点，则 的取值范围是. 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 2 2 ln ,f xxa x aR x （）若 f x在2x 处取极值，求 f x在点 1,1f处的切线方程； （）当0a 时，若 f x有唯一的零点 0 x，求证： 0 1.x 来源:163文库 【思路引导】 本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用 （）根据函数在2x 处取极值可
17、得 7a ，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可 （）由（）知 3 2 22xax fx x 0 x ，令 3 22g xxax，可得 g x在0, 6 a 上单调递减，在, 6 a 上单调递增结合函数的单调性 和函数值可得 g x在1,上有唯一零点，设为 1 x，证明 10 xx即可得结论 （）由（）知 3 2 22xax fx x 0 x ， 令 3 22g xxax，则 2 6gxxa 由 0,0agx，可得 6 a x g x在0, 6 a 上单调递减，在, 6 a 上单调递增 又 020g ，故当0, 6 a x 时， 0g x ；*网 又 10ga ，故 g x在1,上有唯一零点
18、，设为 1 x， 从而可知 f x在 1 0,x上单调递减，在 1, x 上单调递增， 因为 f x有唯一零点 0 x，故 10 xx且 0 1x 2已知函数 ln b f xa xx 0a （1）当2b 时，若函数 f x恰有一个零点，求实数a的取值范围； （2）当0ab，0b 时，对任意 12 1 ,e e x x ，有 12 e2f xf x成立，求实数b的取值范 围 【思路引导】 （1）讨论0a 、0a 两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定 理可得函数 f x恰有一个零点时实数a的取值范围；（2） 对任意 12 1 ,e e x x ， 有 12 e
19、2f xf x 成立，等价于 maxmin 2f xf xe ，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值， 解不等式即可的结果 当0a 时，令 0fx，解得 2 a x 当0 2 a x时， 0fx，所以 f x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时， 0fx，所以 f x在, 2 a 上单调递增 要使函数 f x有一个零点，则ln0 222 aaa fa 即2ae 综上所述，若函数 f x恰有一个零点，则2ae 或a0 （2）因为对任意 12 1 ,e e x x ，有 12 e2f xf x成立， 所以 g b在0,上单调递增，故 00g bg，所以 1 e e ff 从
20、而 max f x eebfb 所以e1e2 b b 即ee 10 b b ， 设 =ee 1 b bb 0b ，则 =e1 b b 当0b 时， 0b，所以 b在0,上单调递增 又 10，所以ee 10 b b ，即为 1b，解得1b 因为0b ，所以b的取值范围为0,1 *网 3已知函数 0 . x f xeaxa aRa且 (I)若函数 0f xx 在处取得极值，求实数a的值；并求此时 21f x在，上的最大值； ()若函数 f x不存在零点，求实数 a 的取值范围； 【思路引导】 （1）根据函数的极值的概念得到 0 00fea， 1a ，根据函数的单调性得到函数的最值 （2） 研究函数
21、的单调性，找函数和轴的交点，使得函数和轴没有交点即可；分0a 和0a ，两种情况进行讨 论 （2） x fxea，由于0 x e 当0a 时， 0,fxf x是增函数， 且当1x 时， 10 x f xea x 当0 x 时， 1110 x f xea xa x ， 1 1x a ，取 1 x a ， 则 11 110faa aa ，所以函数 f x存在零点 当0a 时， 0,ln x fxeaxa 在 ,lna上 0,fxf x单调递减，在ln,a上 0,fxf x单调递增，所以 lnxa时 f x取最小值 函数 f x不存在零点，等价于 ln lnln2ln0 a faeaaaaaa ，来
22、源: 解得 2 0ea 综上所述：所求的实数a的取值范围是 2 0ea 点睛：这个题目考查的是另用导数研究函数的极值和最值问题，函数的零点问题；对于函数有解求参的问 题，常用的方法是，转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化 为方程的根的问题 4已知函数 exf xxa，其中e是自然数的底数， aR （）求实数 f x的单调区间 （）当1a 时，试确定函数 2 g xf xax的零点个数，并说明理由 【思路引导】 （） 2 x fxexa， 令 0fx，解出2xa ， 0fx 令，解出2xa ， 即可得 f x的单调区间（） 2 ee x ax a g xxx
23、xx ，当0 x 时， 00g， 现考虑函数ex ayx 的零点，令xat，则xat，令 eth tta，考虑函数ety 与 yta 的交点，两者相切e1 t ，解得0t ，此时1a ，所以1a ，故函数ety 与yta 无交点， 即可得结果 点 睛 ： 本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 单 调 区 间 ， 研 究 函 数 零 点 问 题 ， 第 二 问 中 对 2 ee x ax a g xxxxx 进行这样处理，很容易确定一个零点 0，考虑函数ex ayx 的零点时使 用换元法，简化函数式，很容易利用初等函数即可解决 5已知函数 2 ln 2 x f xx， 2 2 x
