1、 1.1 多项式的因式分解教学目标1了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系2感受因式分解在解决相关问题中的作用3通过因式分解培养学生逆向思维的能力。重点与难点重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。 难点：对分解因式与整式关系的理解教学过程一、创设情境，导入新课1 回顾整式乘法和乘法公式填空：计算：(1)2ab(3a+4b-1)=_, （2）（a+2b）(2a-b)=_(3)（x-2y）(x+2y)=_; (4) =_(5) =_2 你会解方程： 吗？估计学生会想到两种做法：（1）一是用平方根的定义，（2）二是：解：（x+1）(x-1)=0,根据两个因式相乘等
2、于0，必有一个因式等于0，得到：x+1=0或者x-1=0,因此：得x=1或-1指出：把 叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这节课我们来学习这个问题。二 合作交流，探究新知 1 因式的概念（1）说一说： 6=2_, （2）指出：对于6与2，有整数3使得6=23，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6的一个因数。类似的：对于整式 与x+2,有整式x-1使得 ，我们把x+2叫多项式 的一个因式，同理，x-2也叫多项式 的一个因式。你能说说什么叫因式吗？ 一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f 的一个因式，同样，h也是f的一个因式。（3）考考你：你能说出下
3、面多项式有什么因式吗？A ab+ac, B C D 2 因式分解的概念（1）指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。（2）考考你：下面变形叫因式分解吗？E = F =说明：因式分解的对象是含有字母的多项式因此A 不是因式分解，因式分解的目的是把含字母的多项式化成均含字母的乘积的形式，因此B不是，因为 不是多项式。D 中等号右边不是乘积形式，因式分解是对一个多项式进行变形，不改变它的结果，因此F不是因式分解。3 为什么要对一个多项式进行因式分解呢？ 看书P 3 4 尝试练习你能根据 (1)2ab(3a+4b-1)=_, （2）（a+2
4、b）(2a-b)=_(3)（x-2y）(x+2y)=_;(4) =_(5) =_对下面多项式进行因式分解吗？(1) ，（2）， （3）， （4） 5 因式分解与整式乘法有什么区别和联系？整式乘法：把乘积形式化和差形式，因式分解：把和差形式化成乘积形式；考考你： 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是分解因式? (1). =(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2-6xy(3).=-10a+1 (4). +4x+4= (5).(a-3)(a+3)= -9 (6)。 -4=(m+4)(m-4) (7).2 R+ 2 r= 2 (R+r)三 应用迁移，巩固提高1 简单的因式分解例1 把下列
5、多项式因式分解（1）， （2）， （3），（4）（5）2 因式分解在解方程中的应用例2 解下列方程： （1）， （2）四 课堂练习，巩固提高1.指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？(1)x22=(x+1)(x1)1 (2)(x3)(x+2)=x2x6(3)3m2n6mn=3mn(m2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc (5)a24ab+4b2=(a2b)22 把下列各式因式分解（1）， （2）, (3) 五 反思小结 ，拓展提高1这节课重点内容是什么？ 这节课重点是因式分解的概念，2 什么叫因式分解？因式分解与整式的乘法有什么区别？六 作业 P 4 七 教学后记1.2 提公
6、因式法教学目标： 会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式的因式。重、难点：重点：用提公因式法分解因式。 难点：确定多项式中的公因式。教学过程一创设情境，导入新课1 如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？这个问题实际上就是求(am+bm+cm)(a+b+c)=_为了解决这个问题请你先思考：2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？提问：把ma+mb+mc写成m(a+b+c)叫什么运算？怎样分解因式？这节课我们来学习第一个方法-提公因式法二 合作交流，探究新知1 公因式的概念（1）式子：a
7、m,bm,cm,是由哪些因式组成的？指出：其中m是他们的公共的因式，叫公因式（2）你能指出下面多项式中各项的公因式吗？ (5) 2 提公因式法把ma+mb+mc分解成：ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据？这种因式分解有什么特点？用到了乘法分配律，特点：把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。3 应用举例例1 把 因式分解强调：（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？（2）某一项全部提出后，还有因数 “1”例2 把 因式分解。强调：（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。（2）首项为负时，最好提出负号。例3 把 因式分解强调：公因式确定的方法：（1） 系数：取各系数的
8、最大公约数。如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；求48、36的最大功因数48= ，36= ，那么 就是他们的最大公约数（2） 对于字母，取各项都有的，指数最低的。如： 与 ， 取做为公因式的字母因式（3） 公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。考考你：1. ax+ay-axy在分解因式时,应提取的公因式 ( ) A. a B. a C. ax D. ay 2.下列分解因式正确的个数为 ( )(1)5y+20y=5y(y+4y) (2) ab-2ab+ab=ab(a-2b) (3)a2+3ab-2ac=-a(a+3b-2c) (4) -2x-12xy+8xy=-2x(x+6y-
