1、 目目 录录 第一章第一章 集合与逻辑用语集合与逻辑用语 .1 1.1 集合的概念 .1 1.2 集合间的基本关系.7 1.3 集合间的基本运算.13 1.4 充分条件与必要条件.19 1.5 全称量词与存在量词.22 第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 .23 2.1 不等式的基本性质.23 2.2 基本不等式 .27 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 .33 2.4 分式不等式 .39 2.5 绝对值不等式 .43 第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 .47 3.1 函数的概念及其表示.47 3.2 函数的基本性质 .59 3.2.1 函数
2、的单调性 .59 3.2.2 函数的奇偶性与周期性 .71 3.3 幂函数 .80 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 .84 4.1 指数与指数函数 .84 4.1.1 指数与指数幂的运算 .84 4.1.2 指数函数及其性质 .90 4.2.1 对数与对数的运算 .98 4.2.2 对数函数及其性质 . 105 第一章第一章 集合与逻辑用语集合与逻辑用语 1.1 1.1 集合的概念集合的概念 【知识梳理】知识梳理】 一、集合的概念一、集合的概念 我们把所研究的对象叫做 ，把一些元素组成的总体叫做 二、集合中元素的特性二、集合中元素的特性 （1） ：给定一个集合，任何对象是不
3、是这个集合的元素是确定的； （2） ：集合中的元素一定是不同的； （3） ：集合中的元素没有固定的顺序 三、集合的表示三、集合的表示 （1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、 （2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c 四、常用数集四、常用数集 自然数集：_；正整数集：_；整数集：_；有理数集：_；实数集： 五、元素与集合的关系五、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a_A，记作a_A； （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a_A，记作a_A 六、集合分类（集合分类（根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类） （1）把不含任何元素的集合叫做 记作
4、 ； （2）含有有限个元素的集合叫做 ； （3）含有无穷个元素的集合叫做 七、七、集合的表示方法集合的表示方法 （1）列举法：把集合的元素 出来，写在大括号内； （2）描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的 及取值(或变化)范围，再画上竖线，在竖 线后面写出这个集合中元素所具有的 八、八、识别集合含义的方法识别集合含义的方法 （1）看代表元素：例如)(|xpx表示数集，)(| )(xpyx，表示点集； （2）看条件：例如1| 2 xyx，1| 2 xyy，1| )( 2 xyyx，是不同的集合 【考点分类精讲】考点分类精讲】 考点考点 1 1 集合的含义集合的含义 【考题 1】下列给出的对
5、象中，能表示集合的是（ ） A一切很大的数 B无限接近零的数 C聪明的人 D方程的实数根 2 2 x 【举一反三】 1下列语句能确定是一个集合的是（ ） A著名的科学家 B留长发的女生 C2010 年广州亚运会比赛项目 D视力差的男生 2下列各组对象不能组成集合的是( ) A大于 6 的所有整数 B高中数学的所有难题 C被 3 除余 2 的所有整数 D函数 1 xy图象上所有的点 3下列条件能形成集合的是（ ） A充分小的负数全体 B爱好足球的人 C中国的富翁 D公司的全体员工 考点考点 2 集合中元素的三个特征及其应用集合中元素的三个特征及其应用 【考题 2】已知集合M中的元素a，b，c是A
6、BC的三边，则ABC一定不是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 【举一反三】 1由实数x，x，x， 2 x及 33 x所组成的集合，最多含有元素的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2已知集合 A 是由 0，m，m23m2 三个元素构成的集合，且 2A，则实数 m（ ） A5 B4 C3 D2 考点考点 3 元素与集合关系的判断元素与集合关系的判断 【考题 3】用符号“”或“”填空。 （1）3 N； （2）3.14 Q； （3）0_N；（4）0 ； （5）1_N； ； （6） Q； （7） Q；（8） R 【举一反三】 1下列结论中，不正确的是（ ） A若Na，则
