1、物体的动态平衡问题物体的动态平衡问题解题技巧解题技巧 湖北省恩施高中陈恩谱 一、总论一、总论 1、动态平衡问题的产生三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化， 但物体仍然平衡，典型关键词缓慢转动、缓慢移动 2、动态平衡问题的解法解析法、图解法 解析法画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然 后由角度变化分析判断力的变化规律； 图解法画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的 不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。 3、动态平衡问题的分类动态三角形、相似三角形、圆
2、与三角形（2 类） 、等腰三角形等 二、例析二、例析 1、第一类型第一类型：一个力大小方向均确定一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定另一个力大小方向均不确定 动态三角形动态三角形 【例 1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 FN1，球对木板的压力 大小为 FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不 计摩擦，在此过程中 AFN1始终减小，FN2始终增大 BFN1始终减小，FN2始终减小 CFN1先增大后减小，FN2始终减小 DFN1先增大后减小，FN2先减小后增大
3、 解法一：解析法画受力分析图，正交分解列方程，解出 FN1、FN2随夹角变化的函数，然后由函数 讨论； 【解析】小球受力如图，由平衡条件，有 0sin 2N mgF0cos 1N2N FF 联立，解得： sin 2N mg F， tan 1N mg F 木板在顺时针放平过程中，角一直在增大，可知 FN1、FN2都一直在减 小。选 B。 解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小 球重力和 FN1的方向，然后按 FN2方向变化规律转动 FN2，即可看出结果。 【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形 成如右图所示闭合三角形，其
4、中重力 mg 保持不变，FN1的方向始终水平向右， 而 FN2的方向逐渐变得竖直。 则由右图可知 FN1、FN2都一直在减小。 【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为(01)。现对木箱施加一拉力 F， 使木箱做匀速直线运动。设 F 的方向与水平地面的夹角为，如图所示，在从 0 逐渐增大到 90的过程中， 木箱的速度保持不变，则 AF 先减小后增大BF 一直增大 CF 一直减小DF 先增大后减小 解法一：解析法画受力分析图，正交分解列方程，解出 F 随夹角变化的函数，然后由函数讨论； FN2 mg FN1 FN1 FN2 mg 【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有 0sin N
5、mgFF0cos f FF 其中 Nf FF 联立，解得： sincos mg F 由数学知识可知 )cos(1 2 mg F，其中 1 tan 当 1 arctan时，F 最小，则从 0 逐渐增大到 90的过程中，F 先减小后增大。选 A。 解法二：图解法可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方 向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。 【解析】 小球受力如图， 将支持力 FN和滑动摩擦力 Ff合成为一个力 F合， 由 Nf FF可知，tan。 由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三 角形，其中重力 mg 保持不变，F合的方向始终与竖直方向成角。 则由右图可
6、知，当从 0 逐渐增大到 90的过程中，F 先减小后增大。 2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三 角形的三边平行角形的三边平行相似三角形相似三角形 【例 2】半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小 滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点， 另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小 球由A到B的过程中，半球对小球的支持力 N F和绳对小球的拉力 T F的大小变化 的情况是 A、 N
7、 F变大， T F变小B、 N F变小， T F变大 C、 N F变小， T F先变小后变大D、 N F不变， T F变小 解法一：解析法（略） 解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力的 三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对应边长比边长，三边比值相 等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。 【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可 形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与OAO 的三边始终平 行，即力的三角形与几何三角形OAO 相似。则有。 L F R F hR mg TN 其中，mg、R、h
8、 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知， N F不变， T F变小。 3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定 圆与三角形圆与三角形 【例 3】在共点力的合成实验中，如图，用 A，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 O，这 时两绳套 AO，BO 的夹角小于 90，现在保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使角变小，那么要 FN F mg Ff FN F mg Ff F合 F F合 mg FN mg Ff FN mg Ff O O FT2 mg FT1
