1、鲁棒控制和鲁棒控鲁棒控制和鲁棒控制器设计制器设计2023-8-262高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-263高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.1.1 7.1.1 线性二次型线性二次型 Gauss Gauss 问题问题假设对象模型的状态方程表示为假设对象模型的状态方程表示为 为白噪声信号，分别表示模型的不确定性与输出信号的量测噪声。2023-8-264高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院定义最优控制的指标函数为定义最优控制的指标函数为2023-8-265高等应用数学问
2、题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-266高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院Kalman 滤波器的增益矩阵滤波器的增益矩阵式中式中 ,满足下面的满足下面的 Riccati 代数方程代数方程2023-8-267高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-268高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-269高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2610高等应用数学问题的MATLAB求解MAT
3、LAB语言与应用东北大学信息学院由由 Kalman 滤波器方程滤波器方程可以写出基于观测器的可以写出基于观测器的 LQG 调节器为调节器为2023-8-2611高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2612高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2613高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院使用使用 LQG 控制器，系统的开环传递函数表示为控制器，系统的开环传递函数表示为直接状态反馈系统的开环传递函数为直接状态反馈系统的开环传递函数为2023-8-2614高等应用数学
4、问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2615高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2616高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院加权函数的选择加权函数的选择2023-8-2617高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院 2023-8-2618高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2619高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2620高等应用数学问题的
5、MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2621高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院若想使得系统在输入端恢复环路传递函数，则若想使得系统在输入端恢复环路传递函数，则若想在对象模型的输出端恢复环路传递函数，则若想在对象模型的输出端恢复环路传递函数，则2023-8-2622高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-57-5】对对【例例7-37-3】选定一个选定一个 q q 向量，设计向量，设计 LTR LTR 控制器，并绘制出不同控制器，并绘制出不同 q q 值下环路传递函数值下环路传递函数 的
6、的 Nyquist Nyquist 图。图。2023-8-2623高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2624高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院(a)标准反馈控制结构标准反馈控制结构(b)小增益定理示意图小增益定理示意图2023-8-2625高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院假设假设 为稳定的，则当且仅当小增益条件为稳定的，则当且仅当小增益条件满足时满足时图图(b)中所示的系统对所有稳定的中所示的系统对所有稳定的 都是良定的，都是良定的，且是内部稳定的。且是内部稳定的。
7、即如果系统的回路传递函数的范数小于即如果系统的回路传递函数的范数小于 1，则闭，则闭环系统将总是稳定的。环系统将总是稳定的。2023-8-2626高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院闭环系统中引入的增广对象模型闭环系统中引入的增广对象模型其对应的增广状态方程为其对应的增广状态方程为2023-8-2627高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院闭环系统传递函数为闭环系统传递函数为2023-8-2628高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院 最优控制问题最优控制问题 其中需求解 ；最优控制问题最优
8、控制问题 其中需求解 ；控制问题控制问题 需要得出一个控制器满足鲁棒控制问题的三种形式：鲁棒控制问题的三种形式：鲁棒控制的目的是设计出一个镇定控制器鲁棒控制的目的是设计出一个镇定控制器 使得闭环系统使得闭环系统 的范数取的范数取一个小于一个小于 1 的值，亦即的值，亦即2023-8-2629高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院加权灵敏度问题的控制结构框图加权灵敏度问题的控制结构框图 加权函数加权函数 ，使得，使得 均正则。均正则。即传递函数在即传递函数在 时均应该是有界的。时均应该是有界的。2023-8-2630高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB
9、语言与应用东北大学信息学院式中式中假定系统对象模型的状态方程为假定系统对象模型的状态方程为 ，加权函数加权函数 的状态方程模型为的状态方程模型为 的的状态方程模型为状态方程模型为 ，而非正则的而非正则的 的模型表示为的模型表示为 2023-8-2631高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2632高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院 鲁棒控制工具箱中的系统描述方法鲁棒控制工具箱中的系统描述方法2023-8-2633高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2634高等
10、应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2635高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2636高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2637高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院变换出系统矩阵变换出系统矩阵 P2023-8-2638高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2639高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2640高等应用
11、数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院鲁棒控制器的状态方程表示鲁棒控制器的状态方程表示其中其中X X 与与 Y Y 由下面的两个代数由下面的两个代数 Riccati Riccati 方程求解方程求解2023-8-2641高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院控制器存在的前提条件为控制器存在的前提条件为n 足够小足够小,且满足且满足 ；n 控制器控制器 Riccati Riccati 方程的解为方程的解为 正定矩阵；正定矩阵；n 观测器观测器 Riccati Riccati 方程的解为方程的解为 正定矩阵；正定矩阵；n 。该式说明两个该
12、式说明两个 Riccati Riccati 方程的积方程的积矩阵的所有特征值均小于矩阵的所有特征值均小于 。2023-8-2642高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2643高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院绘制在控制器作用下系统的开环绘制在控制器作用下系统的开环 Bode Bode 图和图和闭环阶跃响应曲线闭环阶跃响应曲线2023-8-2644高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院设计最优设计最优 控制器，并绘制出该控制器作用下的控制器，并绘制出该控制器作用下的阶跃响应曲
13、线和开环系统的奇异值曲线。阶跃响应曲线和开环系统的奇异值曲线。并设置并设置加权矩阵加权矩阵2023-8-2645高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2646高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院，选择加权函数，选择加权函数并选择极点漂移为并选择极点漂移为设计系统的最优设计系统的最优 控制器。控制器。2023-8-2647高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2648高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院 问题转问题转换成线性矩阵换
