1、 青海省青海省 2020 年初中毕业升学考试数学试卷年初中毕业升学考试数学试卷 一、填空题一、填空题 1.(-3+8)的相反数是_；16的平方根是_ 【答案】 (1). 5 (2). 2 【解析】 【分析】 第 1 空：先计算-3+8 的值，根据相反数的定义写出其相反数； 第 2 空：先计算16的值，再写出其平方根 【详解】第 1 空：3 85 ，则其相反数为：5 第 2 空： 164 ，则其平方根为：2 故答案为：5，2 【点睛】本题考查了相反数，平方根，熟知相反数，平方根的知识是解题的关键 2.分解因式： 22 22axay_；不等式组 24 0 30 x x 的整数解为_ 【答案】 (1
2、). 2 ()()a xy xy (2). 2x 【解析】 【分析】 综合利用提取公因式法和公式法即可得；先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分得出不等式组的解集，由此即可得出答案 【详解】 2222 22)2 (axaya xy 2 ()()a xy xy ； 240 30 x x 解不等式得2x 解不等式得3x 则不等式组的解为23x 因此，不等式组的整数解2x 故答案为： 2 ()()a xy xy ，2x 【点睛】本题考查了利用提取公因式法和公式法分解因式、求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握因式分解的方法和一元一次不等式组的解法是解题关键 3.岁末年初，一场突如其来的新型冠状
3、病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大 直径为 125 纳米；125 纳米用科学记数法表示为_米（1 纳米 9 10米） 【答案】 7 1.25 10 【解析】 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【详解】解：将数据 125 纳米用科学记数法表示为：125 10-9米=1.25 10-7米 故答案为： 7 1.25 10 【点睛】本题考
4、查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4.如图，将周长为 8 的ABC沿 BC 边向右平移 2 个单位，得到DEF，则四边形ABFD的周长为_ 【答案】12 【解析】 【分析】 先根据平移的性质可得,2ACDF CFAD，再根据三角形的周长公式可得8ABBCAC，然后根据等量代换即可得 【详解】由平移的性质得：,2ACDF CFAD ABC的周长为 8 8ABBCAC 则四边形 ABFD 的周长为 ()ABBFDFADABBCCFACAD 22ABBCAC 822 12 故答案为：12 【点睛】本
5、题考查了平移的性质等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键 5.如图所示 ABC 中，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D,DBC 的周长是 24cm,则 BC=_cm 【答案】10 【解析】 【分析】 由 MN 是 AB 的垂直平分线可得 AD=BD，于是将 BCD 的周长转化为 BC 与边长 AC 的和来解答 【详解】24cm DBC C， BD+DC+BC=24cm， MN 垂直平分 AB， AD=BD， AD+DC+BC=24cm， 即 AC+BC=24cm， 又AC=14cm， BC=24-14=10cm 故答案为：10 点睛：解答本题关键是熟练掌握垂直平分
6、线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知120BOC， 3cmDC ，则AC的长为_cm 【答案】6cm 【解析】 【分析】 根据矩形的性质可得对角线相等且平分，由120BOC可得30ACD,根据30所对直角边是斜边的一半即可得到结果 【详解】四边形 ABCD 是矩形， 90ABCDCB，ACBD，OAOAOBOD，ABDC， 3cmDC ， 3cmAB， 又 120BOC， =30ACDOBC， 在 Rt ABC 中，26ACABcm 故答案为
7、6cm 【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，准确利用直角三角形的性质是解题的关键 7.已知 a，b，c 为ABC的三边长b，c 满足 2 (2)30bc，且 a 为方程|4| 2x的解，则ABC的形状为_三角形 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】 根据绝对值和平方的非负性可得到 b、c 的值，再根据式子解出 a 的值，即可得出结果 【详解】 2 (2)30bc， 20b，30c， 2b，3c ， 又|4| 2x ， 1 6x ， 2 2x ， a 是方程的解且 a，b，c 为ABC的三边长， 2a, ABC是等腰三角形 【点睛】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的
