1、 山东省泰安市山东省泰安市 2020 年中考数学真题年中考数学真题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 1 2 的倒数是（ ） A. B. C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据倒数的概念求解即可. 【详解】根据乘积等于 1 的两数互为倒数，可直接得到- 1 2 的倒数为 故选 A 2.
2、下列运算正确的是（ ） A. 32xyxy B. 3412 xxx C. 1025 xxx D. 2 36 xx 【答案】D 【解析】 分析】 根据整式的加减乘除法则分开讨论即可得到结果 【详解】A32xyxyxy，故 A 错误； B 343+47 =xxxx，故 B 错误； C 12102120 xxxx，故 C 错误； D 2 36 xx，故 D 正确； 故答案选 D 【点睛】本题主要考查了整式加减乘除的混合运算，准确进行幂的运算公式是解题的关键 3.2020 年 6 月 23 日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时
3、服务今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超 过 4000 亿元把数据 4000 亿元用科学记数法表示为（） A. 12 4 10元 B. 10 4 10元 C. 11 4 10元 D. 9 4 10元 【答案】C 【解析】 【分析】 科学记数法就是将一个数字表示成 a 10 n的形式，其中 1|a|10，n 表示整数 n 的值为这个数的整数位数减 1，由此即可解答 【详解】4000 亿=400000000000= 11 4 10 故选 C 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成 a 10 n的形式，正确确定 a、n 的值是解决问题的关键 4.将含 30 角的一个直角三
4、角板和一把直尺如图放置，若150 ，则2等于（ ） A. 80 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】 如图，先根据平行线性质求出3，再求出4，根据四边形内角和为 360 即可求解 【详解】解：如图，由题意得 DEGF， 1=3=50 ， 4=180 -3=130 ， 在四边形 ACMN 中，2=360 -A-C-4=110 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键 5.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的 20 名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2
5、3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这 20 名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，7 C. 2，7 D. 7，3 【答案】A 【解析】 【分析】 由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是 20 人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第 10 和 11 个所对应册数的平均数即可求得结果； 【详解】由表中数据可得，人数基数最大的 7 人所应的册数是 3，所以众数是 3 将数据从小到大排序后，第 10 和第 11 个数据均为 3，所以中位数为： 3+3 =3 2 ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结
6、果是解题的关键 6.如图，PA是O的切线，点 A 为切点，OP交 O于点 B，10P ，点 C 在O上，/OC AB则BAC等于（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OA，求出POA= 80 ，根据等腰三角形性质求出OAB=OBA=50 ，进而求出AOC=130 ，得到C=25 ，根据平行线性质即可求解 【详解】解：如图，连接 OA， PA是O的切线， PAO=90 ， 10P ， POA=90 -P=80 ， OA=OB， OAB=OBA=50 ， /OC AB， BOC=ABO=50 ， AOC=AOB+BOC=130 ， OA=OC
7、， OAC=C=25 ， /OC AB， BAC=C=25 故选：B 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可 以进行线段或角的转化 7.将一元二次方程 2 850 xx化成 2 ()xab（a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ） A. 4，21 B. 4，11 C. 4，21 D. 8，69 【答案】A 【解析】 【分析】 根据配方法步骤解题即可 【详解】解： 2 850 xx 移项得 2 85xx， 配方得 22 845 16xx， 即 2 42
8、1x， a=-4，b=21 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为 1 时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 8.如图，ABC是O的内接三角形， ,30ABBCBAC，AD是直径，8AD，则AC的长为（ ） A. 4 B. 4 3 C. 8 3 3 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 BO，根据圆周角定理可得60BOA，再由圆内接三角形的性质可得 OB 垂直平分 AC，再根据正弦的定义求解即可 【详解】如图，连接 OB， ABC是O的内接三角形， OB 垂直平分 AC， 1 = 2 AMCMAC，OMAM， 又, 30ABBCBAC
9、， 30BCA， 60BOA, 又AD=8， AO=4， 3 sin 60 42 AMAM AO ， 解得：2 3AM ， 24 3ACAM 故答案选 B 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键 9.在同一平面直角坐标系内，二次函数 2 (0)yaxbxb a与一次函数y axb 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断 a，b 的符号，利用排除法即可解答 【详解】解：A、由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，不符合题意； B、由一次函数图象可知，a0，
10、b0，由二次函数图象可知，a0，b0，不符合题意； C、由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，符合题意； D、由一次函数图象可知，a0，b=0，由二次函数图象可知，a0，b0，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质 10.如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高2cmAG ，底边6cmBC =，45B ，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若30BEF，则AF的长为（ ） A. 1cm B. 6 cm 3 C. (2 33)cm D. (23)cm 【答案】D 【解析】 【分析】 过点 F
11、 作FMBC，AG=2，45B ，可得 BG=FM=2，令 AF=x，根据30BEF，根据正切值可得 EM 的长，加起来等于 BC 即可得到结果 【详解】如图所示，过点 F 作FMBC交 BC 于点 M， AGBC，45B ，AG=2， BG=FM=2，AF=GM， 令 AF=x， 两个梯形全等， AF=GM=EC=x， 又 30BEF， 2 = tan 30 3 3 FM ME ， 2 3ME ， 又BC=6， 22 36BCBGGMMEECxx ， 23x 故答案选 D 【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键 11.
