1、1 初升高衔接教 材 数数 学学 目目 录录 第一部分第一部分 新教材初高中数学衔接概述新教材初高中数学衔接概述 第 1 节 如何做好初高中衔接 1 第 2 节 现有初高中数学知识存在的“脱节” 4 第二部分第二部分 初高中数学衔接初高中数学衔接分章节讲解分章节讲解 第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算7 7 第 1 节 绝对值 第 2 节 乘法公式 第 3 节二次根式 第 4 节分式 第 5 节分解因式 第二讲第二讲 一元二次方程一元二次方程7 7 第 1 节 根的判别式 第 2 节 根与系数的关系（韦达定理） 第三讲第三讲 二次函数二次函数7 7 第 1 节 二次函数yax 2bxc 的
2、图像和性质 第 2 节 二次函数的三种表示方式 第 3 节 二次函数的简单应用 第 4 节 二次函数的最值问题 2 第四讲第四讲 方程与不等式方程与不等式7 7 第 1 节 二元二次方程组解法 第二节 一元二次不等式解法 第五讲第五讲 相似形相似形7 7 第 1 节 平行线分线段成比例定理 第 2 节 相似形 第第 6 6 讲讲 三角形三角形7 7 第 1 节 三角形的“四心” 第 2 节 几种特殊的三角形 第第 7 7 讲讲 圆圆7 7 第 1 节 直线与圆，圆与圆的位置关系 第 2 节 点的轨迹 附录：附录：初、高中数学衔接紧密的知识点初、高中数学衔接紧密的知识点 第一部分第一部分 新教材
3、初高中数学衔接概述新教材初高中数学衔接概述 1.1为什么要做好高、初中数学的衔接 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都 有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么 简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练 习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生 进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神 秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造 成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上
4、的衔接问 题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的 经验教训，搞好自己的数学学习。 一一 高中数学与初中数学特点的变化高中数学与初中数学特点的变化，要求我们改变学习方式，以尽快适应学习，要求我们改变学习方式，以尽快适应学习 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉 得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的 数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合 语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。 高中数学思维方法与初中
5、阶段大不相同。 初中阶段， 很多老师为学生将各种题 建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解 先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等, 分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势 方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出 了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很 多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向 理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加
6、了。课时 相对较少，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度 一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学 习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。 第二， 要理解掌握好新旧知识的内在联系， 使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。 第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不 会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表 格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一； 使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归
7、类，建立主体的知识结构网 络。 二二 不良的学习状态不良的学习状态会加大数学学习的两极分化，因此要养成良好的学习习惯会加大数学学习的两极分化，因此要养成良好的学习习惯 1 学习习惯，因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一， 为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的 “模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教 学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高 中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动 权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要
8、上课的内容不了解，上课 忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。 有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。 他们认为自已在初一、 二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高 中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就 3 用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的 大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学 习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重 点难点，突出思想方法。而一部
9、分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全， 笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系， 只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬 背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套， 结果是事倍功半，收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基 本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很 感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规 作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。 5 进一步学习条件不具备