8、式子是解题的关键 8.在解一元二次方程 2 0 xbxc时，小明看错了一次项系数b，得到的解为 1 2x ， 2 3x ；小刚看错了常数项c，得到的解为 1 1x ， 2 4x 请你写出正确的一元二次方程_ 【答案】 2 560 xx 【解析】 【分析】 根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案 【详解】解：将 1 2x ， 2 3x 代入一元二次方程 2 0 xbxc得 420 930 bc bc ， 解得： 5 6 b c ， 小明看错了一次项， c 的值为 6， 将 1 1x ， 2 4x 代入一元二次方程 2 0 xbxc得 10 1640 bc bc ， 解得： 5 4 b c ，
9、 小刚看错了常数项， b=-5， 一元二次方程为 2 560 xx， 故答案为： 2 560 xx 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键 9.已知O 的直径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦，/ABCD，8cmAB，6cmCD，则AB与CD之间的距离为_cm 【答案】7 或 1 【解析】 【分析】 分两种情况考虑：当两条弦位于圆心 O 同一侧时，当两条弦位于圆心 O 两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出 OE 和 OF 的长度，即可得到答案 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心 O 一侧时，如图 1 所示， 过 O 作 OECD，交
10、CD 于点 E，交 AB 于点 F，连接 OC，OA， ABCD，OEAB， E、F 分别为 CD、AB 的中点， CE=DE= 1 2 CD=3cm，AF=BF= 1 2 AB=4cm， 在 Rt AOF 中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在 Rt COE 中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE4cm， 则 EF=OE- -OF=4cm- -3cm=1cm； 当两条弦位于圆心 O 两侧时，如图 2 所示， 同理可得 EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦 AB 与 CD 的距离为 7cm 或 1cm 故答案为：7 或 1 【点睛】此题考查了垂
11、径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键 10.在ABC中，90C， 3AC ，4BC ，则ABC的内切圆的半径为_ 【答案】1 【解析】 【详解】如图，设 ABC 的内切圆与各边相切于 D，E，F，连接 OD，OE，OF， 则 OEBC，OFAB，ODAC， 设半径为 r，CD=r， C=90 ，BC=4，AC=3， AB=5， BE=BF=4-r，AF=AD=3-r， 4-r+3-r=5， r=1 ABC 的内切圆的半径为 1 11.对于任意不相等的两个实数 a，b（ a b ）定义一种新运算 ab= ab ab ，如 32= 32 32 ，那么 124=_
12、【答案】 2 【解析】 【分析】 按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可 【详解】解：124 12416 2 1248 故答案为： 2 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键 12.观察下列各式的规律： 2 1 32341 ； 2 243891 ； 2 3 5415 161 请按以上规律写出第 4 个算式_用含有字母的式子表示第 n 个算式为_ 【答案】 (1). 2 46524251 (2). 2 211nnn 【解析】 【分析】 （1）按照前三个算式的规律书写即可； （2）观察发现，算式序号与比序号大 2 的数的积减去比序号大
13、1 的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可； 【详解】 （1） 2 1 32341 ， 2 243891 ， 2 3 5415 161 ， 2 46524251 ； 故答案为 2 46524251 （2）第 n 个式子为： 2 211nnn 故答案为 2 211nnn 【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键 二、选择题二、选择题 13.下面是某同学在一次测试中的计算： 22 352m nmnmn ； 326 224a ba ba b ； 2 35 aa； 32 ()aaa ，其中运算正确个数为（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】