7、Na B若Za，则Za 2 C若Qa，则Qa | D若Ra，则 3 Ra 3 2设非空集合A满足以下条件：若Aa，则A a 1 1 ，且A1 （1）若A2，你还能求出 A 中哪些元素？ （2）求证：若Aa，则A a 1 1 考点考点 4 4 用列举法表示集合用列举法表示集合 【考题 4】用列举法表示下列集合 （1）方程0)87)(1( 22 xxx的解组成的集合； （2）一次函数3 xy与二次函数96 2 xxy的图象的交点组成的集合 【举一反三】用列举法表示下列集合 （1）“中国的直辖市”构成的集合； （2）由“book 中的字母” 构成的集合 考点考点 5 5 用描述法表示集合用描述法表示
8、集合 【考题 5】用描述法表示下列集合 （1）不等式023x的解组成的集合； （2）平面直角坐标系内第一、三象限的平分线上的所有点组成的集合 【举一反三】用描述法表示下列集合 （1）方程52 yx的解集； （2）数轴上离原点的距离大于 3 的点的集合； （3）平面直角坐标系中第、象限点的集合； （4）方程组的解的集合； 考点考点 6 6 列举法与描述法的灵活应用列举法与描述法的灵活应用 【考题 6】用列举法表示下列集合 （1）M=Z x Nx 1 6 | （2）P=NxZ x | 1 6 【举一反三】有以下四个命题： （1）方程01212 2 yyx的解是 1 2 1， ； （2）方程06 2
9、 xx的解集是)23(，； （3）集合 2 |xyy与集合 2 | )(xyyx，是同一集合； （4）集合 22 11|xxyx与集合11，是同一集合 其中正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 1y-x 1,yx 【题型优化测训】题型优化测训】 1下列各组对象能构成集合的是（ ） A的近似值的全体 B新华书店中有意义的小说 C平面内两边之和小于第三边的三角形 D平面直角坐标系内x轴上方y轴附近的点 2下列表述正确的是（ ） A 0 B 1 , 22 , 1 C DN0 3已知集合A=0，m，23 2 mm，且A2，则实数m为（ ） A 2 B3 C 0 或 3 D0，2，3 4已知a，b
10、是非零实数，代数式 ab ab b b a a 的值组成的集合是M，则下列正确的是（ ） AM0 BM1 CM3 DM1 5已知1,2,3,4,5A，,| ),(AyxAyAxyxB，则集合B中元素的个数为（ ） A3 B6 C8 D10 6下列三种说法：(1)N中的最小的元素是1；(2)若Na，则Na；(3)若Na，Nb，则ba 的最小值是 2，其中正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 7直角坐标平面内，集合, 0| ),(RyRxxyyxM的元素所对应的点是（ ） A第一象限内的点 B第三象限内的点 C第一或第三象限内的点 D非第二、第四象限内的点 8已知集合1 4 | 2 有唯一解
11、 ax x aaA，用列举法表示集合 A 为 9若集合22|xZxA，AxxB| 1 2 ，用列举法表示集合B为 10已知集合0) 1)( | 2 aaxxaxxM的各元素之和为 3，则实数a的值是 11 定义,|ByAx y x xyzzBA， 设集合 A0,2， B1,2， C1， 求集合CBA)( 的所有元素之和为 12设P是一个数集，且至少含有两个数，如果对任意Pba，都有abba，P b a (除数0b)， 那么称P是一个数域例如有理数集Q是数域；数集QbabaF，|2也是数域有下列命题： 整数集是数域；若有理数集MQ ，则数集M必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域 其中正确的
12、序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上) 13用描述法表示下列集合 （1）所有能被 3 整除的数组成的集合； （2）使 1 4 2 x x y有意义的实数x组成的集合 14已知集合02| 2 axaxxA，a为实数 （1）若集合A是空集，求a的取值范围； （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值； （3）若集合A中有两个元素，求a的取值范围 15已知2nmx，其中ZnZm ，由x的全体组成集合A (1)设 243 1 1 x，249 2 x， 2 3 )231 ( x，试判断 1 x， 2 x， 3 x与集合A的关系； (2)任取Ax 1 ，Ax 2 ，试判断 21 xx 与集合A之间的关系
13、 1.2 1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 【知识梳理】知识梳理】 一、一、子集子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的 一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合 有包含关系，称集合 是集合 的子集 记作BA(或AB )，读作“ ”(“ ”) （1）任何一个集合是 的子集，即 ； （2）空集是 集合的子集，即 ； （3）对于集合CBA、，若，则 二、真子集二、真子集 对于两个集合A和B，若A B，且A B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作 （1）空集是 集合的真子集；（2）若AB，BC，则 三、集合相等三、集合相等 如果集合A是集合B的 (BA)，且集合B是集合A的 (A