24、g xx （）求曲线 yf x在1x 处的切线方程 （）求 f x的单调区间 （）设 1h xaf xag x，其中01a，证明：函数 h x仅有一个零点 【思路引导】 （）求导 1 fxx x ，所以 1 110 1 f ，又 1 1 2 f 可得 f x在1x 处的切线方程（） 令 0fx， 解 出01x， 令 0fx， 解 出1x ， 可 得 f x的 单 调 区 间 （ ） 2 1 1ln 2 h xxaxa x， 1 1 ?1 a h xxaxxa xx h x在0,a单 调 递 增 在,1a单 调 递 减 ， 在1,单 调 递 增 ， 且 h x极 大 值 2 1 ln0 2 h
25、aaaa a ， h x极小值 1 10 2 ha 可得 h x在0,1无零点， 在1,有 一个零点，所以 h x有且仅有一个零点 点睛：本题考查了利用导数求函数在某点处的切线，考查了函数的单调区间，考查了利用导数研究零点问 题，注意 h x处理时采用因式分解很容易得出 0h x的根，考查了学生推理运算的能力，属于中档题 6设函数 ln,R m f xxm x （）当em （e为自然对数的底数）时，求 f x的极小值； （）若函数 3 x g xfx 存在唯一零点，求m的取值范围来源:Z。X。X。K 【思路引导】 （1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极值（2）先
26、化简 g x，再利 用参变分离法得 3 1 (0) 3 mxx x ，利用导数研究函数 3 1 0 3 xxx x ，由图像可得存在唯 一零点时m的取值范围 试题解析： （1）由题设，当me时， ln e f xx x ，则 2 xe fx x ，由 0fx，得xe 当0,xe， 0fx， f x在0,e上单调递减，*网 当,xe， 0fx， f x在, e 上单调递增， 又 00，结合 yx的图象（如图） ，可知 当 2 3 m 时，函数 g x有且只有一个零点； 当0m 时，函数 g x有且只有一个零点*网来源:ZXXK 所以，当 2 3 m 或0m 时，函数 g x有且只有一个零点 点睛
27、：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解 (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解 (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 7已知函数 21 1 2 x f xxea x （1）若ae，求函数 f x的极值； （2）若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）函数求导得 111 xx fxxee xxee，讨论导数的单调性即可得极值； （2） 函数求导得 111 xx fxxea xxea， 讨论0a ， 0a ， 1 0a e 和 1 a e 时函数的单调性及最值即可下结论 （2） 111
28、 xx fxxea xxea， 当0a 时，易知函数 f x只有一个零点，不符合题意； 当0a 时，在, 1 上， 0fx ， f x单调递减； 在1, 上， 0fx ， f x单调递增； 1 10f e ，且 120fea， x， f x， 所以函数 f x有两个零点 当 1 0a e 时，在,lna和1, 上， 0fx ， f x单调递增；在ln , 1a 上 0fx ， f x单调递减； 11 lnlnln1ln10 22 faa aaaaa，函数 f x至多有一个零点，不符合题意 当 1 a e 时，在, 1 和ln , a 上 0fx ， f x单调递增；在1,lna上 0fx ，
29、f x 单调递减；*网 1 10f e ，函数 f x至多有一个零点，不符合题意 综上：实数a的取值范围是0a *网 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参 数的交点个数； （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 8已知 2 1 ln 2 f xxa x， aR （1）求函数 f x的增区间； （2）若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围，并说明理由； （ 3 ） 设 正 实 数 1 ， 2 满 足 当
30、0a 时 ， 求 证 ： 对 任 意 的 两 个 正 实 数 1 x， 2 x总 有 1 1221122 fxxf xf x (参考求导公式： f axbafaxb) 【思路引导】 (1)求导 a fxx x ，对a进行分类讨论，可得函数 f x的增区间； （2）由（1）知：若0,a 函数在0,的上为增函数，函数 f x有至多有一个零点，不合题意 若0,a 可 知 min 1 ,1 ln 2 xa fxaa， 要 使 得 函 数 f x有 两 个 零 点 ， 则 min 1 1 ln0 2 f xaa ae，以下证明ae函数 f x有两个零点即可 （3）证明：不妨设 12 0,xx，以 1 x