10、。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力 要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中 数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与 参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及 实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查 缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。 三三 科学地进行科学地进行高效高效学习学习，始终保持对数学的兴趣，始终保持对数学的兴趣 1、充分发挥、充分发挥“老师老师”的作用。的作用。 高考的题目往往具有很强的选拔性，竞争非常激烈。从课程本质上说，高中
11、内容 体系性虽强， 但是在编写时是通过“模块”的形式把这些比较系统的内容分散开来编 写的，如果没有老师的引领，同学们在学习时会觉得内容繁杂、无序，不容易形成知 识结构和“思维链”，无法形成对知识“一览众山小”的把握，并不利于对知识的学 习。而且，前面也说了，高中数学蕴含着很多的数学思想与数学解题方法，这些抽象 的思想与灵活方法的运用，同学们仅凭读课本是无法感知的，而老师上课时一般都要 讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重、难点，突出思想方法，只有在老师 的带领下同学们才能更好地认识高中数学，认清结构，发现其中的奥秘，利用好老师 的角色将对我们的学习起到事半功倍的效果。 2、抓住数学的灵魂
12、数学思想。 所谓数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步 抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。数学思想是数学学习的关键，数学思想 指导着数学问题的解决，并具体体现在解决问题的不同方法中。常用的数学思想有： 方程思想、函数思想、转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想等。 无论是初中数学还是高中数学，数学思想都是数学的灵魂，它们之间是可以衔接 的。 例1：某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型机20台，乙型机30台。现将 这50台联合收割机派往 A、B 两地区收割小麦，其中30台派往 A 地区，20台派往 B 地区。 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租
13、赁价格见下表： 每台甲型收割机的租 金 每台乙型收割机的租 金 A 地区 1800元 1600元 B 地区 1600元 1200元 （1）设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得 的租金为 y（元） ，求 y 与 x 间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元， 说 明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司 提出一条合理建议 解：解： （1）若派往 A 地区的乙型联合收割机为 x 台，则派往 A 地区的甲型联合
14、收 割机为（30 x）台；派往 B 地区的乙型收割机为（30 x）台，派往 B 地区的甲型 收割机为（x10）台。 y1600 x1800（30 x）1200（30 x）1600（x 10）200 x74000。 x 的取值范围是：10 x30（x 是正整数） 。 （2）由题意得200 x7400079600， 解不等式得 x28.由于10 x30，x 取28，29，30这三个值， 故有3种不同的分配方案。 当 x28时，即派往 A 地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往 B 地区甲 型收割机18台，乙型收割机2台。 当 x29时，即派往 A 地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往 B
15、 地区甲 型收割机19台，乙型收割机1台。 4 当 x30时，即30台乙型收割机全部派往 A 地区；20台甲型收割机全部派往 B 地区。 （3）由于一次函数 y200 x74000的值 y 是随着 x 的增大而增大的，所以，当 x30时，y 取得最大值。如果要使该农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金 最高，只需 x30，此时，y60007400080000。 建议该农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往 A 地区；20台甲型收割机全部 派往 B 地区，可使该农机租赁公司获得的租金最高。 这里面透露出的就是函数的思想， 而在高中， 函数的思想是非常重要的数学思想。 例2：实数 k 为何值时
16、，方程 kx2+2|x|+k=0有实数解？运用函数的思想就可以解决 这个问题。 3、夯实基础知识和基本技能，掌握适度的知识外延。 要学习好高中数学，必须准确理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性质，抓 住这些基本知识的要点和适用范围，是学好数学的基础之一，否则一切都无从谈起， 从目前的高考来看，也很侧重对这些知识的考查，特别是一些简答题，如对某些基本 概念不能准确理解就很难正确作答。 夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要基础，但仅有这些还不够，要想在有 限的时间内准确快速地解答完考题，必须具备一定的知识外延，需要在平时的听课和 练习中注意加强对一些重要结论的记忆，扩大自己的知识面，丰富自己的
17、知识积累。 4、做题之后加强反思 同学们一定要明确，现在正做着的题，绝不会是考试的题目。在考试中我们需要 运用平时做题目时的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结 一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。日久天长， 构建起一个内容与方法的科学的网络系统。反思是学习过程中很重要的一个环节。 5、主动复习，总结提高 进行章节总结是非常重要的。初中时是老师替学生做总结，做得细致，深刻，完 整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习 时间，也不会明确指出做总结的时间。那么，怎样进行章节复习呢？ （1）把本章节的内容一分为二，一部