14、B )，此时，集合A与集 合B中的元素是 的，因此集合A与集合B相等 记法：若 ，并且 ，则BA 四、集合的子集与真子集的个数四、集合的子集与真子集的个数 含n个元素的集合的所有子集的个数是 ，所有真子集的个数是 ，非空子集数 为 ，非空真子集数为 【考点分类精讲】考点分类精讲】 考点考点 1 子集与真子集子集与真子集 【考题 1】若集合Ax|x是平行四边形，集合Bx|x是正方形，集合Cx|x是长方形，D x|x是菱形，则下列正确的是( ) ACA BBC CCD DDB 【举一反三】 1设集合 Zk k xxM， 4 1 2 |， Zk k xxN， 42 1 |，则( ) ANM BNM
15、CMN DNM 2设集合 ZaaxxA， 6 1 |， Zb b xxB， 3 1 2 |， Zc c xxC， 6 1 2 |，则 集合A、B、C的关系是( ) AABC BACB CACB DCAB BA CB n aaa, 21 考点考点 2 空集空集 【考题 2】下列四个命题：；空集没有子集；任何一个集合必有两个子集；空集是任何 一个集合的子集其中正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【举一反三】 1下列关系不正确的是（ ） A B C D 2已知集合RxxaxxM，012| 2 ，M，则实数a的取值范围是 考点考点 3 符号符号“”与与“”的区别的区别 【考题 3】已知Nxyx
16、xA，1| 22 ，AxxB|，则集合B 【举一反三】已知NxyxxA，1| 22 ，AxxB|，则集合B 考点考点 4 子集、真子集的个数子集、真子集的个数 【考题 4】满足1A1，2，3的集合A的个数是（ ） A2 B3 C4 D8 【举一反三】 1集合A30| xx，Zx的真子集的个数为（ ） A5 B6 C7 D8 2设集合A023| 2 xxx，Rx，B50| xx，Nx，则满足BCA 的集合C的个数是( ) A1 B2 C3 D4 考点考点 5 集合相等问题集合相等问题 【考题 5】设集合A1，a，b，集合B 2 a，a，ab，若BA ，求ba，的值 0 【举一反三】 1设集合Aa
17、， a b ，1，集合B 2 a，ba，0，若BA ，求 20162015 ba的值 2设集合A1，2，3，集合B0) 3)( | 2 bxxaxx，若BA ，求a和b的值 考点考点 6 集合关系中的含参数问题集合关系中的含参数问题 【考题 6】设集合RxxxxA，04| 2 ，集合RxaxaxxB，01) 1(2| 22 ，若 AB ，求实数a的取值范围 【举一反三】 1设集合RxxxxA，06| 2 ，RxmxxB，01|，若AB ，求实数m的值 2若集合M02| 2 xxx，T01|mxx，且TM ，求实数m的取值范围 3记关于的不等式0 1 x ax 的解集为，不等式11 x的解集为
18、（1）若，求； （2）若，求正数的取值范围 xPQ 3a P QPa 【题型优化测训】题型优化测训】 一、选择题 1已知集合M1| 2 xx，N1|axx，若MN ，则实数 a 等于（ ） A1 B1 C1 D1或0 2已知集合baa，010 2 ，则 20162016 ba的值为（ ） A0 B1 C1 D2 3已知集合732 ，A，且A中至多有一个奇数，这样的集合A的个数为（ ） A4 B5 C6 D7 4若集合A1| 2 xyy，Rx，B05|xx，则集合A和B的关系是（ ） ABA BBA CBA DBA 5设集合31|xxA，集合axxB|，若AB，则a的取值范围是（ ） A3a B
19、1a C3a D1a 6已知集合1|axxA，2|bxxB，若BA，则ba，必满足（ ） A3ba B3ba C3ba D3ba 7已知集合ZnnxxA，) 12(|，ZkkyyB，) 14(|，则下列正确的是（ ） AAB BBA CBA D以上都不对 8已知A1，2，3，B(yx，)|Ax，Ay，Ayx，则集合B的子集的个数为（ ） A4 B8 C16 D32 二、填空题 9已知集合A1，2，BAxx|，则集合A与B的关系是_ 10设集合A21 | xx，Baxx|，若BA，则a的取值范围是_ 11设A0103| 2 xxx，B121|axax，若BA，则a的取值范围是_ 12设集合A12
20、| 2 xxyy，Rx，B82|xx，则集合A与B的关系是_ 三、解答题 13已知集合043| 2 xxRxA，集合0)43)(1( | 2 xxxRxB，若ABP ， 求满足条件的集合P构成的集合 14若集合，且，求实数的值 15已知集合A0103| 2 xxx， （1）若 B A，B121|mxmx，求实数m的取值范围； （2）若 A B，B126|mxmx，求实数m的取值范围 16已知二次函数xaxy 2 有最小值，关于x的一元二次不等式0 2 xax的解集为A （1）求集合A； （2）设集合axxB4|，若AB ，求实数a的取值范围 2 |60 ,|10Mx xxNx ax NMa 1
