1、 1 四川省彭州市五校 2016-2017 学年高二数学下学期期中联考试题 理 第卷（选择题 共 60分） 注意事项： 必须使用 2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 . 一、选择题：本大题共 12小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每个小题给出的四个 选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 U R， Q x| 2 x3 ， P x|x-20)作圆 2 2 2x y a?的切线，切点为 E，延长 FE交抛物线 2y 4cx? 于点 P， 若 1OE (OF OP)2?,则双曲线的离心率为 ( ) （ A） 352? （ B） 152? (C) 52 (D)13
2、2? 12.已知函数 ? ? ln , 111, 14xxfx xx? ? ?， ? ?g x ax? 则方程 ?gx= ?fx恰有两个不同的实根时，实数 a 的取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数） (A) 10,e?(B) 11,4e?(C) 10,4? ?(D) 1,4e?第卷（非选择题 共 90分） 注意事项： 必须使用 0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答 .作图题可用铅笔绘出，确认后再用 0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚 .答在试卷纸、草稿纸上无效 . 二、填空题 (本大题有 5小题，每小题 4分，共 20分，把答案填在答卷的相应位置 . ) 3 13
3、 利用分层抽样的方法在学生总数为 800的年级中抽取 20名同学，其中女生人数为 8人，则该年级男生人数为 14.若 实数,xy满足约束条件13,1yxxyy?则3z x y?的最大值为 15. 在区间 1， 5上任取一个实数 b，则曲线 f（ x） =x3 2x2+bx在点（ 1， f（ 1）处切线的倾斜角为钝角的概率为 16 对任意实数 ?,xx表示不超过 x 的最大整数，如 ? ? ? ?3.6 3, 3.6 4? ? ? ?，关于函1() 33xxfx ? ? ?，有下列命题： ()fx是周期函数； ()fx是偶函数； 函数 ()fx的值域为 ? ?0,1 ； 函数 ( ) ( ) c
4、os g x f x x?在区间 (0,) 内有两个不同的零点， 其中正确的命题为 三、解答题：本大题共 6小题， 75分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（本小题 12分） 设锐角三角形 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 a 2bsin A. () 求角 B的大小； () 若 a 3 3， c 5，求 ABC的面积及 b. 18（本小题 12 分） 下图为某校语言类专业 N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知 80-90分数段的学员数为 21 人 （ 1）求该专业毕业总人数 N 和 90-95分数段内的人数 n ； （ 2）现
5、欲将 90-95 分数段内的 n 名人分配到几所学校，从中安排 2人到甲学校去，若 n 人中仅有两名男生，求安排到甲学校去中至少有一名男生的概率 4 19（本小题 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 底面 ABCD， AD AB， AB DC， AD=DC=AP=2，AB=1，点 E为棱 PC的中点 （ 1）证明： BE DC；（ 2）求二面角 A BD P的余弦值 20（本小题 12 分） 已知 椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的 焦距为 43， 且椭圆 C 过点(2 3,1) . （ ）求 椭圆 C 的方程； （ ） 设 椭圆 C 与 y 轴负半轴的
6、交点为 B，如果 直线 1( 0)y kx k? ? ? 交椭圆 C 于不同的两点 E、 F，且 B， E， F构成以 EF 为底边， B为顶点的等腰三角形，判断直线 EF与圆 2212xy?的 位置关系 . 5 21（本小题 12 分）已知函数 2( ) , ( )xf x e g x m x a x b? ? ? ?，其中 , , , 2 .7 1 8 2 8 .a b R e?为自然对数的底数。（ I）设函数 h(x) xf (x)，当 a=l， b=0 时，若函数 h(x)与 g(x)具有相同的单调区 间，求 m的值； （ II）当 m=0时，记 F(x) f (x) g(x)当 a
7、2时，若函数 F(x)在 1,2上存在两个不同的零点，求 b的取值范围； 当 b 时，试探究是否存在正整数 a，使得函数 F(x)的图象恒在 x轴的上方？若存在，求出 a的最大值；若不存在，请说明理由 22（本小题满分 10分） 在 在直角坐标系 xy? 中，直线 l 的参数方程为13232xtyt? ? ?（ t 为参数）以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为 2 3sin? （ I）写出 C 的直角坐 标方程； （ II） ? 为直线 l 上一动点，当 ? 到圆心 C 的距离最小时，求 点 ? 的直角坐标 6 彭州市 2015级 高二下期期中考试数学（ 理 科
