1、绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试 用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题 卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号。 2本卷共 9 小题，每小题 5 分，
2、共 45 分 参考公式： 如果事件A与事件B互斥，那么()( )( )P ABP AP B 如果事件A与事件B相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B 球的表面积公式 2 4SR，其中R表示球的半径 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 3, 2, 1,0,1,2,3U ，集合 1,0,1,2, 3,0,2,3AB ，则 U AB A 3,3 B0,2 C 1,1 D 3, 2, 1,1,3 2设aR，则“1a ”是“ 2 aa”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数 2 4 1 x y x 的图象大致
3、为 A B C D 4 从一批零件中抽取 80 个， 测量其直径 （单位：mm） ， 将所得数据分为 9 组：5.31,5.33),5.33,5.35), 5.45,5.47),5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 5.43,5.47)内的个数为 A10 B18 C20 D36 5若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A12 B24 C36 D144 6设 0.70.8 0.7 1 3,( ),log0.8 3 abc ，则, ,a b c的大小关系为 Aabc Bbac Cbca Dcab 7 设双曲线C的方程为 22 2
4、2 1(0,0) xy ab ab ， 过抛物线 2 4yx的焦点和点(0, )b的直线为l 若C的 一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为 A 22 1 44 xy B 2 2 1 4 y x C 2 2 1 4 x y D 22 1xy 8已知函数 ( )sin() 3 f xx给出下列结论： ( )f x的最小正周期为2； ( ) 2 f是( )f x的最大值； 把函数sinyx的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，可得到函数( )yf x的图象 其中所有正确结论的序号是 A B C D 9已知函数 3, 0, ( ) ,0. x x f x x x 若函数 2
5、( )( )2 ()g xf xkxx kR恰有 4 个零点，则k的取值范围是 A 1 (,)(2 2,) 2 B 1 (,)(0,2 2) 2 C(,0)(0,2 2) D(,0)(2 2,) 第卷 注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2本卷共 11 小题，共 105 分 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答 对的给 5 分 10i是虚数单位，复数 8i 2i _ 11在 5 2 2 ()x x 的展开式中， 2 x的系数是_ 12已知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于,A B两点
6、若| 6AB ，则r的值为 _ 13已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落 入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_ 14已知0,0ab，且1ab ，则 118 22abab 的最小值为_ 15如图，在四边形ABCD中，60 ,3BAB，6BC ，且 3 , 2 ADBCAD AB，则实数 的值为_，若,M N是线段BC上的动点，且| 1MN ，则DM DN的最小值为_ 三解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中，角, ,A B C所
7、对的边分别为, ,a b c已知2 2,5,13abc （）求角C的大小； （）求sin A的值； （）求 sin(2) 4 A的值 17 （本小题满分 15 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面,2ABC ACBC ACBC， 1 3CC ，点,DE 分别在棱 1 AA和棱 1 CC上，且2, 1,ADCEM为棱 11 AB的中点 （）求证： 11 C MB D； （）求二面角 1 BB ED的正弦值； （）求直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值 18 （本小题满分 15 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为(0, 3)A，右焦
8、点为F，且| |OAOF，其中O为原 点 （）求椭圆的方程； （）已知点C满足3OCOF，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点） ，直线AB与以C为圆心的圆 相切于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程 19 （本小题满分 15 分） 已知 n a为等差数列， n b为等比数列， 11543543 1,5,4abaaabbb （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 n a的前n项和为 n S，求证： 2* 21nnn S SSn N； （）对任意的正整数n，设 2 1 1 32 , ,. nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 求数列 n c的前2n项和
9、20 （本小题满分 16 分） 已知函数 3 ( )ln ()f xxkx kR，( )fx为( )f x的导函数 （）当6k 时， （i）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （ii）求函数 9 ( )( )( )g xf xfx x 的单调区间和极值； （） 当3k 时， 求证： 对任意的 12 ,1,)x x ， 且 12 xx， 有 1212 12 2 fxfxf xf x xx 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学参考解答 一选择题：每小题 5 分，满分 45 分 1C 2A 3A 4B 5C 6D 7D 8B 9D 二填空题：每小题 5 分，满分