21、.3 1.3 集合间的基本运算集合间的基本运算 【知识梳理】【知识梳理】 一、交集一、交集 一般地，由 属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的 ， 记作_，读作_，即.|BxAxxBA，且 二、并集二、并集 一般地，由 属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的 ， 记作_，读作_，即.|BxAxxBA，或 三、三、全集与全集与补集补集 全集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集 通常用U表示 补集：补集： 对于一个集合A， 由全集U中所有 集合A的元素组成的集合， 称为集合A相对于集合U 的补集，简称为集
22、合A的补集，记作_，即ACU= 四、交集与并集的性质四、交集与并集的性质 （1）交集的性质：，； （2）并集的性质：，； （3）子集与交集、并集运算的转换：BAABA，ABABA； （4）集合的运算满足分配律：，； （5）补集的性质：，； （6）摩根定律：， 【考点分类精讲】【考点分类精讲】 考点考点 1 交集交集 【考题 1】已知集合RxxxA，2|，ZxxxB，4|，则BA（ ） A20| xx B20| xx C210 ， D20， 【举一反三】 1已知集合 M= *x| 4 x 2+ ，N= *x|x2 x 6 0+ ，则 MN（ ） A *x| 4 x 3+ B *x| 4 x 2+
23、 C*x| 2 x 2+ D*x|2 x 3+ 2已知集合 A = *x|2x2+ 5x 3 0+ ， B = *x|y = 1 x+2+ ，则 AB（ ） A B C D ABBAAAAAABABBA ABBAAAAAABAABAB )()()(CABACBA)()()(CABACBA ACA u UACA u AACC uu )( BCACBAC uuu )(BCACBAC uuu )( 3设集合64| )(yxyxA，723| )(yxyxB，则BA( ) A21， B 21， C)21 ( ， D21yx或 4已知集合RxxxyyA，54| 2 ，集合 2 25|xyxB，求BA 考点
24、考点 2 并并集集 【考题 2】 设02| 2 qpxxxA，05)2(6| 2 qxpxxB， 若 2 1 BA， 求BA 【举一反三】 1设集合0|xxA，集合21|xxB，则BA（ ） A1|xx B2|xx C20| xx D21|xx 2设集合043| 2 xxxA，集合4| 2 xyxB，则BA 3 设集合531 ， aA，aaaaaB21212 22 ， 当32，BA， 则BA 考点考点 3 子集与交集、并子集与交集、并集集运算的转换运算的转换 【考题 3】已知,， （1）当BA时，求实数的取值范围； （2）当时，求实数的取值范围 24Axx Bx xa aABBa 【举一反三】
25、 1已知集合0|axxM，01|axxN，若MNM，则实数a的值为( ) A1 B1 C1或1 D1，1或0 2已知集合RxxxxA，023| 2 ，集合RxaxaxxB，0)5() 1(2| 22 （1）若 2BA，求实数a的值； （2）若BBA，求实数a的取值范围 考点考点 4 全集与补集全集与补集 【考题 4】已知全集为 R，集合RaaaxxP，14| 2 ，集合RbbbyyQ，32| 2 ， 求QP，)(QCP R 【举一反三】 1已知集合 A0 2 8 1 | x x，则ACR（ ） A62|xxx或 B62|xxx或 C102|xxx或 D102|xxx或 2设全集3232 2 ，
26、aaS，集合212，aA， 5ACS，求实数a的值 考点考点 5 交、并、补的混合运算交、并、补的混合运算 【考题 5】已知集合019| 22 aaxxxA，065| 2 xxxB，082| 2 xxxC， 且满足：)(BA，CA，求的值 【举一反三】 1设全集RyRxyxU，| )(，集合 3 2 4 | )( x y yxA，23| )(xyyxB， 求BACU)( 2已知集合02| 2 xxxA，集合412|xxB，设集合0| 2 cbxxxC，且满 足CBA)(，RCBA)(，求b、c的值 a 【题型优化测训】【题型优化测训】 一、选择题 1满足 53131，A的所有集合A的个数是（
27、） A1 B2 C3 D4 2已知RxxxyyA，34| 2 ，RxxyyB，1|，则BA（ ） A01， B 10， C)01 (10， D1|yy 3已知全集87654321，U，7531，M，765 ，N，则)(NMCU（ ） A75， B42， C842 ， D76531， 4已知全集31|xxU，31|xxA，032| 2 xxxB，31|xxC， 则下列关系式正确的是（ ） ABACU BCBCU CCBCU)( DCA 5已知集合NnnxxA，23|，14121086，B，则集合BA中元素的个数是（ ） A5 B4 C3 D2 6已知集合axxA|，集合21 |xxB，且RBCA