18、分是基础知识，一部分是典型问题。要把 对技能的要求，列进这两部分的其中一部分中，不要遗漏。 （2）把各种重要的，典型 的问题记录在册。 6、养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力。 能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。 在平日的学习中要注意开发不同的 学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等 活动。平时注意观察，比如：空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高 度抽象在大脑中， 并在大脑中进行分析推理。 其他能力的培养也都需要在学习、 理解、 训练、应用中得到发展。 四、四、给给“高一高一”新同学的建议新同学的建议 1、改掉“依赖”的习惯 许多同学进
19、入高中后， 还像在初中那样， 有很强的依赖心理， 跟随老师惯性运转， 没有掌握学习的主动权。 表现在不订计划， 坐等上课， 对老师课上要讲的内容不了解， 上课忙于记笔记，没听到“门道”，不会巩固所学的知识。主动性不好是同学中 普遍存在的问题。高中仅做听话的孩子是不够的，只知做作业也是绝对不够的；高中 老师讲的话也不少，但是谁该干些什么，老师并不一一具体指明。因此，高中新生必 须提高学习的自主性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。 2、运算一定要过关 学习数学离不开运算，初中老师往往一步一步在黑板上演算。到了高中，因时间 有限，运算量大，老师常把计算过程留给同学们，这就要求同学们多动脑，勤动手，
20、 不仅要能笔算，而且还要能口算，心算和估算，对复杂运算，要有耐心，掌握算理， 注重简便方法。许多学生由于运算能力低，致使数学成绩难以提高，但他们总归咎于 “粗心”，思想上仍不重视。我们在高一时就要重视对自己运算能力的培养。 3、题目贵“精”，不贵“多” 有的同学认为，要想学好数学，只要多做题，功到自然成。其实不然。一般说做 的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此，应该适当地多做题。但是，只 顾钻入题海，堆积题目，在考试中一般也是难有作为的。做题的效率要高。做题的目 的在于检查你所学的知识、方法是否已掌握好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那 么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在
21、准确地把握住基本知识和方法的 基础上做一定量的练习。 高中数学学习是初中数学学习的拓展和深化。 为了帮助同学们顺利地从初中数学 过渡到高中数学的学习， 老师将在后续课程中对高中数学部分将要用到的一些初中数 学知识进行深化和补充，并在此基础上为同学们揭开高中数学知识内容的帷幕。 五、对数学学习再强调的几点要求五、对数学学习再强调的几点要求： 一要课前预习，预习要有个目标：把书本后面的练习题可以独立完成；并思考与 本节有关的旧知识以及如何将新知识融合在里面；问自己几个问题：课本的例题有什 么特点和变化？ 5 二是上课要认真听讲，课前准备好笔记本、笔、草稿本。 三先复习再独立完成作业。不懂就请教，问
22、思路，不照搬过程。 四是准备一个笔记本作为问题集，记录自己做错的典型问题和正确解法。经常反 思，领悟数学的思想方法。 相信你认真做到以上几点，高中学习数学会很轻松，成绩大幅度提升，最中达到 高考成功的彼岸！ 1.2.1.2.现有初高中数学知识存在以下“脱节”现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在 用。 2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解， 对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分 解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、 不等式等。 3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、 分母有理化
23、是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但 二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。 配方、 作简图、 求值域、 解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上 函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的 关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运 算和难度不大的应用题型， 而在高中二次函数、 二次不等式与二 次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲 授。 6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中 讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函
24、数关于原 点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作 定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数 的综合考查常成为高考综合题。 8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行 线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有 学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲 授。 6 第二部分第二部分 初高中数学衔接初高中数学衔接分章节讲解分章节讲解 第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算 第第 1 节节 绝对值绝对值 绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它的本身， 负数的绝对 值是
25、它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值， 是数轴上表示它的点 到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上， 数a和 数b之间的距离 例 1 解不等式：13xx 4 解法一： （零点分段法）（零点分段法） 解法二：如图 111，1x表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标 为1的点A之间的距离|PA|， 即|PA| |x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离 |PB|，即|PB|x3|所以，不等 式13xx 4 的几何意义即为 |PA|PB|4 由|AB|2，可知 点
26、P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧 x0，或 x4 练 习 1 1填空： （1）若5x，则 x=_；若4x，则 x=_. （2）如果5 ba，且1a，则 b_；若21c，则 c_. 2选择题： 下列叙述正确的是 （ ） （A）若ab，则ab （B）若ab，则ab （C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3化简：|x5|2x13|（x5） 4.解下列不等式： （1）21x （2）13xx 4 1 3 A B x 0 4 C D x P |x1| |x3| 图 111 7 第第 2 节节 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平