31、为变量，令 122122 F xfxxf xf x，则可 以证明 0Fx ，所以 F x在 2 0,x单调递增；因为 12 0,xx所以 12 0F xF x，这样就证 明了 1 1221122 fxxf xf x ,10,aea 而 1 10 2 f，所以 f x在 0,a存在惟一零点； 又 2 111 ln12ln 222 feaeaaaa eaa 令 1 2lnh aeaaae 2 0h ae a 所以 h x在, e 上递增， 所以的 h a 2 30h ee所以 f x在 ,a 也存在惟一零点； 综上： ae函数 f x有两个零点 方法 2：(先证： 1,x有ln1,xx) 22 1
32、1 ln 22 f xxa xxaxa 2 ,2aeaaaaa 而 2 22 1 220 2 aaaa aaaa 2 20f aaa，所以 f x在 ,a 也存在惟一零点； 综上： ae，函数 f x有两个零点*网 （3）证明：不妨设 12 0,xx，以 1 x为变量 令 122122 F xfxxf xf x， 则 112211122 Fxfxxfxfxxfx 令 a g xfxx x ，则 2 1 a gx x 因为0a ，所以 0gx；即 fx在定义域内递增 又因为 122122222 1xxxxxxx 且 2 xx所以 122 0 xxx即 122 xxx， 所以 122 0fxxfx
33、；又因为 1 0，所以 0Fx *网 所以 F x在 2 0,x单调递增；因为 12 0,xx所以 12 0F xF x 即 1 1221122 fxxf xf x 【点睛】本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数 的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知 识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等 9已知函数 2 1 ln 2 f xxaxx，1a （1）当0a 时，求函数 f x在 1,1f处的切线方程； （2）令 1g xf xax，讨论函数 g x的零点的个数； （3）若2a ，正实数 12 ,x x满足 1212 0f xf xx x，
34、证明 12 51 2 xx 【思路引导】 （1）求出 f x的解析式，求出切点坐标，再求出 fx，由出 1f的值，可得切线斜率，利用点斜式 求出切线方程即可； （2）求导数，分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，分别结合函数单调性判 断出函数 g x的零点的个数； （3） 1212 0f xf xx x， 化为 2 12121212 lnxxxxx xx x ， 设 12 x xt ，构造函数 lnttt ，然后结合函数单调性得到 2 1212 1xxxx，解不等式可得 结论 （3）证明：当 所以 即为： 所以 令 所以 来源:Z+xx+k.Com 所以 所以*网 因为 【方法点晴】本题主
35、要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题求曲 线切线方程的一般步骤是： （1）求出 yf x在 0 xx处的导数，即 yf x在点P 00 ,xf x出的 切线斜率（当曲线 yf x在P处的切线与y轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 0 xx） ； （2）由 点斜式求得切线方程 00 yyfxxx 10已知函数 ln a f xx x （aR） （1）判断函数 f x在区间 2, e 上零点的个数； （2）当1a 时，若在1,e（2.71828e ）上存在一点 0 x，使得 00 0 1 xmf x x 成立，求实数m的 取值范围 【思路引导】 1令 0 a f
36、 xlnx x ， 2, xe ，得axlnx ，记 H xxlnx， 2, xe ，求得导数， 利用函数单调性可以求得函数极值点以此判断函数 f x在 2, e 上的零点个数； 2本题不宜分离， 因此作差构造函数 11m h xxmf xxmlnx xxx ，利用分类讨论法求函数最小值，由于 2 2222 1111 1 xxmmmxmxm hx xxxxx ，所以讨论1m与1e，的大小，分三种情 况，当1me ， h x的最小值为 h e，1 1m ， h x的最小值为 1h，当11me ， h x的 最小值为1hm，解对应不等式即可 当1 1m ，即0m 时， h x在区间1,e上单调递增
37、，所以 h x的最小值为 1h， 由 11 10hm ，可得2m 当11me ，即01me时，可得 h x的最小值为1hm， 0ln 11m，0ln 1mmm， 12ln 12hmmmm， 此时10hm不成立 综上所述，实数m的取值范围是 2 1 , 2, 1 e e 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数 的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式， 便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质 很难研究，就不要使用分离参数法 11已知函数 2