9、4y) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三 应用迁移，巩固提高1 提公因式法在计算方面的应用例4 如图，a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积。2 提公因式法在证明中的应用例5 必能被45整除吗？试说明理由。四 课堂练习，巩固提高 P 8 1,2,3五 反思小结，拓展提高。这节课我们学习了因式分解的什么方法？应注意什么？六 作业P 10 A 1 2 (1)-(3) B 2,3七 教学后记1.2用提公因式分解因式（2）教学目标1 使学生进一步掌握公因式为多项式的因式分解； 2 渗透类比、转化的思想。重点、难点： 重 点：公因式为多项式的因式分解 难 点：公因式不明显而需要转化才能
10、找到时的因式分解。教学过程一 创设情境，导入新课1 复习检查（1） -8abc 的公因式是_,师：强调找公因式的方法（2）分解因式： am+bm 15 强调：如果多项式中各项有公因式，一定要提出公因式。找公因式是关键，如果把多项式am+bm中的m换成：（x-2）得到a（x-2）+b（x-2）又怎样分解因式呢？板书课题：用提公因式法分解因式（2）二 合作交流，探究新知1公因式为多项式的因式分解（1）am+bm中的m换成（x-2）得到a（x-2）+b（x-2中的公因式是什么？怎样分解因式(2)若再将a换成2b-3得到：（2b-3）(x-2）+b（x-2）公因式是什么？怎样分解因式？ (3) am+
11、bm中的m换成： 得到 ，公因式是什么？怎样分解因式？（4）若再把a换成（a+c）,b换成(a-c)得到： 公因式是什么？怎样分解因式？从上面问题我们看到公因式有的是单项式，有的是多项式，我们要练就“火眼金睛”发现多项式的公因式。2 公因式不明显的因式分解（1）你知道下面多项式有什么关系吗？有式子怎样表达它们的关系？ a+b与b+a a-b与b-a 与 （2）下面多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？ a (x-2)+b (2-x) a + b a - b 三 应用迁移，巩固提高1 多项式为公因式的因式分解例1 把 -12 分解因式。例2 把多项式(a+b-c) (a-b+c)-(b+c-a
12、) (c-a-b)分解因式例3 把 分解因式2 多项式因式分解的应用例4 已知x,y都是正的整数，且x (x-y)-y (y-x)=12,求x和y例5 解方程：2x (3x -1) +( 2x -2 ) (1-3x )=28四 课堂练习，巩固提高 P 10 1 ,2 五 反思小结：这节课你有什么收获？师强调：不明显的公因式要注意变形成为多项式。六 教学后记 1.3 公式法（1）教学目标1 使学生掌握用平方差公式分解因式；2 理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。重点、难点重点：用平方差公式分解因式。难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解。教学过程一
13、 创设情境，导入新课1 复习检查：（1）分解因式：(1) 5x （2）（a+b） (a-b )=_,这是什么运算?（3）怎样分解因式：？=（a+b） (a-b )，是用平方差公式分解的，我们把它公式法。这节课我们来学习用公式法分解因式。板书课题二 合作交流，探究新知。1 用平方差分解因式（1）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为2x字母b改为y得到什么样的多项式？怎样把分解因式？，（2）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为5x字母b改为得到什么样的多项式？怎样分解多项式？（3）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y字母b改为2y得到什么样的多项式?怎样把多项式
14、分解因式？（4）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y字母b改为x-y+1得到什么样的多项式?怎样把多项式分解因式？2 模仿练习： 请你把公式=（a+b） (a-b )中的字母a、b任意改为数、字母、单项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式。通过这样的训练，你会多用平方差公式分解因式更加熟练，一定要重视哟！3 平方差公式的识别 下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？（1）， （2）， （3） 师：一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？三 应用迁移，巩固提高1 用平方差公式分解因式例1分解因式。（1） ，（2）9 (3) 2 综合运用平方差公式和提公因式法分解因式
15、。例2 把分解因式。3 有理数范围和实数范围内分解因式。交流：怎样把分解因式？估计学生会有两种想法：一是：=， 二是：=这两种解法有什么区别？前者结果中系数没有无理数，后者结果中出现无理数。我们把前面的因式分解叫在有理数范围内分解因式，后者叫在实数范围内分解因式。如果没有特别说明，因式分解只在有理数范围内进行。4 应用迁移，巩固提高例3 某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5m,内圆半径r=24.5m,求需要的塑胶总面积。（取3.14，结果精确到0.1）四 课堂练习，巩固提高 P 14 练习题 1，2，3五 反思小结，拓展提高 用平方差公式分解因式，关键是会识别一个
16、多项式是否适合用公式，如果适合什么式子相同于公式中的字母a,什么式子相当于公式中的字母b。六 作业P 17 1 B 1,2 七 教学后记1.3 公式法（2）教学目标1 使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；2 培养学生的逆向思维能力。重点、难点重点：会用完全平方公式分解因式 难点：识别一个多项式是否适合完全平方公式。教学过程一 创设情境，导入新课1 检查学习效果 分解因式 （1） ； （2）4 2 =_, =_这叫什么运算？怎样多项式： 、 分解因式？这节课我们来学习公式法（2）二 合作交流，探究新知1 理解平方差公式的结构，并会用平方差公式分解因式（1）我们把式子 中的字母a改