12、如图，矩形ABCD中， ,AC BD相交于点 O，过点 B 作BF AC交CD于点 F，交AC于点 M，过点 D 作/DE BF交AB于点 E，交AC于点 N，连接,FN EM则下列结论： DNBM；/EM FN； AEFC；当AOAD时，四边形DEBF是菱形 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】 通过判断 ANDCMB 即可证明，再判断出 ANECMF 证明出，再证明出 NFMMEN，得到FNM=EMN，进而判断出，通过 DF 与 EB 先证明出四边形为平行四边形，再通过 三线合一以及内角和定理得到NDO=ABD
13、=30 ，进而得到 DE=BE，即可知四边形为菱形 【详解】BFAC BMC=90 又/DE BF EDO=MBO，DEAC DNA=BMC=90 四边形 ABCD 为矩形 AD=BC，ADBC，DCAB ADB=CBD ADB-EDO=CBD-MBO 即AND=CBM AND 与 CMB 90DNABMC ANDCBM ADBC ANDCMB(AAS) AN=CM，DN=BM，故正确 ABCD NAE=MCF 又DNA=BMC=90 ANE=CMF=90 在 ANE 与 CMF 中 90ANECMF ANCM NAEMCF ANECMF（ASA） NE=FM，AE=CF，故正确 在 NFM
14、与 MEN 中 90 FMNE FMNENM MNMN NFMMEN（SAS） FNM=EMN NFEM，故正确 AE=CF DC-FC=AB-AE，即 DF=EB 又根据矩形性质可知 DFEB 四边形 DEBF 为平行四边 根据矩形性质可知 OD=AO， 当 AO=AD 时，即三角形 DAO 为等边三角形 ADO=60 又DNAC 根据三线合一可知NDO=30 又根据三角形内角和可知ABD=180 -DAB-ADB=30 故 DE=EB 四边形 DEBF 为菱形，故正确 故正确 故选 D 【点睛】本题矩形性质、全等三角形性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键 12.如图
15、，点 A，B 的坐标分别为(2,0), (0,2)AB，点 C 为坐标平面内一点， 1BC ，点 M 为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ） A. 21 B. 1 2 2 C. 2 2 1 D. 1 2 2 2 【答案】B 【解析】 【分析】 如图所示，取 AB 的中点 N，连接 ON，MN，根据三角形的三边关系可知 OMON+MN，则当 ON 与 MN 共线时，OM= ON+MN 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答 【详解】解：如图所示，取 AB 的中点 N，连接 ON，MN，三角形的三边关系可知 OMON+MN，则当 ON 与 MN 共线时，OM= ON
16、+MN 最大， (2,0), (0,2)AB， 则 ABO 为等腰直角三角形， AB= 22 2 2OAOB ，N 为 AB 的中点， ON= 1 2 2 AB ， 又M 为 AC 的中点， MN 为 ABC 的中位线，BC=1， 则 MN= 1 2 1 2 BC ， OM=ON+MN= 1 2 2 ， OM 的最大值为 1 2 2 故答案选：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当 ON 与 MN 共线时，OM= ON+MN 最大 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分只要求填写最后结果，每小题填对得分只要求填
17、写最后结果，每小题填对得 4 分）分） 13.方程组 16, 5372 xy xy 的解是_ 【答案】 12 4 x y 【解析】 【分析】 利用加减法解方程即可 【详解】解： 16 5372 xy xy 3 得3 348xy ， -得224x ， 解得 x=12， 把 x=12 代入得 12+y=16， y=4， 原方程组的解为 12 4 x y 故答案为： 12 4 x y 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法中的加减消元法，解答的关键在于根据题目特点合理消元 14.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 的坐标分别为(0,3)A，(
18、 1,1)B ，(3,1)CA B C V 是ABC关于x轴的对称图形，将A B C V 绕点 B 逆时针旋转 180 ，点 A 的对应点为 M，则点 M 的坐标为_ 【答案】( 2,1) 【解析】 【分析】 根据题意，画出旋转后图形，即可求解 【详解】解：如图，将A B C V 绕点 B 逆时针旋转 180 ，所以点 A 的对应点为 M 的坐标为( 2,1) 故答案为：( 2,1) 【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的对称，旋转，解题关键是理解对称旋转的含义，并结合网格解题 15.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地/ / ,BCAD BEAD ，斜坡AB长26m，斜坡AB
