1、 - 1 - 高二下学期数学期中测试题（理） 一、选择题（ 12 5 60 分） 1.31 ii? （ ） A.12i? B.12i? C.2i? D.2i? 2.已知函数 1( ) cosf x xx? ，则 ( ) ( )2ff? ?（ ） A. 2? B. 3? C.2? D.3? 3.用数学归纳法证明不等式： 1 1 11 2 3 2 1n n? ? ? ? ?（ *nN? ，且 1n? ）时，不等式在1nk?时的形式是（ ） A. 1 1 1112 3 2k k? ? ? ? ? ?B.11 1 1 12 3 2 1 2 1kk k? ? ? ? ? ? ?C.11 1 1 1 12
2、 3 2 1 2 2 1k k k k? ? ? ? ? ? ? ?D.111 1 1 1 1 1 12 3 2 1 2 2 1 2 2 2 1k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4. 21 ln2y x x?的单调减区间为（ ） A.1,1? B.(0,1 C.1, )? D.(0, )? 5.用反证法证明命题：“设 ,abc为实数，且 0abc? ? ? ， 0ab bc ca? ? ? ，则 0a? ， 0b? ，0c? ”时要给出的假设是（ ） A. ,abc都不是正数 B. ,abc至多有一个正数 C. ,abc至少有一个不是正数 D. ,ab
3、c至多有一个不是正数 6. 3 2y x ax a? ? ? 在 (0.1) 内有极小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(0,3) B. 3(0, )2 C.(0, )? D.( , 3)? 7.设曲线 2 1yx?在点 ( , ( )x f x 处的切线的斜率为 ()gx，则函数 ( )cosy g x x? 的部分图象可以为（ ） - 2 - 8.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则 不同的安排方式共有（ ） A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 9.若不等式 22 ln 3x x x ax? ? ? ?恒成立，则实数
4、 a 的取值范围是（ ） A.( ,0)? B.( ,4? C.(0, )? D.4, )? 10.已知点 P 在曲线 xye? 上，点 Q 在曲线 lnyx? 上，则 |PQ 的最小值是（ ） A. 22 B. 2 C.2 D.1 11.设 aR? ，函数 () xxaf x e e?的导函数 ()fx? 是奇函数，若 ()y f x? 的一条切线的斜率为 32 ，则切点的横坐标是（ ） A.ln22 B. ln22? C.ln2 D. ln2? 12.函 数 ()fx的导函数 ()fx? ，对 xR? ，都有 ( ) ( )f x f x? ? 成立，若 (ln2) 2f ? ，则不等式
5、()xf x e? 的解是（ ） A. 1x? B.01x? C. ln2x? D.0 ln2x? 二、填空题（ 4 5 20 分） 13.1 1(2 ) 3 ln 2a x dxx? ? ? ，则 a? 14.观察式子：2131 22?，221 1 51 2 3 3? ? ?，2 2 21 1 1 71 2 3 4 4? ? ? ?，可归纳出2 2 21 1 11 2 3 ( 1 )n? ? ? ? ?- 3 - 15.已知曲 线 lny x x? 在点 (1,1) 处的切线与曲线 2 ( 2) 1y ax a x? ? ? ?相切，则 a? . 16.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出
6、队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法。（用数字作答） - 4 - 三、解答题 17. 2(1 ) 2(5 )3iiz i? ? ? ? （ 1）求 |z ； （ 2）若 ()z z a b i? ? ? ，求实数 ,ab的值 . 18.数列 na 中，1 23a?，其前 n 项和 nS 满足11 2nnS S ? ?( 2)n? . （ 1）计 算 2S ， 3S ， 4S ； （ 2）猜想 nS 的表达式，并用数学归纳法证明 . 19.从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数， 4 个奇数，试问： （ 1）
7、能组成多少个没有重复数字的七位数？ （ 2）上述七位数中， 3 个偶数排在一起的有几个？ （ 3）在（ 1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？（用数字作答） - 5 - - 6 - 20.时下网校越来越受广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量 y （单位：千套）与销售价格 x （单位：元 /套）满足的关系式为24( 6)2myxx? ? ? ，其中 26x?， m 为常数，已知销售价格为 4 元 /套时，每日可售出套题 21 千套 . （ 1）求 m 的值； （ 2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出
8、的套数），试确定销售价格 x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大 . 21.已知函数 () xefxx? . （ 1）求 ()fx的单调区间； （ 2）设 ( ) ( ) 1g x xf x ax? ? ?，若 ()gx在 (0, )? 存在极值点，求实数 a 的取值范围 . 22.设 1( ) 2lnf x xx? . （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）如果对所有的 1x? ，都有 ()f x ax? ，求 a 的取值范围 . - 7 - 高二（理）数学参考答案 1 5 D B D B C 6 10 B A D B B 11 12 C C 13. 2 14. 15. 8 16.
9、 17.解：（ 1） ? 4 分 ? 5 分 （ 2） ? 6 分 ? 10 分 18.解：（ 1） ， ， ? 4 分 （ 2）猜想 ? 6 分 下面用数学归纳法证明 （ 1） 时显然成立? 7 分 （ 2）假设 时成立，即 ，那么 时 即 时命题成立? 11 分 综合（ 1）（ 2） 对一切 都成立? 12 分 19.解：（ 1） 分三步完成： 第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 种情况 第二步，在 5 个奇数中取 4 个，有 种情况 - 8 - 第三步， 3 个偶数， 4 个奇数进行排列，可有 种情况 所以七位数有 个? 4 分 （ 2） 个? 8 分 （ 3） 个? 12 分 20
10、.解：（ 1）因为 时， 代入 得 ，得 ? 4 分 （ 2）由（ 1）可得每日销售量 所以每日所获得的利润 为 （ ? 8 分 令 得 且在 上 ， 单调递增 在 上， ， 单调递减 是 在 内的极大值点，也是最大值点? 11 分 故当销售价格为 元 /套时，网校每日销售套题所获得利润最大? 12 分 21. 解：（ 1）由题意 ? 2 分 得 故 的减区间为 和 增区间为 ? 5 分 - 9 - （ 2） ， ? 6 分 ， 在 单增 此时无极值点? ? 8 分 ，令 得 在 单调递减，在 单调递增 在 有极小值无极大值，且极小值点为 ? 11 分 故 的取值范围是 ? 12 分 22.解：（ 1）由题意 ? 1 分 令 得 故 在 单调递减 在 单调递增? 5 分 （ 2）当 时 即 ? 6 分 令 - 10 - ? 8 分 令 （ ） 在 单调递减 ，故 在 单调递减? 11 分 即 的取值范围是 ? 12 分