14、D 【解析】 【分析】 根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可 【详解】 2 3m n与 2 5mn不是同类项，不可合并，则错误 332251 12 2244a ba baba b ，则错误 2 33 26 aaa ，则错误 333 12 ()aaaaaa ，则正确 综上，运算正确的个数为 1 个 故选：D 【点睛】本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键 14.等腰三角形的一个内角为 70 ，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. 55 ，55 B. 70 ，40 或 70 ，55 C. 70 ，40 D. 55 ，55 或 70 ，40 【答案
15、】D 【解析】 分析】 先根据等腰三角形的定义，分70的内角为顶角和70的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得 【详解】 （1）当70的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为 18070 55 2 （2）当70的内角为这个等腰三角形的底角 则另两个内角一个为底角，一个为顶角 底角为70，顶角为180707040 综上，另外两个内角的度数分别是55 ,55或70 ,40 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键 15.根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ） A. 22 86
16、 (5) 22 xx B. 22 86 (5) 22 xx C. 22 86(5)xx D. 22 865x 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可. 【详解】解：大量筒中的水的体积为： 2 8 2 x ， 小量筒中的水的体积为： 2 6 (5) 2 x ， 则可列方程为： 22 86 (5) 22 xx . 故选 A. 【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可. 16.将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中的方式沿虚线依次对折后，再沿图中的虚线裁剪，最后将图中的纸
17、片打开铺平，所得图案应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现 【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心 剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论 故选 A 【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力 17.在一张桌子上摆放着一些碟子，从 3 个方向看到的 3 种视图如图所示，则这个桌子上的碟共有（ ） A. 4 个 B. 8 个 C. 12 个 D. 17 个 【答案】
18、C 【解析】 【分析】 先根据俯视图得出碟子共有 3 摞，再根据主视图和俯视图得出每摞上碟子的个数，由此即可得 【详解】由俯视图可知，碟子共有 3 摞 由主视图和左视图可知，这个桌子上碟子的摆放为 4,3 5,0 ，其中，数字表示每摞上碟子的个数 则这个桌子上的碟共有4 3 5 12 （个） 故选：C 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的组成，掌握理解 3 种视图的定义是解题关键 18.若0ab，则正比例函数 yax 与反比例函数 b y x 在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由0ab，得, a b异号，若图象中得到的, a
19、 b异号则成立，否则不成立 【详解】A. 由图象可知：0,0ab，故 A 错误； B. 由图象可知： 0,0ab ，故 B 正确； C. 由图象可知： 0,0ab ，但正比例函数图象未过原点，故 C 错误； D. 由图象可知： 0,0ab ，故 D 错误； 故选：B 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键 19.如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3.6 B. 1.8 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的
20、弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径 【详解】由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360252 =108 阴影部分的弧长为： 1081236 = 1805 设阴影部分构成的圆锥的底面半径为 r：则 36 2 5 r ，即 18 3.6 5 r 故选：A 【点睛】本题考查了扇形的弧长与其构成的圆锥之间的对应关系，熟练的把握这一对应关系是解题的关键 20.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示） ，则小水杯内水面的高度(cm)h与注水时间(min) t 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 用排除