19、的坡比为 125为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地 质人员勘测，当坡角不超过 50 时，可确保山体不滑坡如果改造时保持坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿BC至少向右移_m时，才能确保山体不滑坡 （取tan501.2 ） 【答案】10 【解析】 【分析】 如图，设点 B 沿 BC 向右移动至点 H，使得HAD=50 ，过点 H 作 HFAD 于点 F，根据 AB 及 AB 的坡比，计算出 BE 和 AE 的长度，再根据HAF=50 ，得出 AF 的值即可解答 【详解】解：如图，设点 B 沿 BC 向右移动至点 H，使得HAD=50 ，过点 H 作 HFAD 于点 F， AB=2
20、6，斜坡AB的坡比为 125， 则设 BE=12a，AE=5a， 22 2 12526aa，解得：a=2， BE=24，AE=10， HF=BE=24， HAF=50 ， 则 24 tan501.2 HF AFAF ，解得：AF=20， BH=EF=20-10=10， 故坡顶 B 沿BC至少向右移 10m时，才能确保山体不滑坡， 故答案为：10 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 16.如图，点 O 是半圆圆心，BE是半圆的直径，点 A，D 在半圆上，且/,60 , 8AD BOABOAB，过点 D 作DCBE于点 C，则
21、阴影部分的面积是_ 【答案】 64 8 3 3 【解析】 【分析】 求出半圆半径、OC、CD 长，根据 ADBO，得到 ABDAOD SS ，根据 = OCDAOE SSS 阴影扇形 即可求解 【详解】解：连接 OA， 60ABO，OA=OB， OAB 是等边三角形， OA=AB=8，AOB=60 ADBO， DAO=AOB=60 ， OA=OD， OAD 是等边三角形， AOD=60 ， DOE=60 ， 在 Rt OCD 中，sin604 3,cos604CDODOCOD ， ADBO， ABDAOD SS ， 2 1208164 =4 4 38 3 36023 OCDAOE SSS 阴影
22、扇形 故答案为： 64 8 3 3 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据 ADBO，得到 ABDAOD SS ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差 17.已知二次函数 2 yaxbxc（, , a b c是常数， 0a）的y与x的部分对应值如下表： x 5 4 2 0 2 y 6 0 6 4 6 下列结论： 0a； 当2x时，函数最小值为 6； 若点 1 8, y，点 2 8, y在二次函数图象上，则 12 yy； 方程 2 5axbxc 有两个不相等的实数根 其中，正确结论的序号是_ （把所有正确结论的序号都填上） 【答案】 【解析】 【分析】 先根据表格中
23、的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断；由抛物线的性质可判断；把点 1 8, y和点 2 8, y代入解析式求出 y1、y2即可；当 y=5 时，利用一元二次方程的 根的判别式即可判断，进而可得答案 【详解】解：由抛物线过点（5，6） 、 （2，6） 、 （0，4） ，可得： 2556 426 4 abc abc c ，解得： 1 3 4 a b c ， 二次函数的解析式是 2 34yxx， a=10，故正确； 当 3 2 x 时，y 有最小值 25 4 ，故错误； 若点 1 8, y，点 2 8, y在二次函数图象上，则 1 36y ， 2 84y ， 12 yy，故正确；
24、当 y=5 时，方程 2 345xx 即 2 310 xx ， 2 3450 ，方程 2 5axbxc 有两个不相等的实数根，故正确； 综上，正确的结论是： 故答案为： 【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关 键 18.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，我们把第一个 数记为 1 a，第二个数记为 2 a，第三个数记为 3 a，第
25、n个数记为 n a，则 4200 aa_ 【答案】20110 【解析】 【分析】 根据所给数据可得到关系式 1 2 n n n a ，代入即可求值 【详解】由已知数据 1，3，6，10，15，可得 1 2 n n n a ， 4 4 5 10 2 a ， 200 200201 20100 2 a ， 4200 20100+10=20110aa 故答案为 20110 【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，满分小题，满分 78 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