10、 30 分试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分 103 2i 1110 125 13 1 6 ； 2 3 144 15 1 6 ；13 2 三解答题 16满分 14 分 （）解：在ABC中，由余弦定理及2 2,5,13abc，有 222 2 cos 22 abc C ab 又 因为(0,)C，所以 4 C （）解：在ABC中，由正弦定理及 ,2 2,13 4 Cac，可得 sin2 13 sin 13 aC A c （）解：由ac及 2 13 sin 13 A，可得 2 3 13 cos1 sin 13 AA， 进而 2 125 sin22sincos,cos22
11、cos1 1313 AAAAA 所以， 1225217 2 sin(2)sin2 coscos2 sin 44413213226 AAA 17满分 15 分 依题意，以C为原点，分别以 1 ,CA CB CC的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 （如图） ，可得 1 (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0),(0,0,3)CABC， 11 (2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)ABDE， (1,1,3)M （）证明：依题意， 1 (1,1,0)C M ， 1 (2, 2, 2)BD ，从而 11 2200C M BD ，所以 11 C MB D
12、（）解：依题意，(2,0,0)CA 是平面 1 BB E的一个法向量， 1 (0,2,1)EB ，(2,0, 1)ED 设 ( , , )x y zn为平面 1 DB E的法向量， 则 1 0, 0, EB ED n n 即 20, 20. yz xz 不妨设1x ，可得(1, 1,2)n 因此有 | 6 cos, 6|A CA C CA n n n ，于是 30 sin, 6 CA n 所以，二面角 1 BB ED的正弦值为 30 6 （）解：依题意，( 2,2,0)AB 由（）知(1, 1,2)n为平面 1 DB E的一个法向量，于是 3 cos, 3| AB AB AB n n n 所以
13、，直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值为 3 3 18满分 15 分 （）解：由已知可得3b记半焦距为c，由| |OFOA可得3cb又由 222 abc，可得 2 18a 所以，椭圆的方程为 22 1 189 xy （） 解： 因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P， 所以ABCP 依题意， 直线AB和直线CP 的斜率均存在设直线AB的方程为3ykx由方程组 22 3, 1, 189 ykx xy 消去y，可得 22 21120kxkx， 解得0 x， 或 2 12 21 k x k .依题意， 可得点B的坐标为 2 22 1263 , 21 21 kk kk 因 为P为线段AB的中点，
14、 点A的坐标为(0, 3)， 所以点P的坐标为 22 63 , 21 21 k kk 由3OCOF， 得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为 2 2 3 0 21 6 1 21 k k k ，即 2 3 261kk 又因为ABCP，所以 2 3 1 261 k kk ，整理得 2 2310kk ，解得 1 2 k ，或1k 所以，直线AB的方程为 1 3 2 yx，或3yx 19满分 15 分 （）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q由 1 1a ， 543 5aaa，可 得1d ，从而 n a的通项公式为 n an由 1543 1,4bbbb，又0q ，可得 2
15、 440qq， 解得2q ，从而 n b的通项公式为 1 2n n b （） 证明： 由 （） 可得 (1) 2 n n n S ， 故 2 1 (1)(2)(3) 4 nn S Sn nnn ， 2 22 1 1 (1)2 4 n Snn ， 从而 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn ，所以 2 21nnn S SS （）解：当n为奇数时， 111 2 32(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn ；当n为偶数时， 1 1 1 2 n n n n an c b 对任意的正整数n，有 2222 21 11 222 1 212121 kk
16、n nn k kk c kkn ， 和 2 23 11 2113521 44444 nn k kn kk kn c 由得 2 231 1 1132321 44444 n k nn k nn c 由得 2 211 1 21 1 31222112144 1 4444444 1 4 nn k nnn k nn c ， 从而得 2 1 565 99 4 n k n k n c 因此， 2 212 111 4654 219 49 n nnn kkk n kkk n ccc n 所以，数列 n c的前2n项和为 4654 219 49 n n n n 20满分 16 分 （） （i）解：当6k 时， 3
17、( )6lnf xxx，故 2 6 ( )3fxx x 可得(1)1f，(1)9 f ，所 以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为19(1)yx ，即98yx （ii）解：依题意， 32 3 ( )36ln,(0,)g xxxxx x 从而可得 2 2 63 ( )36g xxx xx ， 整理可得 3 2 3(1) (1) ( ) xx g x x 令( )0g x，解得1x 当x变化时，( ), ( )g x g x的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,) ( )g x - 0 + ( )g x 极小值 所以，函数( )g x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为
18、(1,)；( )g x的极小值为(1)1g，无极 大值 （）证明：由 3 ( )lnf xxkx，得 2 ( )3 k fxx x 对任意的 12 ,1,)x x ，且 12 xx，令 1 2 (1) x t t x ，则 121212 2xxfxfxf xf x 2233 1 121212 122 332ln xkk xxxxxxk xxx 3322 121 121212 212 332 ln xxx xxx xx xkk xxx 332 2 1 3312lnxtttk tt t 令 1 ( )2ln ,1,)h xxx x x 当1x 时， 2 2 121 ( )110h x xxx ，由此可得( )h x在 1,)单调递增，所以当1t 时，( )(1)h th，即 1 2ln0 t tt 因为 2 1x ， 323 331(1)0,3ttttk ， 所以， 33232 2 11 3312ln(331)32lnxtttk ttttttt tt 23 3 6ln31ttt t 由（） （ii）可知，当1t 时，( )(1)g tg，即 32 3 36ln1ttt t ， 故 23 3 36ln10ttt t 由可得 121212 20 xxfxfxf xf x所以，当3k 时，对任意的 12 ,1,)x x ，且 12 xx，有 1212 12 2 fxfxf xf x xx
