1、1 24.124.1 圆圆( (第第 3 3 课时课时) ) 教学内容教学内容 1圆周角的概念 2圆周角定理 ： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对 的圆心角的一半 推论 ： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用 教学目标教学目标 1了解圆周角的概念 2理解圆周角的定理 ： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半 3理解圆周角定理的推论 ： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对 的弦是直径 4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心
2、角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题 重难点、关键重难点、关键 1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理 3关键：探究圆周角的定理的存在 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题 1什么叫圆心角？ 2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对的其余各组量都分别相等 刚才讲的，顶点在圆心上的
3、角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解 决的问题 二、探索新知二、探索新知 问题：如图所示的O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门，设球员们只能在EF所 在的O 其它位置射门，如图所示的 A、B、C 点通过观察，我们可以发现像EAF、 EBF、ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2 O B A C 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （
4、学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言 老师点评： 1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的 3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 ” （1）设圆周角ABC 的一边 BC 是O 的直径，如图所示 AOC 是ABO 的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC= 1 2 AOC （2）如图，圆周角ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那 么ABC= 1 2
5、AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程 老师点评：连结 BO 交O 于 D 同理AOD 是ABO 的外角，COD 是 BOC 的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2 ABC （3）如图，圆周角ABC 的两边 AB、AC 在一条直 径 OD 的同侧，那么ABC= 1 2 AOC 吗？请同学们独立完成证明 老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交O 于 D，那么AOD=2ABD，COD=2 CBO，而ABC=ABD-CBO= 1 2 AOD- 1 2 COD= 1 2 AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角ABC，同样可证得它等于同弧上圆心角一半， 因此
6、，同弧上的圆周角是相等的 从（1） 、 （2） 、 （3） ，我们可以总结归纳出圆周角定理： O B A C D 3 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目 例例 1 1如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大 小有什么关系？为什么？
7、 分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点，只要连结 AD 证明 AD 是高或是BAC 的平分线即可 解：BD=CD 理由是：如图 24-30，连接 AD AB 是O 的直径 ADB=90即 ADBC 又AC=AB BD=CD 三、巩固练习三、巩固练习 1教材 思考题 2教材 练习 四、应用拓展四、应用拓展 例例 2 2如图，已知ABC 内接于O，A、B、C 的对边分别设为 a，b，c，O 半 径为 R，求证： sin a A = sin b B = sin c C =2R 分析：要证明 sin a A = sin b B = sin c C =
8、2R，只要证明 sin a A =2R， sin b B =2R， sin c C =2R， 即 sinA= 2 a R ，sinB= 2 b R ，sinC= 2 c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行 证明：连接 CO 并延长交O 于 D，连接 DB CD 是直径 DBC=90 又A=D 在 RtDBC 中，sinD= BC DC ，即 2R= sin a A 同理可证： sin b B =2R， sin c C =2R 4 sin a A = sin b B = sin c C =2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1圆周角的
9、概念； 2圆周角的定理 ： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所 对的圆心角的一半； 3半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 4应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题 六、布置作业六、布置作业 1教材 综合运用 9、10、11 拓广探索 12、13 2选用课时作业设计 第三课时作业设计第三课时作业设计 一、选择题一、选择题 1如图 1，A、B、C 三点在O 上，AOC=100，则ABC 等于（ ） A140 B110 C120 D130 2 1 4 3 O B A C D (1) (2) (3) 2如图 2，1、2、3、4 的大小关系是（ ） A
10、4123 B41=32 C4132 D413=2 3如图 3，AD 是O 的直径，AC 是弦，OBAD，若 OB=5，且CAD=30，则 BC 等于 （ ） A3 B3+3 C5- 1 2 3 D5 5 二、填空题二、填空题 1 半径为 2a 的O 中， 弦 AB 的长为 23a， 则弦 AB 所对的圆周角的度数是_ 2如图 4，A、B 是O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则1+2=_ O B A C 2 1 E D (4) (5) 3 如图 5， 已知ABC 为O 内接三角形， BC=1， A=60， 则O半径为_ 三、综合提高题三、综合提高题 1如图，弦 AB 把圆周分成 1：2 的两
11、部分，已知O 半径为 1，求弦长 AB O B A 2如图，已知 AB=AC，APC=60 （1）求证：ABC 是等边三角形 （2）若 BC=4cm，求O 的面积 O B A C P 3如图，C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为（0，4） ， M 是圆上一点，BMO=120 （1）求证：AB 为C 直径 （2）求C 的半径及圆心 C 的坐标 O B A C y x M 6 答案答案: : 一、1D 2B 3D 二、1120或 60 290 3 3 3 三、13 2 （1）证明：ABC=APC=60， 又 ABAC，ACB=ABC=60，ABC 为等边三角形 （2）解：连结 OC，过点 O 作 ODBC，垂足为 D， 在 RtODC 中，DC=2，OCD=30， 设 OD=x，则 OC=2x，4x2-x2=4，OC= 4 3 3 3 （1）略 （2）4， （-23，2）