27、方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2 ()abcabca bb ca c； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa ba bb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例例 1 计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：解法一：原式= 2222
28、(1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx = 6 1x 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx = 33 (1)(1)xx = 6 1x 例 2 已知4a b c ，4ab bcac，求 222 abc的值 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac 【变式练习】【变式练习】1.1. 计算： （1） 22 1 (2) 3 xx （2） 22 11111 ()() 5225104 mnmmnn （3） 42 (2)(2)(416)aaaa （4） 2222 2 (2)()xxyyxxyy 练 习 2 1填空： （1） 22 1111 () 9423 ab
29、ba（ ） ； （2）(4m 22 )164(mm )； （3） 2222 (2)4(abcabc ) 2选择题： （1）若 2 1 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于 （ ） （A） 2 m （B） 2 1 4 m （C） 2 1 3 m （D） 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以 是负数 3 3 已知 2 310 xx ，求 3 3 1 x x 的值 4 4 已知0a b c ，求 111111 ()()()abc bccaab 的值 第第 3 节节 二次根式二次根式 一
30、般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式根号下含有 字 母 、 且 不 能 够 开 得 尽 方 的 式 子 称 为 无 理 式 . 例 如 2 32aabb， 22 ab等是无理式，而 2 2 21 2 xx， 22 2xxyy， 2 a等是有理式 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母（子）有理化为了 进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有 二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 我们就 8 说这两个代数式互为有理化因式， 例如2与2，3 a与a，36 与36，2 33 2与2 33 2， 等等 一般地，a x与x，a xb
31、y 与a xb y，a xb与a xb互为有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式， 化去分母中的根号的过程； 而分子有理化则是分母和分子都乘以 分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中， 二次根式的乘法可参照多 项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a bab ab；而对于 二次根式的除法， 通常先写成分式的形式， 然后通过分母有理化 进行运算； 二次根式的加减法与多项式的加减法类似， 应在化简 的基础上去括号与合并同类二次根式 2二次根式 2 a的意义 2 aa ,0, ,0. aa a a 例1 将下列式子化为最简二次根式： （1）1
32、2b； （2） 2 (0)a b a ； （3） 6 4(0)x y x 解： 例2 计算：3(33) 解： 例 3 试比较下列各组数的大小： （1）1211和1110； （2） 2 64 和2 26. 解： （1） 1211( 1211)( 1211)1 1211 112111211 ， 1110( 1110)( 1110)1 1110 111101110 ， 又12111110，12111110 （2） 2 26(2 26)(2 26)2 2 26, 12 262 26 + + 又 42 2， 64 62 2， 2 64 2 26. 例 4 化简： 20042005 ( 32)( 32)
33、解： 20042005 ( 32)( 32) 20042004 ( 32)( 32)( 32) 2004 ( 32) ( 32)( 32) 2004 1( 32) 32 例 5 化简： （1）94 5； （2） 2 2 1 2(01)xx x 解：（1）原式5454 22 ( 5)2 252 2 (25)2552 （2）原式= 2 1 ()x x 1 x x ， 9 01x， 1 1x x ，所以，原式 1 x x 例 6 已知 3232 , 3232 xy ，求 22 353xxyy的值 解： 22 3232 ( 32)( 32)10 3232 xy ， 3232 1 3232 xy ， 2
34、222 3533()113 1011289xxyyxyxy 练 习 3 1填空： （1） 13 13 _ _； （2）若 2 (5)(3)(3) 5x xxx，则x的取值范围是_ _ _； （3）4 246 543 962 150_ _； （4）若 5 2 x ，则 1111 1111 xxxx xxxx _ _ 2选择题： 等式 22 xx xx 成立的条件是 （ ） （A）2x （B）0 x （C）2x （D）02x 3若 22 11 1 aa b a ，求ab的值 4比较大小：2 3 5 4（填“”，或“”） 5 5 。 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： （1） 3 23
35、 （2） 22 (1)(2) (1)xxx （3） 11 ab （4） 3 28 2 x xx 6 6 设 2323 , 2323 xy ，求 33 xy的值 第第 4 节节 分式分式 1分式的意义 形如 A B 的式子，若 B 中含有字母，且0B，则称 A B 为分式分式当 M0 时，分式 A B 具有下列性质： AA M BBM ； AAM BBM 上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式 像 a b cd ， 2 mnp m np 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式繁分式 10 例 1 若 54 (2)2 xAB x xxx ，求常数,A B的值 解： (2)()254 2(2
36、)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x ， 5, 24, AB A 解得 2 ,3AB 例 2 （1）试证： 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数） ； （2）计算： 111 1 22 39 10 ； （3）证明：对任意大于 1 的正整数 n， 有 1111 2 33 4(1)2n n 证明： 例 3 设 c e a ，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值 解： 例例 4 4 化简： （1） 1 1 x x x x x （2） 2 22 3961 27962 xxxx xxxx （1） 解法一解法一： 原式= 22 2 (1)1 1(1) 1(1