8、）答案 1.DCC AC 6.DCDCD 11.BB 13. 480 14.7 15. 16. ； 17解： () 因为 a 2bsin A，由正弦定理得 sin A 2sin Bsin A， ?2 分 由于 sin A0 ，故有 sin B 12， ?4 分 又因为 B是锐角，所以 B 30. ?5 分 () 依题意得： S ABC 12acsin 30 123 35 12 15 34 ， ?8 分 所以由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B可得 b2 (3 3)2 52 23 35cos 30 27 25 45 7， ?11 分 所以 b 7.?12 分 18.（ 1） 80 90
9、? 分数段频率为 1 (0 .0 4 0 .0 3 ) 5 0 .3 5p ? ? ? ?,此分数段的学员总数为 21 人所以毕业生的总人数 N 为 21 600.35N ? ?3 分 （ 2 ） 90 95? 分数段内的人数频率为2 1 ( 0 . 0 1 0 . 0 4 0 . 0 5p? ? ? ?0.04?0 . 3 0 . 0 1 ) 5 0 . 1? ? ?所以 90 95 分数段内的人数60 0.1 6n? ? ? ?6 分 （ 2） 90 95? 分数段内的 6 人中有两名男生 ,4 名女生设男生为 12,AA;女生为 1 2 3 4, , ,B B B B ,设安排结果中至少
10、有一名男生为事件 A 从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4; ; ; ; ; ; ; ; ;A A A B A B A B A B A B A B A B A B1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , ; ; ; ;B B B B B B B B B B B B共 15 种 ?9 分 组合方式 ,每种组合发生的可能性是相同的其中 , 至少有一名男生的种数为 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4; ; ; ; ; ; ; ; ;A A A B A B A B A B A
11、 B A B A B A B共 9 种， 所以 , 93() 15 5PA?。 ?12 分 19. 解证明：（ 1）如图，取 PD中点 M，连接 EM， AM E， M分别为 PC， PD的中点， EM DC，且 EM= DC， 又由已知，可得 EM AB，且 EM=AB， 四边形 ABEM为平行四边形， BE AM 7 PA 底面 ABCD， AD AB， AB DC， CD 平面 PAD， CD AM， BE DC （ 3）以 A为原点， AB 为 x轴， AD为 y轴， AP 为 z轴，建立空间直角坐标系， B（ 1， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， =
12、（ 1， 2， 0）， =（ 1， 0， 2）， 设平面 BDP的法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=2，得 =（ 2， 1， 1）， 平面 ABD的法向量 =（ 0， 0， 1）， 设二面角 A BD P的平面角为 ， 则 cos= = = 二面角 A BD P的余弦值为 20 解： （ I） 由题可知22 2 2231,cbaa b c? ? ? ?解得： 4,2,ab?椭圆 C方程是 1416 22 ? yx ； ? ? .4 分 8 （ II） 设交点为 1 1 2 2E(x , y ),F(x , y )， EF 的中点 M 的坐标为： ()MMx ,y . 由 2211
13、16 4y kxxy? ?，得 ? ?221 4 8 1 2 0k x kx? ? ? ?， 由 题 可 知0? 1 2 1 2228 1 2,1 4 1 4kx x x xkk? ? ?， 12 242 1 4M xx kx k? ? ? ?， 12212 1 4M yyy k? .7 分 因为 BEF? 是以 EF 为底边， B为顶点的等腰角形，所以 EF BM? . 因此 BM的斜率 1BMk k?，又点 B的坐标为（ 0， -2）， 所以 2221 22 381440414MBMMy kkkkxkk? ? ? ? ? ? ?，即 23 8 1 (k 0)4 kkk? ? ? ?， 解得
14、： 2,4k? 故 EF 的直线方程为： 2 4 4 0xy? ? ? ?. 又因为圆 2212xy?的圆心（ 0， 0）到直线 EF的距离 4 2 2 23218d ? ? ?， 所以直线 EF 与圆 2212xy?相离 ?.1 2分 9 22.解： 试题解析：（ I）由 22 3 s in , 2 3 s in? ? ? ? ?得， 从而有 ? ? 22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y? ? ?所 以. (II)设 13(3 t, t) , C (0 , 3 )22P + 又,则 22 213| P C | 3 3 1 222t t t? ? ? ? ? ? ?， 故当 t=0时， |PC|取最小值，此时 P点的直角坐标为（ 3， 0） .