26、骤） 19.（1）化简： 2 14 1 33 a a aa ； （2）解不等式： 11 1 34 xx 【答案】 （1） 2 2 a a ； （2）5x 【解析】 【分析】 （1）先把小括号内的分式通分后，再把除法转化为乘法，约分后即可把分式化为最简； （2）先去掉不等式中的分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后化系数为 1 即可求出不等式的解 【详解】 （1）解： 2 14 1 33 a a aa (1)(3)1(2)(2) 333 aaaa aaa 2 43 13 3(2)(2) aaa aaa 2 (2) (2)(2) a aa 2 2 a a （2）解：不等式两边都乘以 12，得 4
27、(1)123(1)xx 即44 1233xx 4383xx 解得5x 原不等式解集是5x 【点睛】第（1）题考查了分式的化简，熟练运用分式的运算法则是解决问题的关键；第（2）题考查了一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的一般步骤是解决问题的关键 20.如图，已知一次函数y kxb 的图象与反比例函数 m y x 的图象交于点()3,Aa，点(142 ,2)Ba （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与y轴交于点 C，点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点，求ACD的面积 【答案】 （1） 12 y x ； （2）18 【解析】 【分析】 （1）根据点 A、B 都在反比例函数
28、图象上，得到关于 a 的方程，求出 a，即可求出反比例函数解析式； （2）根据点 A、B 都在一次函数y kxb 的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点 C 坐标，求出 CD 长，即可求出ACD的面积 【详解】解： （1）点()3,Aa，点(142 ,2)Ba在反比例函数 m y x 的图象上， 3(142 )2aa 解得4a 3 412m 反比例函数的表达式是 12 y x （2）4a， 点 A，点 B 的坐标分别是(3,4),(6,2) 点 A，点 B 在一次函数y kxb 的图象上， 43, 26. kb kb 解得 2 , 3 6. k b 一次函数的表达式是 2 6 3
29、yx 当0 x时，6y 点 C 的坐标是0,6 6OC 点 D 是点 C 关于原点 O 的对称点， 2CDOC 作AE y 轴于点 E， 3AE 1 2 ACD SCD AE CO AE 6 3 18 【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点 A、B 都在反比例函数图象上，得到关键 a 的方程，求出 a，得到点 A、B 坐标 21.为迎接 2020 年第 35 届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项） ，将各项比赛的参加人数绘制成 如图两幅不完整的统计图 根据统计图中的信息解
30、答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数； （4）在 C 组最优秀的 3 名同学（1 名男生 2 名女生）和 E 组最优秀的 3 名同学（2 名男生 1 名女生）中，各选 1 名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女 生的概率 【答案】 （1）80； （2）见解析； （3）72 ； （4）图表见解析， 5 9 【解析】 【分析】 （1）根据题目中已知 B 的占比和人数已知，可求出总人数； （2）用总人数减去其他人数可求出 D 的人数，然后补全条图即可； （3）先
31、算出 A 的占比，再用占比乘以 360 即可； （4）根据列表法进行求解即可； 【详解】 （1）由题可知：1822.5%=80（人） ， 参加学生的人数是 80 人； （2）由（1）可得：D 的人数为80-16-18-20-8=18，画图如下： （3）由（1）可得，A 的占比是 16 80 ， 16 36072 80 （4）列表如下： C 男 C 女 1 C 女 2 E 男 1 （C 男，E 男 1） （C 女 1，E 男 1） （C 女 2，E 男 1） E 男 2 （C 男，E 男 2） （C 女 1，E 男 2） （C 女 2，E 男 2） E 女 （C 男，E 女） （C 女 1，E
32、女） （C 女 2，E 女） 得到所有等可能的情况有 9 种， 其中满足条件的有 5 种： （C 女 1，E 男 1） ， （C 女 2，E 男 1） ， （C 女 1，E 男 2） ，C 女 2，E 男 2） ， （C 男，E 女） 所以所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率是 5 9 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键 22.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化 2020 年 5 月 21 日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开某茶店用 4000 元购进了 A 种茶叶若干盒，用