28、 R )(，则实数a的取值范围是（ ） A2a B1a C2a D2a 7若集合 0 1 2 | x x RxM，集合N为自然数集，则下列选项正确的是（ ） ANM BNNM C2|xxM D2|xxM 8设集合ZxxyxA，1|，集合ZxxxxB，02| 2 ，则)(BCA Z 为（ ） A2 B 1 C02|xx D012， 二、填空题 9设axxA|，30|xxB，若BA，则实数a的取值范围是_ 10 设015| 2 pxxxA，0| 2 baxxxB，532 ，BA，3BA， 则 p ba 11设集合 2A，01| 2 xaxRxB，若BBA，则实数a的取值范围是 12设集合012|
29、2 xxxA，mxxB|，若4|xxBA，则m的取值范围是 13设集合 1 2 3 | )(a x y yxM，集合15) 1() 1( | )( 2 yaxayxN，且NM ， 则实数a的值为 三、解答题 14已知集合 48Axx， 210Bxx，Cx xa （）求 AB；() R C AB； （）若AC ，求 a 的取值范围 15设 22 |0 ,|10Ax xpxqBx qxpx ，其中,0p q ，同时满足AB ； 2ABCR，求p和q的值 16已知集合RxxxxA，065| 2 ，集合RxaxaxxB，0)5() 1(2| 22 （1）若 2BA，求实数a的值； （2）若BBA，求实
30、数a的取值范围 1.4 1.4 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 【知识梳理】【知识梳理】 1充分条件与必要条件充分条件与必要条件 （1）如果 pq，则 p 是 q 的 ，q 是 p 的 （2）如果 pq，qp，则 p 是 q 的 ，简称 2充分条件、必要条件的判断方法充分条件、必要条件的判断方法 （1）定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件 （2）集合法：若 A B，则 A 是 B 的 条件或 B 是 A 的 条件；若 AB，则 A 是 B 的 条件 【考点分类精讲】【考点分类精讲】 考点考点 1 充分条件与必要条件充分条
31、件与必要条件的判断的判断 【考题 1】设 ，则“2 5 0”是“ | 1| 1 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【举一反三】 1设 ，则“| 2| 0 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“A B”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 考点考点 2 根据充要条件求解参数的取值范围根据充要条件求解参数的取值范围 【考题 2】已知全集 UR，非空集合 = *| 2 3 0+, = *|( )( 2
32、 2) 0+ （1）当 2 1 a时，求ABCU)(； （2）命题p：Ax，命题q：Bx，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围 【举一反三】 1设 p：2x4，q：(x2)(xa) 1 ”是条件“x + 4 x 4 ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5使不等式 x 2 x 6 0 成立的一个充分不必要条件是（ ） A2 x 0 B3 x 2 C2 x 3 D2 x 4 6设集合 = *|2 4+ ， = *| 3 2+ ，则“ ” 是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7“函数
33、 yx22ax3 在区间1，)上是增函数”是“2a”的_条件 8若 xm1 是 x22x30 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_ 9已知条件 p： 2 3 4 0 ；条件 q： 2 6 + 9 2 0 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是_ 10已知x，y都是非零实数，且yx ，求证： yx 11 的充要条件是0 xy. 1.5 1.5 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 【知识梳理】【知识梳理】 1全称量词与存在量词 （1）常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等 （2）常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等 （3）全称量词用符号 表示；存在量词用符号 表示 2全称命题与特称命题 （1）含有 量词的命题叫全称命题 （2）含有 量词的命题叫特称命题 3含有