14、成线性矩阵不等式的最优不等式的最优化问题化问题2023-8-2649高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2650高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-127-12】采用采用【例例7-67-6】中增广的系统模型，用中增广的系统模型，用 分析与综合工具箱的相关函数设计最优分析与综合工具箱的相关函数设计最优 控制器控制器2023-8-2651高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2652高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院假
15、设前向回路的数学模型为假设前向回路的数学模型为 ，由典型反馈系统有由典型反馈系统有 ，则系统的灵敏度，则系统的灵敏度控制传递函数控制传递函数 ，灵敏度函数，灵敏度函数2023-8-2653高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院加权和数与回路成型示意图加权和数与回路成型示意图2023-8-2654高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2655高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.4.1 7.4.1 不确定系统的描述不确定系统的描述2023-8-2656高等应用数学问题的MATL
16、AB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院选定标称值为选定标称值为构造不确定系统模型。构造不确定系统模型。2023-8-2657高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院对叠加型不确定性对叠加型不确定性对乘积型的不确定性对乘积型的不确定性2023-8-2658高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院一般情况下，受控对象一般情况下，受控对象 G G 的的 D D 矩阵为非满秩矩阵时，矩阵为非满秩矩阵时，不能得出精确的成型控制器，这时回路奇异值的上下限不能得出精确的成型控制器，这时回路奇异值的上下限满足式子满足式子当当 时，控制器作
17、用下实际回路奇异值介于时，控制器作用下实际回路奇异值介于 之间。之间。2023-8-2659高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2660高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院绘制在此控制器下的回路奇异值及闭环绘制在此控制器下的回路奇异值及闭环系统的阶跃响应曲线系统的阶跃响应曲线2023-8-2661高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2662高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2663高等应用数学问题的MATLA
18、B求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院假设系统的不确定部分为乘积型的，且已知假设系统的不确定部分为乘积型的，且已知 ，并已知不确定参数的变化范围为并已知不确定参数的变化范围为,设计固定的设计固定的 控制器控制器2023-8-2664高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.5.1 7.5.1 分数阶微积分学与数值计算分数阶微积分学与数值计算n 分数阶微积分的定义分数阶微积分的定义2023-8-2665高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院当系数简单表示当系数简单表示2023-8-2666高等应用数学问题的MATLAB求解
19、MATLAB语言与应用东北大学信息学院编写求取给定函数的分数阶微分函数编写求取给定函数的分数阶微分函数2023-8-2667高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院n Riemann-Liouville Riemann-Liouville 定义为目前最常用的分数阶微积分定义定义为目前最常用的分数阶微积分定义2023-8-2668高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院Caputo Caputo 分数阶微分定义为分数阶微分定义为Caputo Caputo 分数阶积分定义为分数阶积分定义为2023-8-2669高等应用数学问题的MAT
20、LAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院 解析函数解析函数 的分数阶导数的分数阶导数 对对 都是解析的。都是解析的。为整数时，分数阶微分与整数阶微分的为整数时，分数阶微分与整数阶微分的 值完全一致，且值完全一致，且 。分数阶微积分算子为线性的，即对任意常数分数阶微积分算子为线性的，即对任意常数 ，有有2023-8-2670高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院 分数阶微积分算子满足交换律，并满足叠加关系分数阶微积分算子满足交换律，并满足叠加关系 函数分数阶微分的函数分数阶微分的 Laplace Laplace 变换为变换为特别地，若函数特别地，若函数
21、及其各阶导数的初值均为及其各阶导数的初值均为 0 0，则，则2023-8-2671高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院单变量线性系统的分数阶传递函数一般形式为单变量线性系统的分数阶传递函数一般形式为2023-8-2672高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2673高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2674高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院Oustaloup Oustaloup 算法算法滤波器零极点和增益为滤波器零极点和增
22、益为假设选定的拟合频率段为假设选定的拟合频率段为 ，则可以构造出连续则可以构造出连续滤波器的传递函数模型为滤波器的传递函数模型为2023-8-2675高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院编写设计连续滤波器的函数。编写设计连续滤波器的函数。2023-8-2676高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2677高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2678高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2679高等应用数学问题的MA
23、TLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2680高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2681高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院利用最优降阶函数利用最优降阶函数opt_app()opt_app()对其进行降阶处理，对其进行降阶处理，并绘制出高阶近似与最优降阶近似模型的阶跃响应并绘制出高阶近似与最优降阶近似模型的阶跃响应曲线。曲线。2023-8-2682高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院分数阶分数阶 PID PID 控制器的数学模型为控制器的数学模型
24、为2023-8-2683高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院根据根据 Wang-Juang-Chan Wang-Juang-Chan 算法设计最优算法设计最优 ITAE ITAE 准则的准则的PID PID 控制器控制器2023-8-2684高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2685高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2686高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2687高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2688高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院n 分数阶系统的最优分数阶系统的最优 PID PID 控制器设计框图控制器设计框图2023-8-2689高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院n 选择控制器参数为选择控制器参数为n 若受控对象模型变化为若受控对象模型变化为2023-8-2690高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院2023-8-2691高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院