33、8400 元 购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍 （1）A，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进 A，B 两种茶叶共 100 盒（进价不变） ，A 种茶叶的售价是每盒 300 元，B 种茶叶的售价是每盒 400 元两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶 均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为 5800 元（不考虑其他因素） ，求本次购进 A，B 两种茶叶各多少盒？ 【答案】 （1）A，B 两种茶叶每盒进价分别为 200 元，280 元； （2）第
34、二次购进 A 种茶叶 40 盒，B 种茶叶 60 盒 【解析】 【分析】 （1）设 A 种茶叶每盒进价为x元，则 B 种茶叶每盒进价为1.4x元，根据“4000 元购进了 A 种茶叶若干盒，用 8400 元购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒”列出分式方程解答，并检 验即可； （2）设第二次 A 种茶叶购进m盒，则 B 种茶叶购进100m盒，根据题意，表达出打折前后，A，B 两种茶叶的利润，列出方程即可解答 【详解】解： （1）设 A 种茶叶每盒进价为x元，则 B 种茶叶每盒进价为1.4x元 根据题意，得 40008400 10 1.4xx 解得200 x 经检验
35、：200 x是原方程的根 1.41.4 200280 x （元） A，B 两种茶叶每盒进价分别为 200 元，280 元 （2）设第二次 A 种茶叶购进m盒，则 B 种茶叶购进100m盒 打折前 A 种茶叶的利润为10050 2 m m B 种茶叶的利润为 100 120600060 2 m m 打折后 A 种茶叶的利润为105 2 m m B 种茶叶的利润为 0 由题意得：5060006055800mmm 解方程，得：40m 1001004060m（盒） 第二次购进 A 种茶叶 40 盒，B 种茶叶 60 盒 【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找
36、出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验 23.若ABC和AED均为等腰三角形，且 90BACEAD （1）如图（1） ，点 B 是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由； （2）如图（2） ，若点 G 是EC的中点，连接GB并延长至点 F，使CFCD求证：EBDC，EBGBFC 【答案】 （1）四边形 BEAC 是平行四边形，证明见解析； （2）见解析；见解析 【解析】 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质证得45BAE，45CBA，推出/BC EA，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论； （2）利用“SAS”证得AEBADC，即可证明结论； 延长FG至点 H，使
37、GHFG ，证得EHGCFG，推出BFCHCFEH，利用的结论即可证明EBGBFC 【详解】 （1）证明：四边形BEAC是平行四边形 理由如下： EAD为等腰三角形且90EAD， 45E ， B 是DE的中点， ABDE， 45BAE， ABC是等腰三角形，90BAC， 45CBA， BAECBA， /BC EA， 又AB DE， 90EBABAC /BE AC 四边形BEAC是平行四边形 （2）证明：AED和ABC为等腰三角形， AEADABAC， 90EADBAC， EADDABBACDAB， 即EABDAC， AEBADC， EBDC； 延长FG至点 H，使GHFG G 是EC中点， E
38、GCG， 又EGHFGC， EHGCFG， BFCHCFEH， CFCD， BECF， BEEH， EBGH， EBGBFC 【点睛】本题考查了平行四边形判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解答（2）的关键 24.小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB与ECD恰好为对顶角，90ABCCDE，连接BD，ABBD，点 F 是线段CE上一 点 探究发现：探究发现： （1）当点 F 为线段CE的中点时，连接DF（如图（2） ，小明经过探究，得到结论：BDDF你认为此结论是否成立？_ （填“是”或“否
39、”） 拓展延伸：拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BDDF，则点 F 为线段CE的中点请判断此结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 问题解决：问题解决： （3）若6,9ABCE，求AD的长 【答案】 （1）是； （2）结论成立，理由见解析； （3） 24 5 5 【解析】 【分析】 （1）利用等角的余角相等求出A=E，再通过 AB=BD 求出A=ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出 FD=FE=FC，由此得出E=FDE，据此进一步得出ADB=FDE， 最终通过证明ADB+EDC=90 证明结论成立即可； （2）根据垂直的性质可以得出BD