38、1 3ln 2 f xxx （1）求 f x在 1,1f处的切线方程； （2）试判断 f x在区间1,e上有没有零点？若有则判断零点的个数 【思路引导】 （1）利用导数的几何意义求切线方程 （2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与 0 的关系明 确零点个数来源: 试题解析：来源:Z+X+X+K 12已知函数 ln, x a f xxeaR ，其中2.718,ee为自然对数的底数 （1）当1a 时，求函数 f x的极值； （2）当2a 时，讨论函数 f x的定义域内的零点个数 【思路引导】 （1）求出 fx， 0fx 求得x 的范围，可得函数 f x增区间， 0fx 求得x 的范围，可
39、得 函数 f x的减区间， 根据单调性可得函数的极值；（2） 利用导数研究函数的单调性， 可证明函数 )0f x 恒成立，即证明 f x在定义域内无零点 试题解析：来源:ZXXK （1）当1a 时， 1 1 x fxe x ， 当01x时， 1 1 1,1 x e x ，所以 1 1 0 x fxe x ，则 f x单调增， 当1x 时， 1 1 01,1 x e x ，所以 1 1 0 x fxe x ，则 f x单调减， 所以1x 是 f x的极大值点，极大值是 11f （2）由已知0,x，当2a 时， 2x ax ee ，所以 2 lnln x ax f xxexe ， 【方法点睛】本题
40、主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题求函 数 f x极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 fx；(3) 解方程 0,fx求出函数定义域内 的所有根；(4) 列表检查 fx在 0fx的根 0 x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 f x在 0 x处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 f x在 0 x处取极小值 13已知函数 2 2 xx f xaeaex （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x有两个零点，求 a的取值范围 【思路引导】 利用导数求函数的单调区间，先求导，在定义域下解不等式 0fx和 0fx，求出增区
41、间和减区间； 如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与 x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不 等式求出参数的范围 试题解析： 【点睛】求函数的单调区间，先求出函数的定义域，在对函数求导，在定义域下解不等式 0fx和 0fx ，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函 数的零点问题转化为函数图像与 x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个 数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围 14已知函数 32 11 1 3
42、23 a f xxaxxaR （1）若1a ，求函数 f x的极值； （2）当01a 时，判断函数 f x在区间0,2上零点的个数 【思路引导】 （1）求导数得 1 1fxa xx a ，又1a ，所以 1 01 a ，由此可得函数 f x的单调性，进而 可求得极值； （2）由01a，得 1 1 a 因此分 1 12 a 和 1 2 a 两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定 理判断函数零点的个数 试题解析： （1） 32 11 1 323 a f xxaxx， 2 1 111fxaxaxa xx a ， 因为1a ，所以 1 01 a ， 当 x变化时， ,fxf x的变化情况如下表：
43、 x 1 , a 1 a 1 ,1 a 1 1, fx 0 0 f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得当 1 x a 时， f x有极大值，且极大值为 2 2 1231 6 aa f aa ， 当1x 时， f x有极小值，且极小值为 1 11 6 fa 来源:ZXXK 当 1 1 2 a时， f x在0,2上有且只有一个零点 点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法 研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据 题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使 得问题的求解有一个清晰
44、、直观的整体展现 15已知函数 2 1 ln 2 f xxm x （1）求函数 f x的极值； （2）若1m ，试讨论关于x的方程 2 1f xxmx的解的个数，并说明理由 【思路引导】 （1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间，从而写出函数的极值； （2）令 22 1 11ln 2 F xf xxmxxmxm x ，0 x ，问题等价于求 F x函数的零点个数， 通过讨论 m 的范围，判断即可 （2）令 22 1 11ln 2 F xf xxmxxmxm x ，0 x ，问题等价于求 F x函数的零 点个数*网 易得 1 1 xxmm Fxxm xx 当1m 时， 0Fx ，函数 F x为减函数，因为 3 10 2 F， 4ln40F ，所以 F x有