17、为x,b改为2，得到的多项式是什么？怎样把分解因式？+4x改为-4x 又怎样分解因式呢？（2）我们把式子 中的字母把a改为x， b改为 ，得到的多项式是什么？怎样把 分解因式呢？-3x改为+3x呢？（3）我们把式子中的字母a改为2x,b改为2，得到什么样的多项式？怎样把分解因式？-12x改为+12x呢？（4）我们把式子中的字母a改为，b不变，得到什么样的多项式？怎样把分解因式？（5）我们把式子中的字母a改为（x+y）,字母b改为6 得到什么样的多项式？怎样把 分解因式？通过上面的讨论，我们看到公式中的字母可以代替一个数、一个字母、甚至一个单项式或一个多项式，关键是要知道多项式是否适合完全平方公
18、式，如果适合，什么相当于字母a，什么相当于字母b.2 公式的识别(1)下面多项式是否适合完全平方式分解因式？（1），（2）+2m-1 (3) (4) (2)填空：, 三 应用迁移，巩固提高1 用完全平方公式分解因式例1把下面多项式分解因式（1） （2）， （3） （4）2 提公因式法和公式法的综合运用例2 把多项式 分解因式3 分解因式的应用例3 若一个三角形的三条边a、b、c满足试判断这个三角形的形状四 课堂练习，巩固提高 P 17 练习，1，2 五 反思小结 ，拓展提高1完全平方公式有什么特点？2用完全平方公式分解因式关键是先识别一个多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于a,什么
19、相当于b.六 作业 P 17 A 2,3 B3七 教学后记因式分解小结与复习教学目标: 1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公 式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法. 3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体 数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法: 活动探究法教学过程:一、引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个 整式的
20、乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?二、知识详解知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解, 也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 例如: (2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验. 怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都 有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是 各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc
21、除以m所得的商, 像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1), 8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流 下列变形是否是因式分解?为什么? (1)3x2y-xy+y= y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2; (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn( x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 典例剖析 师生互动 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a); 分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a化成-(
22、a-b),然后再提取公因式. 小结：运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题: (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内 不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。这时注 意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数). (3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成幂的形式. 学生做一做 把下列各式分解因式. (1) (2a+b) (2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ; (2) 4p(1-q)3+2(q-1)2知识点3 公式法 (1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个 数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.例
23、如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式:a22ab+b2=(a b)2.其中,a22ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2. 探究交流 下列变形是否正确?为什么? (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y); (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2; (3)x2-2x-1=(x-1)2. 例2 把下列各式分解因式. (1) (a+b)2-4a2; (2)1-10x+25x2; ( 3) (m