9、使结点仍在位置 O，就应该调整弹簧秤 B 的拉力的大小及角，则下列调整方法中可行的是 A、增大 B 的拉力，增大角B、增大 B 的拉力，角不变 C、增大 B 的拉力，减小角D、B 的拉力大小不变，增大角 解法一：解析法（略） 解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨 论变化”保持长度不变 FA将 FA绕橡皮条拉力 F 端点转动形成一个圆弧，FB的一 个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。 【解析】如右图，由于两绳套 AO、 BO 的夹角小于 90， 在力的三角形中， FA、 FB的顶角为钝角，当顺时针转动时，FA、 FB的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。 由
10、图可知，这个过程中 FB一直增大， 但角先减小，再增大。故选 ABC。 4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持 不变不变圆与三角形（正弦定理）圆与三角形（正弦定理） 【例 4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角=120不变， 若把整个装置顺时针缓慢转过 90，则在转动过程中，CA 绳的拉力 FT1，CB 绳的拉 力 FT2的大小变化情况是 A、FT1先变小后变大B、FT1先变大后变小 C、FT2一直变小D、FT2最终变为零 解法一：解析法 1让
11、整个装置顺时针转过一个角度，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件 列方程，解出 FT1、FT2随变化的关系式，然后根据的变化求解。 【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设 AC 绳 与竖直方向夹角为，则由平衡条件，有 0)cos(cos 2T1T mgFF 0)sin(sin 2T1T FF 联立，解得 sin )sin( 1T mg F， sin sin 2T mg F 从 90逐渐减小为 0，则由上式可知：FT1先变大后变小，FT2一直变小。 解法二：解析法 2画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，FT1、 FT2的夹角(180)保持不变，设
12、另外两个夹角分别为、，写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据、 的变化规律得到 FT1、FT2的变化规律。 【解析】如图，由正弦定理有 T1T2 sin()sinsin FFmg 整个装置顺时针缓慢转动 90过程的中角和 mg 保持不 变，角从 30增大，角从 90减小，易知 FT1先变大后变小，FT2一直变小。 解法三：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的 夹角(180)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的 外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心） ，然后让另两个力的交点在圆周上按 FT1、FT2的方向变化规律滑动，即可看出
13、结果。 【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的 FT2为直径的圆周，易 知 FT1先变大到最大为圆周直径，然后变小，FT2一直变小。答案为：BCD F FB FA B A O F FB FA FT2 mg FT1 mg FT1 FT2 mg FT1 FT2 5、等腰三角形：一等腰三角形：一个力大小、方向均确定，另个力大小、方向均确定，另两个力大小相等、但大小和方向均不确定两个力大小相等、但大小和方向均不确定 【例 5】如图所示用钢筋弯成的支架，水平虚线 MN 的上端是半圆形，MN 的下端笔直竖立一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物 G现将轻绳的一端 固定于支架上的 A 点，另一端从
14、 C 点处沿支架缓慢地向最高点 B 靠近（C 点与 A 点等高），则绳中拉力 A先变大后不变B先不变后变大 C先不变后变小D保持不变 解法一：解析法分两个阶段画受力分析图，绳端在 CN 段、NB 段，在 CN 段， 正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同， 再由几何关系易 知这个夹角保持不变，则易看出结果；在 NB 段，左右两侧绳与水平方向夹角也 相同，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。 （解析略） 解法二：图解法画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是一 个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的 变化规律。 【解析】如右图，滑轮受力
15、如图所示，将三个力按顺序首尾相 接，形成一个等腰三角形。 由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增 大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小。选 C。 三、练习三、练习 1、如图 1 所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地 移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力 F、半球 面对小球的支持力 FN的变化情况是（） AF 增大，FN减小BF 增大，FN增大 CF 减小，FN减小DF 减小，FN增大 【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形， 其中重力 m
16、g 保持不变，F 的方向始终水平向左，而 FN的方向逐渐变得水平。 则由上图可知 F、FN都一直在增大。 故 B 正确 2、如图 2 所示是一个简易起吊设施的示意图，AC 是质量不计的撑杆，A 端与竖直墙用铰链连接，一 滑轮固定在 A 点正上方，C 端吊一重物。现施加一拉力 F 缓慢将重物 P 向上拉，在 AC 杆达到竖直前（ ） ABC 绳中的拉力 FT越来越大BBC 绳中的拉力 FT越来越小 CAC 杆中的支撑力 FN越来越大DAC 杆中的支撑力 FN越来越小 AC MN B G FT=G F1 F2 FT=G F1 F2 mg FN FN mg F F FT1=G FN FT FT1=G