21、法可直接得出答案. 【详解】圆柱形小水杯事先盛有部分水，起点处小水杯内水面的高度(cm)h必然是大于 0 的，用排除法可以排除掉 A、D； 注水管沿大容器内壁匀速注水，在大容器内水面高度到达 h 之前，小水杯中水边高度保持不变，大容器内水面高度到达 h 后，水匀速从大容器流入小容器，小容器水面高度匀速上升，达到最大高度 h 后，小容器内盛满了，水面高度一直保持 h 不变，因此可以排除 C，正确答案选 B. 考点：1.函数；2.数形结合；3.排除法. 三、解答题三、解答题 21.计算： 1 03 1 13tan45(3.14)27 3 【答案】3 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂，绝对值的性
22、质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值进行计算即可 【详解】 1 03 1 13tan45(3.14)27 3 3 |13 1| 1 3 33 1 1 3 3 【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值的性质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，熟知以上计算是解题的关键 22.化简求值： 2 2 122 121 aaaa aaaa ；其中 2 10aa 【答案】 2 1a a ， 【解析】 【分析】 括号内先通分，合并同类项，括号外进行因式分解，之后变除为乘进行约分，之后利用 2 1aa代入计算即可 【详解】 2 2 122 121 aaaa aaaa 2 (1)(1)(2)(21) ( +1
23、)(1) aaa aaa a aa 2 21(1) ( +1)(21) aa a aaa 2 1a a 2 10aa 2 1aa 原式 1 1 1 a a 【点睛】本题考查了分式的化简，及整体代入求值的应用，熟知以上计算是解题的关键 23.如图，Rt ABC中，90C （1）尺规作图：作Rt ABC的外接圆O；作ACB的角平分线交O于点 D，连接 AD （不写作法，保留作图痕迹） （2）若 AC =6，BC =8，求 AD 的长 【答案】 （1）见解析； （2）5 2 【解析】 【分析】 （1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可； （2）连接 AD，OD，根据 CD 平分ACB，得45ACD
24、，根据圆周角与圆心角的关系得到90AOD ，在Rt ACB中计算 AB，在RtAOD中，计算 AD 【详解】 （1）作图如下： （2）连接 AD，OD，如图所示 由（1）知：CD平分ACB，且90ACB 1 45 2 ACDACB 290AODACB 在Rt ACB中，6,8ACBC， 10AB，即5AOOD 在RtAOD中， 22 5 2ADAOOD 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键 24.某市为了加快 5G 网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示小军为了知道发射塔高度，从地面上的
25、一点 A 测得发射塔顶端 P 点的仰角是 45 ，向前走 60 米到达 B 点测得 P 点 的仰角是 60 ，测得发射塔底部 Q 点的仰角是 30 请你帮小军计算出信号发射塔 PQ 的高度 （结果精确到 0.1 米，31.732） 【答案】94.6 米 【解析】 【分析】 先根据题意得出 AC=PC，BQ=PQ，CQ= 1 2 BQ，设 BQ=PQ=x，则 CQ= 1 2 BQ= 1 2 x，根据勾股定理可得 BC= 3 2 x，根据 AB+BC=PQ+QC 即可得出关于 x 的方程求解即可 【详解】PAC=45 ，PCA=90 ， AC=PC， PBC=60 ，QBC=30 ，PCA=90
26、， BPQ=PBQ=30 ， BQ=PQ，CQ= 1 2 BQ， 设 BQ=PQ=x，则 CQ= 1 2 BQ= 1 2 x， 根据勾股定理可得 BC= 22 BQCQ = 3 2 x， AB+BC=PQ+QC 即 60+ 3 2 x=x+ 1 2 x 解得：x=60+20 3=60+201.732=94.6494.6， PQ 的高度为 94.6 米 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键 25.如图，已知 AB 是O的直径，直线 BC 与O相切于点 B，过点 A 作 AD/OC 交 O于点 D，连接 CD （1）求证：CD 是O
27、的切线 （2）若4AD，直径12AB ，求线段 BC 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）12 2 【解析】 【分析】 （1） 如图 （见解析） ， 先根据等腰三角形的性质可得DAOADO， 又根据平行线的性质可得,DAOBOCADODOC， 从而可得BOCDOC， 再根据圆的切线的性质可得90OBC， 然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90ODCOBC，最后根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析） ，先根据圆周角定理得出90ADB，再根据勾股定理可得 BD 的长，然后根据相似三角形的判定与性质即可得 【详解】 （1）如图，连接 OD，则OAOBOD DAOADO /AD