24、+n)2-6(m+n)+9. 分析:本题旨在考查用完全平方公式分解因式. 学生做一做 把下列各式分解因式. (1)(x2+4)2-2(x2+4)+1; (2) (x+y)2 -4(x+y-1).综合运用 例3 分解因式. (1)x3-2x2+x; (2) x2(x-y)+y2(y-x); 分析:本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式. 小结 解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式,最后,直到每一个因式都不能再分解为止. 探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k=
25、. 分析:完全平方式是形如:a22ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差). 三、学生做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k= . 四、课堂小结 用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题. 各项有公先提公,首项有负常提负,某项提出莫漏1,括号里面分到底。 自我评价 知识巩固 1.若x2+2(m-3)x+16是完 全平方式,则m的值等于( ) A.3 B.-5 C.7. D.7或-1 2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.分解因式:4x2-9y2= . 4.已知x-y=1,
26、xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值. 5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式 思考题 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.第一章因式分解测试题一、填空题. 把下列各式因式分解（30分） 1.a 9 = 2.a + a = 3.5 a + 25a = 4.3 a b 6a b c = 5.a（a 3） 5（a3）= 6. 6a b （x+y）+12 a b（x+y）= 7（a+b）（ac） （ab）（ca）= 8y（y5）7（5y）= 9a b =1016x y = 二把下列各式因式分解（要求写出解题过程）（30分） 11m n m 解： 12 X2 72 解： 13
27、 a 25a + 6 解： 14X2 6 x + 9 解： 1525 a2 +20ab4 b2 解： 三解答题 （20分） 16已知： a+b=3. xy=1时 求：a2 +2ab+ b2 x+y 的值 17ABC的三边是a，b，c 并且 c + a +2ab2bc=0 请你说明 ABC是等腰三角形。 18当 x=2，y=1时 求代数 式：（x+y）（xy）+（xy） （x 3xy）的值 四解答下列各题（20分） 19. 因式分解： 6x 6y 9 x2 +18xy 9y2 1 解： 20因式分解：1+x+x（1+x）+x2（1+x） 21解方程： x2 5x=0 22. 在边长为a 厘米的正
28、方形的四个角,各剪去一个边长为 b厘米的小正方形。当a=12.4厘米. b=3.厘米时 求剩余部分的面积. 2.1 分式的基本性质（1）教学目标1 了解分式的概念。2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。3理解分式有意义的条件。教学重点、难点：重点：分式的概念和性质 难点：理解分式的性质。教学过程一创设情境，导入新课探究1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ （交流讨论）（1）每位小朋友分 （2）分法： 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，
29、这六块占一个苹果的 。想想这两种分法分得的是否一样多？（ ，即： ）由此表明了什么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。这就是分数的基本性质。2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？用除法表示：，用分数表示为： ， 相等吗？（ ）这里的n可以是实数吗？（n不能为0）(2) 有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？这节课我们来学习-分式的基本性质。（板书课题）二 合作交流，探究新知1 分式的概念 填空：（1 ）如果小
30、王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是_元。（2）一个梯形木板的面积是6 ，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是_m.(3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷_kg.观察多项式：这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母）一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式 叫分式。说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。2 分式的基本性质思考： 相等吗？ 相等吗？如果a0, 那么,只要都意义，那么。你认为分式和分数具有相同的性质吗？分式的分子和分
31、母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。用式子表示为：设h0,则 做一做 P 24 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件例1 求分式的值，（1）x=3, (2)x= 思考：(1) 要是分式的值为零，x应等于多少？要使分式的值为零，x应等于多少？ (2) 分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零）例2 当x取什么值时，分式（1）无意义，（2）有意义。分式有意义的条件是什么？（分母不等于零）三 课堂练习，巩固提高 P 25 四 反思小结，巩固提高 这节课你有什么收获？学习了分式的概念，分式的基本性质，分式值为零的条件分式有意义的条件。五 作业 P 27-28 A 1,2,3 B 1,2