17、 【解析】C 点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很 容易发现，这三个力与ABC的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形ABC相似。则有。 BC F AC F AB G TN 其中，G、AC、AB 均不变，BC 逐渐减小，则由上式可知， N F不变， T F变小。B 正确 3、质量为 M、倾角为的斜面体在水平地面上，质量为 m 的小木块（可视为质点）放在斜面上， 现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力 F 作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周 的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（） A小木块受到斜面的最大摩擦力为
18、22 )sin(mgF B小木块受到斜面的最大摩擦力为 F-mgsin C斜面体受到地面的最大摩擦力为 F D斜面体受到地面的最大摩擦力为 Fcos 【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的 分量 mgsin始终不变，其与 F 和 Ff构成一个封闭的三角形，当 F 方向变化时可知当 F 与 mgsin方向相反 时 Ff最大，其值为 F+mgsin。对于 C，D 选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力 F 水平向左时摩擦 力最大值为 F。故 C 正确。 4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O 为圆心对圆弧面的压力最小的是 Aa 球Bb
19、 球Cc 球Dd 球 【解析】小球受力分析如图所示，其中小球重力相同，FN1方向始终指向圆心，FN2方向始终垂直于 FN1，这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示，从 a 位置到 d 位置 FN1与竖直方向夹角在变小，做出里 的动态三角形，易得 a 球对圆弧面的压力最小。A 正确。 5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座 椅悬挂在竖直支架上等高的两点由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示， 但两悬挂点仍等高座椅静止时用 F 表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前 相比（） AF 不变，F1变小BF
20、 不变，F1变大CF 变小，F1变小DF 变大，F1变大 【解析】座椅受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。两根支架向内 发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小，从图中可以得到则绳中张力 F1逐渐减小，由于座椅仍静 止所受合力 F 始终为零。选 A。 F mgsin Ff mgsin Ff G F1 F1 G F1 F1 mg FN1 FN2 mg FN1 FN2 6、如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体被水平力 F 推 着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，且tan ，求力 F 的取值范 围。 【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力 F
21、f和弹 力 FN合成为一个力 F合，则 F合的方向允许在 FN两侧 最大偏角为的范围内，其中tan。将这三个力 按顺序首尾相接，形成如图所示三角形，图中虚线即为 F合的方向允许的变化范围。 由图可知：)tan()tan(mgFmg 即：mgFmg sincos cossin sincos cossin 7、如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体在拉力 F 的作用下沿斜面向上做匀加速 直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为，为使物体加速度大小为 a，试求力 F 的最小值及其对应的 方向。 【解析】 物体受力如图， 将支持力 FN和滑动摩擦力 Ff合成为一个力 F合， 由 N
22、f FF可知，tan。 将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中 mg、ma 不变，F合的方向不变。 当 F 取不同方向时，F 的大小也不同，当 F 与 F合垂直时，F 取最小值。 由几何关系，得：cos)sin( min mamgF，解得： 2 min 1 )sincos( mamg F 8、 如图所示， 一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动， 盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 3 2 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦 力)，盘面与水平面的夹角为 30，g 取 10 m/s2。则的最大值是 A 5
23、 rad/sB 3 rad/s C1.0 rad/sD5 rad/s 【解析】垂直圆盘向下看，物体受力如图所示，静摩擦力 Ff和重力沿圆盘 向下的分力 mgsin30的合力即向心力 ma。将这两个力按顺序首尾相接，与它们 的合力 ma 形成闭合三角形，其中 mgsin30保持不变、ma 大小不变，静摩擦力 30cos f mgF。 由图易知，当小物体转到最低点时，静摩擦最大，为 30cos30sin 2 fm mgrmmgF，解得 rad/s0 . 1。故选 C。 说明：本文收录于陈恩谱老师物理原来可以这样学说明：本文收录于陈恩谱老师物理原来可以这样学 2019 年年 6 月第三次修订版。月第三次修订版。 F a mgsin30 Ff ma mgsin30 Ff ma FN mg Ff F合 F F F合 mg mg F F合 ma FN mg Ff F合 F mg F F合 ma +