28、OCQ ,DAOBOCADODOC BOCDOC 直线 BC 与O相切于点 B 90OBC 在COD和COB中， ODOB DOCBOC OCOC ()CODCOB SAS 90ODCOBC 又OC是O的半径 CD是O的切线； （2）如图，连接 BD 由圆周角定理得：90ADB 4AD ，12AB 2222 1248 2BDABAD ， 11 126 22 OBAB 在OCB和ABD中， 90 BOCDAB OBCADB OCBABD OBBC ADBD ，即 6 48 2 BC 解得 12 2BC 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判
29、定与性质等知识点，较难的是题（2） ，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键 26.每年 6 月 26 日是“国际禁毒日”某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个 等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如下不完整的统计图请你根据图 1、图 2 中所给的信息解答下列问题： （1）该校八年级共有_名学生，“优秀”所占圆心角的度数为_ （2）请将图 1 中的条形统计图补充完整 （3）已知该市共有 15000 名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约
30、有多少名学生在这次答题中成绩不合格？ （4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取 2 名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率 【答案】 （1）500,108 ； （2）见解析； （3）1500 名； （4） 1 2 【解析】 【分析】 （1）由条形统计图和扇形统计图得到良好的人数及其所对应的百分比，即可得到该校八年级总人数；通过计算优秀人员所占比例，即可得到其所对的圆心角； （2）计算出等级“一般”的学生人数，补充图形即可； （3）用该校八年级成绩及格的比例乘以该市的学生人数即可； （4）画出树状图，根据概率公式求概率即可 【详解】
31、（1）由条形统计图知：等级“良好”的人数为：200 名 由扇形统计图知：等级“良好”的所占的比例为：40% 则该校八年级总人数为：200 40%500（名） 由条形统计图知：等级“优秀”的人数为：150 名 其站该校八年级总人数的比例为：150 50030% 所以其所对的圆心角为：36030%108 故答案为：500，108 （2）等级“一般”的人数为：500 150 200 50100（名） 补充图形如图所示： （3）该校八年级中不合格人数所占的比例为： 50 10% 500 故该市 15000 名学生中不合格的人数为：15000 10% 1500（名） （4）从甲，乙，丙，丁四名学生中任取
32、选出两人，所得基本事件有： 共计 12 种， 其中必有甲同学参加的有 6 种， 必有甲同学参加的概率为： 61 122 【点睛】本题考查了统计与概率的综合，熟知以上知识是解题的关键 27.在ABC中，ABAC ，CGBA交 BA 的延长线于点 G 特例感知： （1）将一等腰直角三角尺按图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 重合，另一条直角边恰好经过点 B通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，得到BFCG请给予证明 猜想论证： （2）当三角尺沿 AC 方向移动到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边重合，另一条直角边交 BC 于点 D，过点 D 作DEB
33、A垂足为 E此时请你通过观察、测量 DE，DF 与 CG 的长度，猜想并 写出 DE、DF 与 CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想 联系拓展： （3）当三角尺在图 2 的基础上沿 AC 方向继续移动到图 3 所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明） 【答案】 （1）证明见详解； （2）DE+DF=CG，证明见详解； （3）成立 【解析】 【分析】 （1）通过条件证明 BFCCGB，即可得到BFCG； （2）过点 B 作 BMCF 交 CF 延长线于 M，过点 D 作 DHBM 于 H，通过 BMCCGB，得到