40、CCDF90 ，EDFCDF90 ，从而可得BDCEDF，接着证明出AEDF ，利用AE 可知EEDF ，从而推出EFFD，最 后通过证明ECDCDF得出CFDF，据此加以分析即可证明结论； （3）如图，设 G 为EC的中点，连接 GD，由（1）得DGBD，故而 9 2 GDGC，在RtGDB中，利用勾股定理求出 15 2 GB ，由此得出 159 3 22 CB ，紧接着，继续通过勾股定理求出 22 633 5AC ，最后进一步证明ABCEDC，再根据相似三角形性质得出 3 53 9CD ，从而求出 9 5 5 CD ，最后进一步分析求解即可. 【详解】 （1）ABC=CDE=90 ， A+
41、ACB=E+ECD， ACB=ECD， A=E， AB=BD， A=ADB， 在RtECD中， F 是斜边 CE 的中点， FD=FE=FC， E=FDE， A=E， ADB=FDE， FDE+FDC=90 ， ADB+FDC=90 ， 即FDB=90 ， BDDF，结论成立， 故答案为：是； （2）结论成立，理由如下： BDDF，EDAD BDCCDF90 ，EDFCDF90 ， BDCEDF， ABBD， ABDC AEDF 又A E ， EEDF EFFD 又EECD 90 ，EDFFDC90 ，EEDF ， ECDCDF， CFDF CFEF F 为CE的中点； （3）如图，设 G 为
42、EC的中点，连接 GD，由（1）可知DGBD， 19 22 GDECEGGC， 又 6BDAB， 在RtGDB中， 2 2 915 6 22 GB ， 159 3 22 CB ， 在Rt ABC中， 22 633 5AC ， 在ABC与EDC中， ABC=EDC，ACB=ECD， ABCEDC， 3 53 9CD ， 9 5 5 CD ， 9 524 5 3 5 55 ADACCD 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 25.若一次函数 33yx 的图象与x轴，y轴分别交于 A，C 两点，点 B 的坐标为3,0，二次函数 2 y
43、axbxc的图象过 A，B，C 三点，如图（1） （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1） ，过点 C 作/CD x轴交抛物线于点 D，点 E 在抛物线上（y轴左侧） ，若BC恰好平分DBE求直线BE的表达式； （3）如图（2） ，若点 P 在抛物线上（点 P 在y轴右侧） ，连接AP交BC于点 F，连接BP， BFPBAF SmS 当 1 2 m 时，求点 P 的坐标； 求m的最大值 【答案】 （1） 2 23yxx； （2） 1 1 3 yx； （3）点(2, 3)P或(1, 4)P； 9 16 m 最大值 【解析】 【分析】 （1）先求的点 A、C 的坐标，再用待定系数法求二次函数的
44、解析式即可； （2）设BE交OC于点 M由 (3,0),(0, 3)BC 可得OBOC，45OBCOCB 再由/CD AB，根据平行线的性质可得45BCD ，所以OCBBCD已知BC平分DBE，根据 角平分线的定义可得EBCDBC 利用AAS证得MBCDBC 由全等三角形的性质可得CMCD 由此即可求得点M 的坐标为 （0， -1） 再由(3,0)B， 即可求得直线BE解析式为 1 1 3 yx ； （3）由 1 2 BFPBAF SS可得 1 2 PFAF过点 P 作/PN AB交BC于点 N，则ABFPNF根据相似三角形的性质可得2ABNP由此即可求得2NP 设 2 ,23P t tt，可
45、得 2 233 N ttx所以 2 2 N xtt由此即可得 2 2PNttt =2，解得 12 2,1tt即可求得点(2, 3)P或(1, 4)P；由得 4 PN m 即 2 2 2 13 44216 9 ttt mt 再根据 二次函数的性质即可得 9 16 m 最大值 【详解】 （1）解：令330 x ，得1x令0 x时，3y ( 1,0),(0, 3)AC 抛物线过点(0, 3)C ， 3c 则 2 3yaxbx，将 ( 1,0),(3,0)AB 代入得 03, 0933. ab ab 解得 1, 2. a b 二次函数表达式为 2 23yxx （2）解：设BE交OC于点 M (3,0)
46、,(0, 3)BC， OBOC，45OBCOCB /CD AB， 45BCD OCBBCD BC平分DBE， EBCDBC 又BCBC ， MBCDBC CMCD 由条件得：(2, 3)D 2CDCM 3 2 1OM (0, 1)M (3,0)B， 直线BE解析式为 1 1 3 yx （3） 1 2 BFPBAF SS， 1 2 PFAF 过点 P 作/PN AB交BC于点 N，则ABFPNF 2ABNP 4AB ， 2NP 直线BC的表达式为 3yx ， 设 2 ,23P t tt ， 2 233 N ttx 2 2 N xtt 2 2PNttt ，则 2 22ttt，解得 12 2,1tt 点 (2, 3)P 或(1, 4)P 由得： 4 PN m 2222 2 23 313913 44442442 9 16 ttttt tt mtt m有最大值， 9 16 m 最大值 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次