37、)(1)1 1 xxxxx xx xxxx xxxxx xxx xxxx x x 解法二解法二：原式= 2 2 (1)1 (1)(1) 1 11 () xxxx xx xxxxx xxxx xxx xx xx x （2）解解：原式= 2 22 3961161 (3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3) xxxxx xxxxxxxxxx 2 2(3) 12(1)(3)(3)3 2(3)(3)2(3)(3)2(3) xxxxx xxxxx 说明说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式 分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 练 习
38、 4 1填空题： 对任意的正整数 n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2选择题： 若 22 3 xy xy ，则 x y （ ） （A） （B） 5 4 （C） 4 5 （D） 6 5 3正数, x y满足 22 2xyxy，求 xy xy 的值 4计算 1111 . 1 22 33 499 100 习习 题题 A 组组 1解不等式： 11 (1) 13x； (2) 327xx ； (3) 116xx 已知1xy，求 33 3xyxy的值 3填空： （1） 1819 (23) (23)_； （2）若 22 (1)(1)2aa，则a的取值范围是_； （3） 11111 1223344
39、556 _ B 组组 1填空： （1） 1 2 a ， 1 3 b ，则 2 22 3 352 aab aabb _ _； （2）若 22 20 xxyy，则 22 22 3xxyy xy _ _； 2已知： 11 , 23 xy，求 yy xyxy 的值 C 组组 1选择题： （1）若2ababba，则 （ ） （A）ab （B）ab （C）0ab （D）0ba （2）计算 1 a a 等于 （ ） （A）a （B）a （C）a （D）a 2解方程 2 2 11 2()3() 10 xx xx 3计算： 1111 1 32 43 59 11 4试证：对任意的正整数 n，有 111 1 2 3
40、2 3 4(1)(2)n nn 1 4 答案.1绝对值 1 （1）5；4 （2）4；1或3 2D 33x18 .2乘法公式 1 （1） 11 32 ab （2） 1 1 , 2 4 （3）424abacbc 2 （1）D （2）A 3二次根式 1 （1）32 （2）35x （3）8 6 （4）5 2C 31 4 4分式 11 2 2B 3 21 4 99 100 习题 A 组 1 （1）2x 或4x （2）4x3 （3）x3，或 x3 21 3 （1）23 （2）11a （3）61 B 组 1 （1） 3 7 （2） 5 2 ，或1 5 24 C 组 12 1 （1）C （2）C 2 12 1
41、 ,2 2 xx 3 36 55 4提示： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 第第 5 节节 分解因式分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式 法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 （1 1） 2 ()xpq xpq型的因式分解型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是 1；常数项是两 个数之积； 一次项系数是常数项的两个因数之和 2 ()xpq xpq 2 ()()()()xpxqxpqx xpq xpxp xq， 2 ()()()xpq xpqxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为
42、1 的二次三项式分解因式 （2 2）一般二次三项式）一般二次三项式 2 axbxc型的因式分解型的因式分解 由 2 121 22 11 21122 ()()()a a xa ca c xcca xca xc我们发现，二次项系数a分解成 12 a a， 常数项c分解成 1 2 c c，把 1212 ,a a c c写成 11 22 ac ac ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得 到 1 22 1 a ca c，如果它正好等于 2 axbxc的一次项系数b，那么 2 axbxc就可以分 解成 1122 ()()a xca xc，其中 11 ,a c位于上一行， 22 ,a c位于下一行这种借助画十
43、字交 叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法十字相乘法 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能 确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解 例 1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3） 22 ()xab xyaby； （4）1xyxy 解： （1）如图 121，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积， 再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2) 1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1
44、 1 图 123 ay by x x 图 124 13 说明： 今后在分解与本例类似的二次三项式时， 可以直 接将图 121 中的两个 x 用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 124，得 22 ()xab xyaby()()xay xby （4）1xyxy xy(xy)1 (x1) (y+1) （如图 125 所示） 例例 2 2 （十字相乘法）（十字相乘法）把下列各式因式分解： (1) 2 1252xx ；(2) 22 568xxyy 解：解：(1) 2 1252(32)(41)xxxx 32 4 1 (2) 22 568(
45、2 )(54 )xxyyxyxy 1 2 54 y y 说明：说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分 解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法” 凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添 加正、负号 2提取公因式法与分组分解法 例 3 分解因式： （1） 32 933xxx； （2） 22 2456xxyyxy 解： （1） 32 933xxx= 32 (3)(39)xxx= 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x
46、 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx （2） 22 2456xxyyxy= 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 22 2456xxyyxy= 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy 3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于若关于 x 的方程的方程 2 0(0)axbxca的两个实数根是的两个实数根是 1 x、 2 x，则，则 二次三项式二次三项式 2 (0)axbxc a就可分解为就可分解为 12