34、BM=CG，然后由四边形 MHDF 为矩形，MH=DF，最后再证明 BDHDBE，得到 BH=DE，即 可得到结论； （3）同（2）中的方法 【详解】 （1）ABAC， ABC=ACB， 在 BFC 和 CGB 中， 90 = FG FCBGBC BCCB BFCCGB， BFCG （2）DE+DF=CG， 如图，过点 B 作 BMCF 交 CF 延长线于 M，过点 D 作 DHBM 于 H， ABAC， ABC=ACB， 在 BMC 和 CGB 中， 90 = MG FCBGBC BCCB BMC CGB， BM=CG， 由题意和辅助线可知，M=90 ，MFD=90 ，MHD=90 ， 四边
35、形 MHDF 为矩形， MH=DF，DHMF， HDB=MCB， HDB=ABC， 在 BDH 和 DBE 中， 90 = BHDBED HDBEBD BDDB BDHDBE， BH=DE， BM=CG，BM=BH+HM， DE+DF=CG， （3）成立， 如图，过点 B 作 BMCF 交 CF 延长线于 M，过点 D 作 DHBM 于 H， 同（2）中的方法 ABAC， ABC=ACB， 在 BMC 和 CGB 中， 90 = MG FCBGBC BCCB BMCCGB， BM=CG， 由题意和辅助线可知，M=90 ，MFD=90 ，MHD=90 ， 四边形 MHDF 为矩形， MH=DF，
36、DHMF， HDB=MCB， HDB=ABC， 在 BDH 和 DBE 中， 90 = BHDBED HDBEBD BDDB BDHDBE， BH=DE， BM=CG，BM=BH+HM， DE+DF=CG 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于几何动态问题，能够正确的构造辅助线找到全等三角形是解题的关键 28.如图 1（注：与图 2 完全相同）所示，抛物线 2 1 2 yxbxc 经过 B、D 两点，与 x 轴的另一个交点为 A，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积（请在图 1 中探索） （3）设点 Q 在 y 轴上，点
37、 P 在抛物线上要使以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标（请在图 2 中探索） 【答案】 （1） 2 13 22 yxx ； （2） 9 2 ； （3）点 P 的坐标为： 3 (2, ) 2 或（4， 5 2 ）或（4， 21 2 ） 【解析】 【分析】 （1）由图可知点 B、点 D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式； （2）过点 M 作 MEAB 于点 E，由二次函数的性质，分别求出点 A、C、M 的坐标，然后得到 OE、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可； （3）由点 Q 在 y 轴上，设 Q（0，y） ，由平行四边形的
38、性质，根据题意可分为：当 AB 为对角线时；当 BQ2为对角线时；当 AQ3为对角线时；分别求出三种情况的点 P 的坐标，即可得到答案 【详解】解： （1）根据题意，抛物线 2 1 2 yxbxc 经过 B、D 两点， 点 D 为（2， 5 2 ） ，点 B 为（3，0） ， 则 2 2 15 ( 2)2 22 1 330 2 bc bc ， 解得： 1 3 2 b c ， 抛物线的解析式为 2 13 22 yxx ； （2） 22 131 (1)2 222 yxxx， 点 M 的坐标为（1，2） 令 2 13 0 22 xx， 解得： 1 1x ， 2 3x ， 点 A 为（1，0） ； 令
39、0 x，则 3 2 y ， 点 C 为（0， 3 2 ） ； OA=1，OC= 3 2 ， 过点 M 作 MEAB 于点 E，如图： 2ME ，1OE ，2BE ， 111 () 222 ABMC SOA OCOCMEOEBEME 四边形 ， 13131379 1(2) 12 22 22222442 ABMC S 四边形 ； （3）根据题意，点 Q 在 y 轴上，则设点 Q 为（0，y） ， 点 P 在抛物线上，且以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形， 如图所示，可分为三种情况进行分析： AB 为对角线时，则 11 PQ为对角线； 由平行四边形的性质， 点 E 为 AB 和 11
40、PQ的中点， E 为（1，0） ， 点 Q1为（0，y） ， 点 P1的横坐标为 2； 当2x时，代入 2 13 22 yxx ， 3 2 y ， 点 1 3 (2, ) 2 P； 当 BQ2是对角线时，AP 也是对角线， 点 B（3，0） ，点 Q2（0，y） ， BQ2中点的横坐标为 3 2 ， 点 A 为（1，0） ， 点 P2的横坐标为 4， 当4x时，代入 2 13 22 yxx ， 5 2 y ， 点 P2的坐标为（4， 5 2 ） ； 当 AQ3为对角线时，BP3也是对角线； 点 A 为（1，0） ，点 Q3（0，y） ， AQ3的中点的横坐标为 1 2 ， 点 B（3，0） ， 点 P3的横坐标为4， 当4x时，代入 2 13 22 yxx ， 21 2 y ， 点 P3的坐标为（4， 21 2 ） ； 综合上述，点 P 的坐标为： 3 (2, ) 2 或（4， 5 2 ）或（4， 21 2 ） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析
